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2025-2026学年四川省成都市高二（上）期末数学模拟试卷（2）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为55，58，61，63，65，68，70，73，75，78，80，82，83，85，86，88，90，92，93，95.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为m,这20名学生中此次物理测验成绩不低于m分的学生有ω人，现从这ω人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（　　）
A. B. C. D.
2.与向量共线且方向相同的向量的坐标可以为（　　）
A. （2，0，-1） B. （2，0，-4） C. （2，-1，1） D. （-2，0，4）
3.已知两条直线l1：2x+ay-1=0.l2：ax+2y+3=0，则“a=2”是“l1∥l2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为F（3，0），过F的直线l与椭圆C交于A、B两点.若AB的中点为（1，-1），则椭圆C的方程为（　　）
A. B. C. D.
5.直线l1：mx-y-5m+1=0与l2：x+my-5m-1=0交于点P，圆C：（x+2）2+（y+2）2=4上有两动点A，B，且，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，已知空间四边形OABC，其对角线AC，OB，M是BC边上一点，且BM=3MC，G为AM的中点，若，则m的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知F1，F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，圆O：x2+y2=（a2+b2），直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点，若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
8.已知A（x1，y1）、B（x2，y2）为圆C：x2+y2=1不同两点，且满足，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的有（　　）
A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是
B. 若A，B是互斥事件，则P（AB）=P（A）P（B）
C. 已知事件A，B发生的概率分别为，且，则事件A，B相互独立
D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
10.已知圆O：x2+y2=8，则（　　）
A. 圆O与直线mx+y-m-2=0必有两个交点
B. 圆O上存在3个点到直线l：的距离都等于
C. 若圆O与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则
D. 已知动点P在直线x+y-6=0上，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则|OP||AB|的最小值为
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（　　）
A. 当B1P∥平面A1BD时，B1P不可能垂直CD1
B. 若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当λ=1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为[，]
D. 当λ=μ时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在如图所示的电路图中，开关a,b,c正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 .
13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3，M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点，Q是线段A1N上的一点，且满足PQ//平面A1CM，则=
14.已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的第一象限的交点，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某同学在研究性学习中，对某区2000名高一年级学生期末调研考试的数学成绩用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，分为6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值，并估计该区高一年级学生期末调研考试的数学成绩不低于90分的学生人数；
（2）估计本次考试全区数学成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（3）现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在[70，90）和[90，110）内的学生中共抽取5人，再从中选取3人，求这3人中至少有1人成绩在[70，90）内的概率.
16.(本小题15分)
已知圆C：（x+1）2+（y+2）2=2，圆E：（x+2）2+（y-a）2=2，O为坐标原点.
（1）若过点O的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若圆E上存在点Q，过点Q作圆C的切线，切点为M，且满足，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M与焦点的距离为4，点M到x轴的距离为.
（1）求C的方程；
（2）点P为C的准线上一动点，直线PO（O为坐标原点）与C交于另一点A，过点P作y轴的垂线与C交于点B.
①求证：直线AB过定点；
②若，求△AOB的面积.
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=1，AB=，BC=1，AD=2，M是PD的中点.
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点A（-2，0），直线l与椭圆交于P，Q两点且不过原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若AP⊥AQ，求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标；
（3）若直线OP，PQ，OQ的斜率分别为k1，k2，k3，且，求△OPQ面积的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】[，）
15.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得，（0.0025+0.005+0.010+0.015+a+0.005）×20=1，解得a=0.0125．
因为（0.015+0.0125+0.005）×20×2000=1300，
故估计该区高一年级学生期末调研考试的数学成绩不低于90分的学生人数为1300；
（2）因为前三组的频率为（0.0025+0.005+0.01）×20=0.35＜0.5，
0.35+0.015×20=0.65＞0.5，
所以中位数位于[90，110）内，估计值为：，
平均数的估计值为：0.05×40+0.1×60+0.2×80+0.3×100+0.25×120+0.1×140=98；
（3）因为原始成绩在[70，90）和[90，110）的频率之比为2：3，
所以在[70，90）内抽取2人，记为a,b,在[90，110）内抽取3人，记为A，B，C，
从中选取3人，所有的基本事件为：abA，abB，abC，aAB，aAC，aBC，bAB，bAC，bBC，ABC，共10个，
记事件M=“这3人中至少有1人成绩在[70，90）内”，
则其对立事件包含的基本事件为ABC，共1个，
所以，
所以这3人中至少有1人成绩在[70，90）内的概率为．
16.【答案】（1）或 （2）[-1，5]
17.【答案】y2=4x；
①证明：显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+t，t＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意可得P（-1，y2），
联立，整理可得y2-4my-4t=0，
可得y1+y2=4m，y1y2=-4t，x1x2=，
所以kOP=k=OA，即=，可得x1y2=-y1，
即（my1+t）y2=-y1，可得my1y2+ty2+y1=0，
即-4mt+ty2+4m-y2=0，整理可得（4m-y2）（1-t）=0，
由A，B在抛物线上，可得t=1时，方程恒成立，
即直线AB的方程为x=my+1，即不论m为何值，直线恒过定点（0，1）；
②
18.【答案】证明见解析； ； 存在，．
19.【答案】；
证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），
联立，消去y得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
由Δ=64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）＞0，得4k2＞m2-1，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
因为AP⊥AQ，所以，即（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，
化简得，
从而，
化简得5m2-16km+12k2=0，即（5m-6k）（m-2k）=0，所以或m=2k，
当m=2k时，直线l的方程为y=k（x+2），则直线过点A，不符合题意，应舍去；
所以直线l的方程为，所以直线l过定点．
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=p，代入椭圆方程得，
则，所以，即，
则5p2+16p+12=0，得或p=-2（舍），
所以直线l的方程为，也过定点．
综上所述，直线l过定点．
（0，1）
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