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2025-2026学年四川省达州市达川区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“平安顺意”写成下列字体，可以看作轴对称图形的字是（　　）
A. B. C. D.
2.2026年，北京大学王路达教授团队在石墨烯薄膜上刻出了与气体分子尺寸相当的“埃米孔”.已知1埃米=0.0000000001米，该团队制备的埃米孔直径一般小于4.5埃米，则4.5埃米可以用科学记数法表示为（　　）
A. 4.5×10-9米 B. 45×10-10米 C. 45×10-9米 D. 4.5×10-10米
3.下列结果计算正确的是（　　）
A. 3a2 4ab=12a3b B. a（a-b）=2a-ab C. -（-2x）3=-8x3 D. a15÷a3=a5
4.有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某条直线对称；③等腰三角形底边上的中线是它的对称轴；④等腰三角形两底角的平分线相等．其中正确的说法有（　　）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.有以下两种①摸出的小球标号都小于5是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，但可能性不一样.则（　　）
A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都对 D. ①②都错
6.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OA-AB-BC是一条折线）.则这个容器的形状可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图是一个物理实验的截面示意图，其中AB与CD表示互相平行的墙面，绳子EN一端与木杆NG的一端相连，另一端点E固定在墙面AB上，若∠AEN=120°，∠ENG=160°，则∠CGN的度数为（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
8.如图，在△ABC中，已知点D，E，F，G分别是线段AC，CF，BG，DE的中点.若△EFG的面积为3，则△ABC的面积为（　　）
A. 42
B. 36
C. 28
D. 30
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.若xm=6，xn=3，则2x2m-n的值是 .
10.如图，已知AB∥EF，∠B=35°，∠E=15°，则∠C-∠D的度数为 .
11.如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若∠C=70°，则∠DBC的度数为 °.
12.如图，等腰△ABC底边BC的长为5cm,面积为20cm2，腰BA的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的动点，M点为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 .
13.当x= 时，多项式x2+6x+1有最小值，最小值为 .
14.等腰三角形的两边长a、b满足（a-4）2+|b-8|=0，则该等腰三角形的周长是 .
15.长度为3，5，7，9的4条线段，任意抽出3条，能组成三角形的概率为 .
16.已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是68°，那么这个等腰三角形的顶角的度数是 .
17.如图，A，B分别是x轴，y轴上两点，连接AB，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交OB，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交OA于点C.若∠OAB=30°，BC=6，则点C到AB的距离是 .
18.如图，在Rt△ABC中，斜边BC的中垂线DE交AC于点F，交∠BAC的外角平分线于点E，EG⊥AC于点G，EM垂直BA的延长线于点M，连接BE交AC于点N，现有下列结论：①△BEM≌△CEG；②∠BEC=90°；③AE∥BC；④S△MBE=2S△CFE.其中正确的结论有 （填序号）.
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
19.计算：
(1)
(2) 8012-798×802
(3) 先化简，再求值：[（2x+3y）（2x-3y）+（y-4x）（x+3y）+5xy]÷（-3y），其中，y=1
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
请完善解题过程：
如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2，FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=100°，求∠1的度数.
解：∵FG∥AE，（已知）
∴∠2=∠3，（ ）
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3，（ ）
∴AB∥CD，（ ）
∴∠ABD+∠D=180°，（ ）
∵∠D=100°，（已知）
∴∠ABD=180°-∠D=80°，
∵BC平分∠ABD，（已知）
∴∠4= =40°，（ ）
∵FG⊥BC，（已知）
∴∠1+∠4=90°，（ ）
∴∠1= °.
21.(本小题8分)
在如图所示的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上.
（1）画出△ABC关于直线n成轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）请用尺规在直线m上找出一点P，使得△APB的周长最小.
22.(本小题10分)
一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，小王步行从甲地到乙地，每分钟走96米，小李骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地．设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为S（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离S和运动时间t之间的函数关系图象
(1) 小李骑车的速度为 米/分钟
(2) 小李沿原路原速返回乙地，比小王到达乙地早 分钟
(3) 运动的时间为t,当t为多少时，两人相遇？
23.(本小题10分)
如图，∠1=∠2，∠A=∠B，AE=BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O
(1) 求证：△AEC≌△BED
(2) 求证：DE平分∠BDC
(3) 若BE=10，AD=7，DC=6，求△BOE与△AOD的周长之和
24.(本小题10分)
通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式
(1) 观察图①，请写出a2+b2，a+b,ab之间的等量关系是
(2) 若（2024-x）2+（2020-x）2=8，求（2024-x）（x-2020）的值
(3) 如图②，点C为线段AB上的一点，分别以AC，BC为边在AB异侧作正方形ACDE和正方形BCFG，连接AF．若正方形ACDE和正方形BCFG的面积之和为20，△ACF的面积为4，求AE+FG的长度
25.(本小题10分)
如图，已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD之间的点.
（1）如图1，若∠E=100°，求∠B+∠D的度数；
（2）若∠B=30°，∠D=110°.
①如图2，请探索∠F-∠E的度数是否为定值，请说明理由；
②如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，直接写出∠P的度数.
26.(本小题10分)
阅读理解：
问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
(1) 方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明
(2) 问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由
(3) 问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系
(4) 实际运用：在（3）的条件下，已知S△ABD：S△CED=5：3，CE=6，DE=8，动点P从B出发，沿线段BC以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得S△BPD=32的所有t的值
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】24
10.【答案】20°
11.【答案】30
12.【答案】8cm
13.【答案】-3
-8

