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2025-2026学年上海市华曜宝山实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，，则下列说法中错误的是（　　）
A. S△ABC=1 B. C. D.
2.已知非零向量、、，不能判定的条件是（　　）
A. ， B. ||=3||
C. D.
3.在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，能判定AB∥CD的条件是（　　）
A. B. C. D.
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，点D为边AB上的黄金分割点（AD＜BD），点G为△ABC的重心，连接AG、BG、DG.若∠BAG=∠ODG=∠C，则下列说法中错误的是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想.下列说法中正确的是（　　）
①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
②两高及一底边对应成比例的两个等腰三角形相似.
A. ①错误②正确 B. ①正确②错误 C. ①②均正确 D. ①②均错误
二、多选题：本题共1小题，共4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
6.抛物线y=ax2+bx+a与直线y=bx+a在同一坐标系内的图象不可能是（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知，则= .
8.若以点A（2，1）为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是 .
9.某市新建一座电视塔，设计师先用木料制作了一个高度为2米的模型塔，且该模型塔的高度是实际塔高的.已知建成后的电视塔顶端加装了一根天线，且这根天线占实际塔高的.若要在模型塔上加装天线，则天线长应为 米.
10.如图，为了适应老年人乘坐轮椅进出小区的需求，某小区打算改造小区入口的斜坡.已知原斜坡竖直高度AB=0.9米，斜坡AC的坡比为1：0.75，若改造后C点向左移动了2.8米，则新坡面AD的长度为 米.
11.某园林设计师规划一个矩形花坛ABCD，并在其中种植一株景观树（记作点P），要求将矩形花坛的长边AB分成两段，且满足AP2=AB×PB.已知该矩形长为t,宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是 .（用含t的代数式表示）
12.在△ABC中，点E和点F分别在边AB和AC上，若△ABC与△AEF相似，且满足AB=12，AC=9，AE=4，EF=5，则BC的长为 .
13.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、BD、AC边上的中点.若△ADF的面积是1，则四边形ABDF的面积是 .
14.如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，线段AB与线段CD交于点O，则∠AOD的余弦值是
15.新定义：若抛物线y=f（x）与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为45°，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线y=f（x）的“半垂三角形”.
已知抛物线y=g（x）是“半垂抛物线”，且△ABC为该抛物线的“半垂三角形”，点A（0，3），点B（1，0），点C为“半垂点”.将抛物线y=g（x）先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线 .
16.已知抛物线y=x2-4x+t（t＞0），若点A（0，5），点B（2t,3t+5），且线段AB与该抛物线图象有交点，则t的取值范围是 .
17.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E为DC边上一点，联结AE，将△DAE沿直线AE翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线AC上.联结DF，与AE相交于点O，则OE= .
18.在Rt△ABC中，∠C=90°，将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点A′，点C落在AB延长线上的点C′.延长C′C交线段AA′于点D.若△A′DC′的面积是△A′BC′的3倍，则cos∠BAC= .
四、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.计算：.
五、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，E是AD边上一点，，线段BE交对角线AC于点O．设，
(1) 用和表示：= ；= ；=
(2) 作出在和方向上的分向量并用和的线性组合表示．（不要求写作法，仅需作出图形并写出结论）
21.(本小题10分)
如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠ADB=90°，，，AB=AC，，∠AOD=∠ACB
(1) 求证：
(2) 求∠CAB的正弦值
22.(本小题10分)
如图所示是由边长为1的小正方形构成的网格．
(1) S△EGF=
(2) 请仅用无刻度的直尺作图：
①如图1，以AC为对角线作菱形ABCD，且；
②如图2，在FG右侧作点P，使得四边形EFPG是平行四边形；
③如图3，在△HIJ的内部作点K，使；
④如图4，以Q为对称中心作△LMN的中心对称图形△RST，其中点L、M、N分别与点R、S、T对应
23.(本小题12分)
如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，且DC=DE
(1) 求证：OD⊥AB
(2) 若，求证：DO2=AO×OP
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-5ax+c（a＞0）交x轴于点A（1，0）、点B（点B在点A的右侧）、与y轴交于点C，顶点为点P，且S△CBP=
(1) 求证：抛物线y=ax2-5ax+c是“半垂抛物线”
(2) 已知点Q是抛物线上一点，横坐标为t,联结BQ．
①联结AB，若点Q位于x轴下方，且∠PCB=∠ABQ，求直线PQ的解析式；
②联结PQ，若∠CBQ=∠CPQ，求此时t的值
25.(本小题14分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，，点M是边AB上的动点（不与点A、B重合），联结CM．
(1) 如图1，过点M作MN⊥AC，联结NC、NB，若NC=NB，∠ANB=90°，求∠NAM的正切值
(2) 如图2，若AM=BC，在边BC上取一点Q，使得CQ=BM，联结AQ、CM交于点O，求∠AOM的度数
(3) 已知点P在边AC上．
①若△CPM和△APM均为等腰三角形，则AM=______；
②过点M作AC的垂线MH，垂足为H，若CM平分∠ACB，且△CPM为等腰三角形，求PH的长
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】AC
7.【答案】
8.【答案】或2
9.【答案】0.04
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】15或
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】x=-2
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】．
20.【答案】【小题1】
【小题2】
作图时，过点O分别作AB、AD的平行线，交AD于M，交AB于N，则：
（在方向上的分向量），
（在方向上的分向量），
结论：

