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2026年广西初中学业水平考试模拟卷 数学
1．如果物质在汽化过程中吸收的热量记为，那么物质在液化过程中释放的热量可记为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：由相反意义的量可知，吸收的热量记为，则释放的热量可记为．
故答案为：A.
【分析】利用正负数表示相反意义的量，即可得解．
2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定。先明确轴对称图形是沿一条直线折叠后两边能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与原图重合的图形，再逐个对照图形特征进行判断。
3．民间技艺“撂石锁”是一种古老的武术项目．如图，这是一个常见的石锁，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：石锁的左视图是：
．
故答案为：C
【分析】本题考查几何体左视图的绘制。左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形，观察石锁的立体结构，确定左侧视角下各部分的轮廓形状，匹配对应选项即可。
4．2025年我国粮食综合生产能力达到13900亿斤（1斤克），粮食安全保障坚实有力．将数据13900亿用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵亿，
∴亿，
把改写为，代入得：
．
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的定义：，要求，为整数，将13900亿转化为科学记数法的形式，即可确定和的值.
5．如图是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中随机选取一种元素，共有种等可能结果，其中这种元素恰好是非金属元素的情况有氢、氦、硼种结果，
从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是．
故答案为：C
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算。概率等于符合条件的情况数除以总情况数，先确定1~5号元素的总个数，再数出其中非金属元素的个数，代入概率公式计算。
6．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
A、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故正确，符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
7．将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵原二次函数解析式为 ，
将图象先向上平移3个单位长度，根据“上加”的规律，得
，
再将得到的图象向右平移2个单位长度，根据“右减”的规律对自变量x变换，得
，
∴平移后所得图象的解析式为 ．
故答案为：A
【分析】本题考查二次函数图象的平移规律。平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”，先对原函数进行向上平移的常数项调整，再对自变量进行向右平移的替换，逐步推导平移后的解析式。
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，A正确；
B、根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘；，B错误；
C、与次数不同，不是同类项，不能合并，C错误；
D、根据单项式除法法则，，D错误．
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方运算法则和合并同类项法则，逐项求解即可．
9．如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；求余弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意得：是直角三角形，，，
∴，
∴，
由圆周角定理得，，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查勾股定理、圆周角定理与锐角三角函数。先在直角三角形中用勾股定理求斜边，计算对应角的余弦值，再利用同弧所对圆周角相等，将的余弦值转化为已知角的余弦值求解。
10．某乡村振兴示范村今年1月份通过直播销售特色农产品，销售额为50万元．响应全国两会“数字赋能乡村振兴”的号召后，该村通过优化直播策略、拓展销售渠道，使销售额逐月增长，且每个月的平均增长率为．已知3月份的销售额达到72万元，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为，
由题意得，．
故答案为：D.
【分析】分析题意，找出等量关系，列一元二次方程即可．
11．如图，是的外接圆，已知的半径为，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作于点，取优弧上任意一点，连接、，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：B
【分析】连接，，过点作于点，取优弧上任意一点，连接、，先根据垂径定理得到，进而根据勾股定理得到OD的长，再根据三角形内角和定理结合圆周角定理即可求出∠AEC的度数，从而根据圆内接四边形的性质即可求解。
12．在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为1，点是轴正半轴上一点，点在反比例函数的图象上，若四边形是菱形，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；菱形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵点在直线上，横坐标为，
∴将代入得，即，
由勾股定理得，
设，，
∵四边形是菱形， 且 ，O点是由A点向左平移一个单位长度，再向下平移三个单位长度得到的，对P点进行同样操作，
∴点的坐标为 ，
∵菱形边长相等，，
∴ ，即 ，
整理得 ，
∵，时不符合题意舍去，因此，得，
∴的坐标为 ，
∵点在反比例函数上，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查一次函数、菱形性质与反比例函数的综合应用。先代入横坐标求点A坐标，用勾股定理求菱形边长，结合菱形对边平行且相等的性质确定点B坐标，最后将点B代入反比例函数求。
13．分解因式： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】利用乘法分配律，将公因式a提取即可。
14．若分式有意义，则a的取值范围是　 　．
【答案】a≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义时分母不等于零可得： 0，
解得a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据分式有意义时分母不等于零，即可求解.
