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2025-2026学年河北省沧州市部分校高一（下）教学质量监测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，复数z1对应的点与复数z2=1-3i对应的点关于y轴对称，则z1=（　　）
A. -1-3i B. 1+3i C. 3+i D. -3+i
2.样本数据1，3，5，6，7，12，15，20，22，23的第80百分位数为（　　）
A. 4 B. 20 C. 21 D. 22
3.已知x,y∈R，若（3x-1）i=2y（i为虚数单位），则（　　）
A. B. C. x=0，y=0 D.
4.已知向量=（6，-2），=（1，1），则在上的投影向量为（　　）
A. （1，1） B. C. （2，2） D. （4，4）
5.在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，F为线段DE的中点，则（　　）
A. B.
C. D.
6.在△ABC中，BC=k,AC=2，A=30°，则使△ABC有两解的k的取值范围是（　　）
A. （0，1） B. （1，2） C. （1，4） D. （2，4）
7.某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为90、方差为12，女生得分的平均数为81、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为（　　）
A. 29 B. 37 C. 84 D. 87
8.我国传统建筑的屋顶结构常采用楔形.如图，某楔形屋顶可近似视为一个五面体（不含底面），底面四边形ABCD为矩形，屋脊EF∥底面ABCD，AB=22m,BC=12m,EF=AE=DE=BF=CF=10m.已知每平方米铺满瓦约需30片，则铺满该屋顶约需的瓦片数为（　　）
A. 9830 B. 10560 C. 12360 D. 16770
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知a,b为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题为真命题的有（　　）
A. 若α∥γ，β∥γ，则α∥β B. 若a∥γ，b∥γ，则a∥b
C. 若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b D. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
10.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，x表示第一次抛掷骰子的点数，y表示第二次抛掷骰子的点数.设A表示事件“x=4”，B表示事件“y＞3”，C表示事件“x+y≥10”，D表示事件“x+y=6”，则下列说法错误的是（　　）
A. A与C相互独立 B. C与D相互独立 C. B与C相互独立 D. B与D相互独立
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P分别为线段A1D，BC1，AA1的中点，则（　　）
A. C1E与DF所成角的余弦值为
B. C1E与平面A1BD所成角的正弦值为
C. A在平面PBD内的射影为△PBD的垂心
D. 三棱锥A1-PBD的外接球的直径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数z1，z2，z3对应的点分别为A（1，1），B（-1，1），C（2，1）.若复数z=，则z的共轭复数= .
13.在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8，DC=2，AD=BC=5，F是DC边的中点，则 = .
14.已知圆台O1O2的上、下底面半径之比为1：3，其侧面展开图是一个面积为16π的半圆环，则其体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量=（3，1），=（1，3），=（k,2），且（-）⊥.
（1）求|-|；
（2）求向量-与向量-夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
某中学从该校的学生中随机抽取100名学生，对其进行一周运动时长的调查，根据调查结果绘制了如下的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计该校学生一周运动时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数（精确到0.01）.
17.(本小题15分)
已知a,b,c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，，D是BC边上的一点，.
（1）求证：；
（2）若2a2sinBsinC=9，求的最小值.
18.(本小题17分)
甲、乙两队进行投篮比赛，每队两人，每人投篮一次，投中者为本队赢得一分，不中得零分，最终得分多的队伍获胜，若得分相等为平局.由以往统计结果可知，甲队两人投中的概率分别为，乙队两人投中的概率均为，且每人投中与否相互独立.
（1）求甲队总得分为0分的概率.
（2）求甲、乙比赛结果为平局的概率.
（3）甲、乙两队哪队获胜的概率更大？请说明理由.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=AB=BC=CD=DA=BD=2，PA⊥BC，E为线段PD的中点.