21.【答案】【小题1】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠AOD=∠ACB，∠AOD=∠BOC，
∴∠BOC=∠ACB，
∴△ABC∽△BOC，
∴，
∴BC2=AC OC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【小题2】解：过点B作BF⊥AC于点F，
由（1）知，∠BOC=∠ACB，
∴BO=BC，
∵，
∴，
∵AD2+BD2=AB2，，
∴AD=1，BD=2，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵BO=BC，BF⊥AC，（等腰三角形三线合一）
∴，
∴，
∴

22.【答案】【小题1】
【小题2】
①按菱形的对角线互相垂直平分作图，如图1，四边形ABCD即为所作的菱形．
理由：∵，
∴，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴；
②按平行四边形的对边相等作图，如图2，四边形EFPG即为所作的平行四边形．
理由：∵，，
∴四边形EFPG为平行四边形；
③根据中线平分三角形面积，同高的三角形面积比等于底边比作图，如图3，△HKJ即为所作的三角形．
理由：∵M是HI的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
④根据成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分作图，如图4，△RST即为所作的三角形

23.【答案】【小题1】如图1，DC=DE，连接OC，
∴∠DCE=∠DEC，
∵PC是切线，
∴OC⊥CD，即∠DCE+∠ACO=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∵∠AEO=∠DEC，∠DCE=∠DEC，
∴∠AEO+∠CAO=90°，
∴∠AOE=90°，
∴OD⊥AB
【小题2】如图2，连接OC，
根据解析（1）可得：OD⊥AB，
∴∠DOP=90°，
∴∠DOC+∠COP=90°，
∵PC是切线，
∴半径OC⊥CD，
∴∠OCD=∠OCP=90°，
∴∠ODC+∠DOC=90°，
∴∠ODC=∠COP，
∴△ODC∽△POC，
∴，
∴OC2=DC CP，
∵DC=DE，OC=OB，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴OC2=OD DC，
∵OC2=DC CP，
∴OD DC=DC CP，
∴OD=CP，
∵，
∴，
∴OD2=OC OP，
∵AO=OC，
∴OD2=AO OP

24.【答案】【小题1】证明：连接OP，
∵抛物线y=ax2-5ax+c（a＞0）交x轴于点A（1，0），
∴a-5a+c=0，即c=4a,
∴抛物线为，
∴点C（0，4a）；，对称轴为，
∴B（4，0），
∵S△BPC=S△BPO+S△BOC-S△OPC，
∴，
解得：a=1，
即抛物线解析式为，
∴点C（0，4），
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
故该抛物线为“半垂抛物线”
【小题2】解：①如图，设直线CP交x轴于点G，过点G作GH⊥BC，设延长BQ交y轴于点K，
由（1）可知：点C（0，4）；，
∴直线PC的解析式为：，
∴直线PC与x轴交点坐标为，
∴，
∵OB=4，∠OBC=∠OCB=45°，
∴，HB=BGsin∠OBC==，
∴HG=，，
∴，
∵∠PCB=∠ABQ，，
即，
∴点，
∴直线KB的解析式为：，
联立抛物线和直线解析式得：，
解得：，，
即点Q（，-），
∵点P（，-），Q（，-），
∴直线PQ的解析式为y=-，
②如图所示，作△PBC的外接圆⊙D，交抛物线于点Q，则∠CPB=∠CQB，
∵点D是△PBC的外接圆的圆心，
∴CD=CB=DP，
又∵△OBC是等腰直角三角形，
∴点D在y=x上，
设D（m,m），
∵DC=DP，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设Q（t,t2-5t+4），
∵DP=DQ，
∴，
整理得，，
即，
∵Q不与P，B，C重合，
∴t≠0，，4，
∴

25.【答案】【小题1】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，NC=NB，过点N作ND⊥AB于点D，NE⊥BC于点E，取AB的中点O，连接ON，
∴，
∵∠DBE=∠BDN=∠BEN=90°，
∴四边形BDNE是矩形，
∴，
∵，
∴AB=4，
∵AN⊥BN，
∴∠ANB=90°，
∴，
在直角三角形NOD中，由勾股定理得：，
∴，
∴
【小题2】如图2，过点M作MP⊥AQ于点P，MR∥AQ交BC于点R，
∵AB=4，BC=3，BM=CQ=1，
∴AM=AB-BM=3，BQ=BC-CQ=2，
∴，
∵∠B=∠APM=90°，∠PAM=∠BAQ，
∴△APM∽△ABQ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴OP=PM，
∴
【小题3】①或或；②或

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