15．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，，，则的度数是　 　°．
【答案】71
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数是．
故答案为：71
【分析】本题考查平行线的性质。两直线平行，内错角相等，先由求，再计算，最后由，内错角相等得到的度数。
16．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】线段的中点；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴点C是线段的中点，
∵是抛物线与的公共顶点，
当时，，
∴，
设点C的坐标为，
∴点B的坐标为，
把代入得，，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查二次函数图象性质与中点坐标应用。先确定公共顶点A的坐标，由知C是AB中点，设点C坐标表示出点B坐标，将点B代入对应抛物线解析式，化简后求。
17．计算、化简求值：
（1）；
（2），其中．
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）先根据乘方，有理数的除法法则和减法法则，即可求解；
（2）先根据平方差公式和整式乘法的分配律化简整式，再代入求值即可．
（1）解：原式．
（2）解：原式，
当时，原式．
18．如图，是的角平分线．
（1）作菱形，使点在边上，点在边上；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，求菱形的面积．
【答案】（1）解：（1）如图，菱形即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
在中，，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）本题考查菱形的尺规作图。菱形的对角线互相垂直平分，作角平分线的垂直平分线，与、交于两点，连接相关线段即可得到菱形；
（2）本题考查三角形内角和、菱形性质与面积计算。先由三角形内角和求，利用菱形对边平行得角的关系，在直角三角形中求高，再用“底×高”计算菱形面积。
（1）解：（1）如图，菱形即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
在中，，，
，
．
19．为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，规定跳绳次数不少于180次为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下：
甲班代表跳绳次数：160，160，160，160，170，170，170，170，180，180，180，180，180，180，190，190，190，190，190，200；
代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（）
甲班 177.5 180 12
乙班 182 180 14
丙班 180.5 180 14
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（次）的学生总人数；
（3）学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好？请结合统计量说明理由．
【答案】（1）180；190；180
（2）解：达到“优秀”的学生总人数为（人）答：本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人．
（3）解：乙班的跳绳训练成效更好．
理由是：从表格看，三个班级的中位数相同，说明数据的中间水平一致；甲班优秀率60%，而乙、丙班的优秀率都是70%，但乙班的平均数和众数均高于甲、丙班，说明乙班训练成效更好．（答案不唯一，理由合理即可）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵甲班代表跳绳次数从小到大排列的数据中第10位和第11位均为180，
∴中位数，
∵乙班代表跳绳次数的扇形统计图中190次占比为30%最多，
∴乙班代表跳绳次数的数据中众数，
∵从丙班代表跳绳次数的条形统计图可得数据中第10位和第11位均为180，
∴中位数．
【分析】（1）本题考查中位数与众数的计算。中位数是数据排序后中间位置的数（偶数个取平均），众数是出现次数最多的数，结合各班数据特征直接确定；
（2）本题考查用样本估计总体。先计算样本中优秀人数占比，再用总人数乘该占比，估算总体优秀人数；
（3）本题考查统计量的实际应用。从平均数、中位数、众数、优秀率等角度对比三个班级数据，分析数据集中趋势和整体水平，判断训练成效。
（1）解：∵甲班代表跳绳次数从小到大排列的数据中第10位和第11位均为180，
∴中位数，
∵乙班代表跳绳次数的扇形统计图中190次占比为30%最多，
∴乙班代表跳绳次数的数据中众数，
∵从丙班代表跳绳次数的条形统计图可得数据中第10位和第11位均为180，
∴中位数．
（2）解：达到“优秀”的学生总人数为（人）
答：本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人．
（3）解：乙班的跳绳训练成效更好．
理由是：从表格看，三个班级的中位数相同，说明数据的中间水平一致；甲班优秀率60%，而乙、丙班的优秀率都是70%，但乙班的平均数和众数均高于甲、丙班，说明乙班训练成效更好．（答案不唯一，理由合理即可）
20．某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元．
（1）每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？
（2）该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元．
求与的函数关系式；
如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，
根据题意，得，
解得，
答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元.
