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2025-2026学年吉林省吉林市部分校高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数的共轭复数是（　　）
A. i+2 B. -2+i C. -2-i D. 2-i
2.已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　）
A. -3 B. C. D. 1
3.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
4.已知，在上的投影为，则=（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosA=（　　）
A. B. C. D.
6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则（　　）
A. α∥β且l∥α B. α⊥β且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于l D. α与β相交，且交线平行于l
7.从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（　　）
A. 恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B. 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球
C. 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D. 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球
8.若非零向量与满足，△ABC为（　　）
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（　　）
A. 这组数据的平均数为6 B. 这组数据的方差为16
C. 这组数据的极差为11 D. 这组数据的第70百分位数为7
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（　　）
A. a=2，b=3，c=4 B. A=40°，B=50°，c=5
C. ，b=2，A=30° D. a=1，b=2，C=60°
11.如图，已知圆台的一个轴截面为ABCD，AM=MD，N为弧AB的中点，CD=2，AB=4，圆台的体积为，则（　　）
A.
B. 异面直线BN与AD所成的角为
C. 过C，M，N三点的平面与圆台下底面的交线长为
D. 二面角B-MC-N的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是 .
13.在△ABC中，，AB=8，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为 .
14.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若AB⊥BC，AC=6，球O的表面积为100π，则三棱锥O-ABC的体积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量=（1，0），=（m,-1），-2=（-3，2）.
（1）求|+|；
（2）设向量，的夹角为θ，求cosθ的值.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，AB=4，AD=3，PA=3，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME.
（1）当λ=1时，证明：直线ME∥平面PAD；
（2）当λ=2时，求三棱锥M-BCD的体积.
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC-b-c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．
18.(本小题17分)
今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日.某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养.该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]并作出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（3）已知学生成绩落在[70，80）的平均数是77，方差是5；落在[80，90）的平均数是84，方差是5.求这两组数据的总方差.
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差.
19.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CC1=，AB⊥BC.
（1）求证：AC1⊥B1C；
（2）求B1C与平面AA1C1C所成的角的大小.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】AB
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】12
15.【答案】（1）向量=（1，0），=（m,-1），
则，
-2=（-3，2），
则，解得m=2，
故=（2，-1），
，
所以；
（2）=（1，0） （2，-1）=1×2-0×1=2，||=1，||=√5，
则cosθ==．
16.【答案】解：（1）证明：取PD中点N，连接MN、AN，
∵MN是△PCD的中位线，∴MN∥CD，且，
又AE∥CD，且，∴四边形AEMN为平行四边形，
∴ME∥AN
又ME 平面PAD，AN 平面PAD，
∴ME∥平面PAD．
（2）∵，P到平面ABCD的距离为3，∴点M到平面ABCD的距离为1，
∴．
17.【答案】解：（）∵在中，，
利用正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入上式并约去2R得：
，
而,
∴,
∴,
∵C为三角形内角，∴0°< C<180°,∴sinC≠0，
∴，即，
∴，
∵A为三角形内角，∴0°< A<180°,
∴．
（）若，的面积为，
则，
∴①，
又由余弦定理可得，
∴②，
由①②解得．
18.【答案】0.015；
76.25，75；
17．
19.【答案】证明：（1）连接BC1与B1C相交于点D，如下图所示
在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴BB1⊥AB，
又AB⊥BC，BC∩BB1=B，BC，BB1 平面BB1C1C，
所以，AB⊥平面BB1C1C，
又∵B1C 平面BB1C1C，∴AB⊥B1C
∵BC=CC1，∴四边形BCC1B1为菱形，即B1C⊥BC1
又∵AB∩BC1=D，且AB，BC1 平面ABC1，
∴B1C⊥平面ABC1，又∵AC1 平面ABC1，
∴B1C⊥AC1．
（2）取A1C1的中点E，连接B1E，CE．如下图所示；
∵A1B1=B1C1，A1E=EC1，∴B1E⊥A1C1
又∵CC1⊥平面A1B1C1，B1E 平面A1B1C1，
∴CC1⊥B1E，
又∵A1C1 CC1=C1，且A1C1，CC1 平面AA1C1C，
∴B1E⊥平面AA1C1C，
∴CE是CB1在面AA1C1C内的射影，∠ECB1是CB1与平面AA1C1C所成角的平面角．
∵在Rt△CEB1中，易知B1E=1，CB1=2，
∴，∴∠ECB1=30°
即CB1与平面AA1C1C所成的角的大小为30°．
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