（1）证明：AE⊥BD；
（2）求三棱锥P-ABD的内切球的半径；
（3）求二面角A-PD-C的余弦值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】1+2i
13.【答案】36
14.【答案】
15.【答案】因为向量，
所以，
又因为，，
所以，
解得k=0，
所以，
所以
由（1）得，
因为k=0，
所以=（1，3），=（0，2），
所以，
则，
所以向量与向量夹角的余弦值为
16.【答案】根据题意可得（0.03+0.07+0.1+0.13+0.095+a+0.025）×2=1，解得a=0.05
平均数为（3×0.03+5×0.07+7×0.1+9×0.13+11×0.095+13×0.05+15×0.025）×2=8.76；
因为前几组的频率依次为0.06，0.14，0.2，0.26，
所以中位数在（8，10）内，且为≈8.77
17.【答案】证明：，
由正弦定理可得，
所以
由可得，即，
平方后可得，
由2a2sinBsinC=9和正弦定理可得，（r为三角形外接圆半径）
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2
18.【答案】设甲队两人投中分别为事件A1，A2，乙队两人投中为事件B1，B2，
由题可得．
则甲队总得分为0的概率为：
当两队比分为0：0，1：1，2：2时，两队平局．
则比分为0：0的概率为：；
比分为1：1的概率为：；
比分为2：2的概率为：．
则平局概率为：
当甲乙两队比分为1：0，2：0，2：1时，甲队获胜．
当甲乙两队比分为1：0时，概率为：；
当甲乙两队比分为2：0时，概率为；
当甲乙两队比分为2：1时，概率为．
则甲队获胜概率为：.又由（2）可得甲，乙两队非平局概率为：，
则乙队获胜概率为：，因，则乙队获胜概率更大
19.【答案】证明：在四棱锥P-ABCD中，取BD中点O，连接AO，EO，
由AB=AD=BD=2，得△ABD为等边三角形，故AO⊥BD，
由菱形ABCD得AD∥BC，结合PA⊥BC得PA⊥AD，
在Rt△PAD中，PA=AD=2，故，
在△PBD中，，
满足PB2+BD2=PD2，
故PB⊥BD，
E为PD中点，O为BD中点，故EO是△PBD的中位线，EO∥PB，
故EO⊥BD，
由AO⊥BD，EO⊥BD，且AO∩EO=O，AO，EO 平面AEO，
得BD⊥平面AEO，
又因为AE 平面AEO，
所以AE⊥BD
△PAB，△ABD均为边长为2的等边三角形，面积均为，
△PBD为直角三角形，面积为，
△PAD为直角三角形，面积为，
故三棱锥的表面积，
由（1）知，是等边三角形，故∠ABD=60°，
过P作平面ABD的垂线，垂足为H，
由PA=PB，故它们在底面的射影也相等，即HA=HB，
故H在线段AB的垂直平分线上，
因为PB⊥BD，由三垂线定理的逆定理得HB⊥BD，
在底面△ABD中，∠ABD=60°，由于HB⊥BD，故∠ABH=90°-60°=30°，
则在等腰△ABH中，底角为30°，顶角∠AHB=120°，
由正弦定理：，
故，
在直角三角形PHB中，，
故，
四面体的内切球球心到四个面距离等于半径r,将四面体分割为4个小三棱锥，
由体积关系得，
故
在面APD中，△PAD为等腰直角三角形，取PD中点E，则AE⊥PD，
且，
连接AC，在菱形ABCD中，对角线，
在△PAC中，，PA⊥AD，，
在等边三角形PAB中，∠PAB=60°，
故，
解得，
由余弦定理，
故，
故CD2+PD2=PC2，故CD⊥PD，
过E作EF∥CD，且EF=CD，连接CF，AF则四边形CDEF是平行四边形，
CF∥PD且，
由PD⊥AE，PD⊥EF，
则∠AEF为二面角A-PD-C的平面角，
由CF∥PD，PD⊥平面AEF，故CF⊥AF，
在Rt△ACF中，，
故，
在△AEF中，，
由余弦定理
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