（2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个，根据题意，得，
∴，
即与的函数关系式为；
根据题意，得，
解得，
∵在中，，
∴随的增大而减小，
∵为整数，
∴当时，最大，为，
此时铜鼓摆件：个，
即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）根据题意，找出等量关系，设未知数列得方程组，求出方程组的解即可；
（）根据题意列出函数关系式即可；
由题意列不等式得，求出x的范围，再根据随的增大而减小，可知当时，最大，即可得解．
（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，
根据题意，得，
解得，
答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元；
（2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个，
根据题意，得，
∴，
即与的函数关系式为；
根据题意，得，
解得，
∵在中，，
∴随的增大而减小，
∵为整数，
∴当时，最大，为，
此时铜鼓摆件：个，
即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元．
21．如图，在中，，是的角平分线，以点为圆心，为半径作，交于点，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若与的切点为，连接交于点，已知，设的半径为5，求的长．
【答案】（1）证明：如图①，过点作于点，
平分，
，，
，
是的切线．
（2）解：由（1）可知，是的切线，则，在和中，
，
∴，
，
如图②，连接交于点，
∵平分，
，垂足为，
，
连接，
是的直径，的半径为5，
，
在中，，
设，，
在中，，即，
或（不合题意，舍去）
，，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；切线的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据角平分线的性质得到，进而根据切线的判定即可求解；
（2）根据切线的性质结合题意由（1）可知，是的切线，则，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，连接交于点，根据角平分线的性质得到，连接，根据圆周角定理结合题意得到，，再根据正切函数设，，根据勾股定理求出k，最后根据三角形的面积等量代换即可求解。
（1）证明：如图①，过点作于点，
平分，
，，
，
是的切线．
（2）解：由（1）可知，是的切线，则，
在和中，
，
∴，
，
如图②，连接交于点，
∵平分，
，垂足为，
，
连接，
是的直径，的半径为5，
，
在中，，
设，，
在中，，即，
或（不合题意，舍去）
，，
，
，
．
22．综合与实践
问题情境：为打造“水韵休闲”主题景区，某生态景观园区安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）点喷出，其距水面的竖直高度（单位：）与距喷口点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：
/ 0 7 14 21 28
/ 0 6 0
问题解决：
（1）根据表格中的各组对应数据，在给出的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象，并求出与的函数关系式；
（2）为提升观赏效果，要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）；
（3）景区计划在距离喷口点水平距离的位置设置一个高度为（单位：）的灯光装置，若要保证水柱不会碰到该装置，求的取值范围．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
∵当时的函数值与当的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为
设与的函数关系式为，
当时，，
，
解得，
（2）解：在中，令，得，
解得，
，
即观赏灯带可铺设的最大长度为．
（3）解：在中，当时，
，
要保证水柱不碰到装置，需．
又高度，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）本题考查二次函数的图象绘制与解析式求解。根据表格数据描点画图，由数据对称性确定抛物线顶点，设顶点式解析式，代入已知点坐标求参数，得到函数关系式；
（2）本题考查二次函数的实际应用。令，解一元二次方程得到对应的值，两个值的差即为灯带最大长度；
（3）本题考查二次函数的函数值计算。将代入函数解析式求对应值，结合灯光高度为正数，确定的取值范围。
（1）解：如图所示，即为所求，
∵当时的函数值与当的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为
设与的函数关系式为，
当时，，
，
解得，
（2）解：在中，令，得，
解得，
，
即观赏灯带可铺设的最大长度为．
（3）解：在中，当时，
，
要保证水柱不碰到装置，需．
又高度，
．
23．综合与探究
如图①，将矩形纸片沿着对称轴剪开，得到两个全等的矩形和矩形，其中，，固定矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．
（1）如图②，在矩形旋转的过程中，当与重合时，交于点，交于点，则四边形的形状是____________；
（2）如图③，当在上时，交于点，求的长；
（3）在矩形旋转的过程中，是否存在点在的右侧，且是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）菱形
（2）解：由题意知，，，在中，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在；以为直径作弧与以点为圆心，为半径作弧，两条弧交点即点的位置．
如图，连接，过点作于点，交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱形；
【分析】（1）本题考查平行四边形与菱形的判定。先由两组对边平行判定为平行四边形，再证明邻边相等，进而判定为菱形；
（2）本题考查勾股定理与相似三角形的应用。先就题意结合勾股定理求出CM'，再根据矩形的性质得到，．等量代换得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，代入数值运算即可；
（3）本题考查直角三角形、中位线与相似三角形的综合应用。连接，过点作于点，交于点，利用中位线性质得线段关系得到，再证明三角形相似，根据相似比化简得到的值。
（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱形；
（2）解：由题意知，，，
在中，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在；
以为直径作弧与以点为圆心，为半径作弧，两条弧交点即点的位置．
如图，连接，过点作于点，交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 12026年广西初中学业水平考试模拟卷 数学