14.【答案】20
15.【答案】
16.【答案】68°或112°
17.【答案】3
18.【答案】①②
19.【答案】【小题1】原式=
=
=
【小题2】原式=（800+1）2-（800-2）（800+2）
=8002+1600+1-（8002-4）
=1601+4
=1605
【小题3】，
原式=[4x2-9y2+xy+3y2-4x2-12xy+5xy]÷（-3y）
=（-6y2-6xy）÷（-3y）
=2x+2y,
将x=-3，y=1代入得，原式=2×（-3）+2×1=-6+2=-4

20.【答案】两直线平行，同位角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
角平分线的定义
垂线的定义
50

21.【答案】如图，△A1B1C1即为所求；
△ABC的面积=3；
如图，点P即为所求
22.【答案】【小题1】
240
【小题2】
3
【小题3】
小李去往甲地的途中两人第一次相遇：
96t+240t=2400，
；
小李返回乙地的途中两人第二次相遇：
96t=240（t-12），
解得：t=20，
∴运动的时间t为分钟或20分钟时，两人相遇

23.【答案】【小题1】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
∴∠AEC=∠BED，
又∵∠A=∠B，AE=BE，
∴△AEC≌△BED（ASA）
【小题2】证明：由（1）得△AEC≌△BED，
∴∠C=∠BDE，ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∴∠BDE=∠EDC，
∴DE平分∠BDC
【小题3】解：∵AD=7，DC=6，
∴AC=AD+DC=13，
由（1）得△AEC≌△BED，
∴BD=AC=13，
∵△BOE的周长=BE+OB+OE，
△AOD的周长=OA+AD+OD，
∴△BOE的周长与△AOD的周长之和=BE+OB+OE+OA+AD+OD
=BE+BD+AE+AD
=BE+BD+BE+AD
=10+13+10+7
=40

24.【答案】【小题1】
（a+b）2=a2+2ab+b2
【小题2】
设2024-x=c,x-2020=d,
∴c+d=4，
由条件可得c2+d2=8，
∴2cd=（c+d）2-（c2+d2）=8，
∴cd=4，
∴（2024-x）（x-2020）=4
【小题3】
设AE=AC=a,FG=BC=b,由题意得：
两个正方形面积和a2+b2=20；
，
得ab=8，
（a+b）2=a2+2ab+b2=20+2×8=36，
∵边长和为正数，
∴a+b=6，
即AE+FG=6

25.【答案】解：（1）过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠B=∠BEM，∠D=∠DEM，
∴∠B+∠D=∠BE+∠DEM=∠BED=100°；
（2）①∠EFD-∠BEF的度数是定值，理由如下：
如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥FP∥CD，而∠B=30°，∠D=110°，
∴∠1=∠B=30°，∠4=180°-∠D=70°，∠3=∠2，
∴∠EFD-∠BEF=∠3+∠4-∠1-∠2=∠4-∠1=70°-30°=40°；
②如图，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴，
∴∠P=180°-（∠2+∠PFE）=180°-（∠2+180°-∠3）=∠3-∠2，
∵由①得：∠EFD-∠BEF=40°，
∴∠3-∠2=（∠EFD-∠BEF）=×40°=20°
∴∠P=20°．
26.【答案】【小题1】选择方法1，证明如下：
如图所示，在BC上截取BM=BA，连接DM，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠MBD，
又∵BA=BM，BD=BD，
∴△ABD≌△MBD（SAS），
∴DA=MD，∠A=∠BMD，
∵∠A+∠C=180°，∠BMD+∠DMC=180°，
∴∠C=∠DMC，
∴DM=DC，
∴DA=DC；
选择方法2，证明如下：
如图所示，延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠NBD=∠CBD，
又∵BN=BC，BD=BD，
∴△BDN≌△BDC（SAS），
∴DN=DC，∠C=∠DNB，
∵∠C+∠BAD=180°，∠DAN+∠DAB=180°，
∴∠C=∠DAN，
∴∠DAN=∠DNA，
∴DA=DN，
∴DA=DC
【小题2】BD=AB+BC，理由如下：
如图所示，在BD上截取BF=AB，连接AF，
由（1）得DA=DC，
∵∠DAC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠ADC=60°；
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠BCD+∠BDC+∠CBD=180°，
∴∠ABD+∠ADB+∠BAD+∠BCD+∠BDC+∠CBD=360°，
∴∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC=120°，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴，
又∵BF=AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF=AB，∠BAF=60°=∠DAC，
∴∠BAF-∠CAF=∠DAC-∠CAF，
∴∠BAC=∠FAD，
∴△BAC≌△FAD（SAS），
∴BC=DF，
∵BD=BF+DF，
∴BD=AB+BC
【小题3】如图所示，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F，连接BD，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠C=∠FAD，
∵DF⊥BA，DE⊥BC，
∴∠F=∠DEB=∠DEC=90°，
又∵DA=DC，
∴△DFA≌△DEC（AAS），
∴DF=DE，AF=CE；
又∵BD=BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴B F=B E，
∵BC=BE+CE，
∴BC=BF+CE=AB+CE+CE=AB+2CE，即BC=AB+2CE
【小题4】如图所示，
∵DE⊥CE，DE=8，CE=6，
∴，
∵S△ABD：S△CED=5：3，
∴S△ABD=40；
由（3）可得△DFA≌△DEC，Rt△BDE≌Rt△BDF，
∴S△ADF=S△CDE=24，S△BDE=S△BDF=S△ABD+S△ADF=64，
∴，
∴BE=16，
∴BC=BE+CE=22；
∵，
∴BP=8，
∴当点P从B向点C运动时，则，
当点P从点C向点B运动时，则，
综上所述，t的值为4或18

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