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2025-2026学年安徽省合肥168中学教育集团淮北五中分校高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数=（　　）
A. 2+i B. -2+i C. -2-i D. 2-i
2.若直线l1：x+2y-3=0与直线l2：kx-2y+1=0（k∈R）平行，则这两条直线间的距离为（　　）
A. B. C. D.
3.已知向量，且∥，那么=（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
4.抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知空间向量，，则在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
6.双曲线=1的渐近线方程为（　　）
A. y=±2x B. y=±x C. y=±x D. y=±x
7.若直线2x+y-1=0是圆x2+（y+a）2=1的一条对称轴，则圆心坐标为（　　）
A. （0，1） B. （0，-1） C. D.
8.已知O为坐标原点，过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知点P（-1，2）到直线l：4x-3y+C=0的距离为1，则C的值可以是（　　）
A. 5 B. 10 C. -5 D. 15
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　）
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，，则l1∥l2
B. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则α⊥β
C. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α
D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α
11.如图，直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则下列说法正确的是（　）
A. 以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B. 以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为
C. 以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为
D. 以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为3+
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点（-4，3）的圆（x+3）2+（y-1）2=1的切线方程为 .
13.两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为______.
14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A在C上，且|AF|=5，O为坐标原点，则△AOF的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点（2，3），且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点；
（2）经过两点．
16.(本小题15分)
如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．设=．
（1）用表示；
（2）设E是棱DD1上的点，且，用，，表示．
17.(本小题15分)
如图,在三棱锥中,,,,,D为线段AC的中点, E为线段PC上一点．

求证：；
求证：平面平面PAC；
当 平面BDE时,求三棱锥的体积．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，BM=λBC，且二面角M-PA-C为30°，求λ的值．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】AB
11.【答案】CD
12.【答案】x=-4或3x+4y=0
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】解：（1）椭圆9x2+4y2=36，即，
所以a2=9，b2=4，故，
焦点为，
所求椭圆经过点（2，3），且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点，
设所求椭圆的标准方程，
所以，
解得a2=15，b2=10，
所以所求椭圆的标准方程为；
（2）设所求椭圆的方程mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），
将代入上式得，
解得，
所以所求椭圆的标准方程为．
16.【答案】解：（1）∵=，=，
∴．
（2）=．
17.【答案】（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB 平面ABC，BC 平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD 平面ABC，可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面PAC∩平面ABC=AC，
BD 平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC．又BD 平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）解：PA∥平面BDE，PA 平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，
又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE=PA=1，
由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，
可得==××2×2=1，
则三棱锥E-BCD的体积为DE =×1×1=．
18.【答案】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1．
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即两切点A、B分别位于椭圆长轴与短轴的端点，
P的坐标为（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，-2），符合题意；
②当两条切线斜率均存在时，设为,
设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x-x0）+y0，
与椭圆方程联立并整理得（9k2+4）x2+18k（y0-kx0）x+9[（y0-kx0）2-4]=0，
∴=[18k（y0-kx0）]2-4（9k2+4）×9[（y0-kx0）2-4]=0，
整理得（x02-9）k2-2x0×y0×k+（y02-4）=0，
∴-1=k1 k2=，
∴x02+y02=13．
当两条切线中有一条斜率不存在时的点P坐标亦满足，
∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．
19.【答案】解：（1）证明：连接OB，
因为PA=PC，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且，
又AB2+BC2=AC2，则AB⊥BC，
所以，
则OB2+OP2=PB2，
所以OB⊥OP，
又OB∩AC=O，OB 平面ABC，AC 平面ABC，
所以OP⊥平面ABC；
（2）易知OB，OC，OP两两互相垂直，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，则，
所以M（2-2λ，2λ，0），
则，
设平面PAM的一个法向量为，则，则可取，
又平面PAC的一个法向量为，
所以，
解得．
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