1．如果物质在汽化过程中吸收的热量记为，那么物质在液化过程中释放的热量可记为（　　）
A． B． C． D．
2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．民间技艺“撂石锁”是一种古老的武术项目．如图，这是一个常见的石锁，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．2025年我国粮食综合生产能力达到13900亿斤（1斤克），粮食安全保障坚实有力．将数据13900亿用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（　　）
A． B． C． D．
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（　　）
A． B．2 C． D．
10．某乡村振兴示范村今年1月份通过直播销售特色农产品，销售额为50万元．响应全国两会“数字赋能乡村振兴”的号召后，该村通过优化直播策略、拓展销售渠道，使销售额逐月增长，且每个月的平均增长率为．已知3月份的销售额达到72万元，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，是的外接圆，已知的半径为，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为1，点是轴正半轴上一点，点在反比例函数的图象上，若四边形是菱形，则的值是（　　）
A． B． C． D．
13．分解因式： 　 　.
14．若分式有意义，则a的取值范围是　 　．
15．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，，，则的度数是　 　°．
16．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是　 　．
17．计算、化简求值：
（1）；
（2），其中．
18．如图，是的角平分线．
（1）作菱形，使点在边上，点在边上；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，求菱形的面积．
19．为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，规定跳绳次数不少于180次为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下：
甲班代表跳绳次数：160，160，160，160，170，170，170，170，180，180，180，180，180，180，190，190，190，190，190，200；
代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（）
甲班 177.5 180 12
乙班 182 180 14
丙班 180.5 180 14
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（次）的学生总人数；
（3）学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好？请结合统计量说明理由．
20．某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元．
（1）每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？
（2）该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元．
求与的函数关系式；
如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？
21．如图，在中，，是的角平分线，以点为圆心，为半径作，交于点，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若与的切点为，连接交于点，已知，设的半径为5，求的长．
22．综合与实践
问题情境：为打造“水韵休闲”主题景区，某生态景观园区安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）点喷出，其距水面的竖直高度（单位：）与距喷口点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：
/ 0 7 14 21 28
/ 0 6 0
问题解决：
（1）根据表格中的各组对应数据，在给出的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象，并求出与的函数关系式；
（2）为提升观赏效果，要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）；
（3）景区计划在距离喷口点水平距离的位置设置一个高度为（单位：）的灯光装置，若要保证水柱不会碰到该装置，求的取值范围．
23．综合与探究
如图①，将矩形纸片沿着对称轴剪开，得到两个全等的矩形和矩形，其中，，固定矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．
（1）如图②，在矩形旋转的过程中，当与重合时，交于点，交于点，则四边形的形状是____________；
（2）如图③，当在上时，交于点，求的长；
（3）在矩形旋转的过程中，是否存在点在的右侧，且是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：由相反意义的量可知，吸收的热量记为，则释放的热量可记为．
故答案为：A.
【分析】利用正负数表示相反意义的量，即可得解．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定。先明确轴对称图形是沿一条直线折叠后两边能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与原图重合的图形，再逐个对照图形特征进行判断。
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：石锁的左视图是：
．
故答案为：C
【分析】本题考查几何体左视图的绘制。左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形，观察石锁的立体结构，确定左侧视角下各部分的轮廓形状，匹配对应选项即可。
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵亿，
∴亿，
把改写为，代入得：
．
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的定义：，要求，为整数，将13900亿转化为科学记数法的形式，即可确定和的值.
5．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从中随机选取一种元素，共有种等可能结果，其中这种元素恰好是非金属元素的情况有氢、氦、硼种结果，
从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是．
故答案为：C
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算。概率等于符合条件的情况数除以总情况数，先确定1~5号元素的总个数，再数出其中非金属元素的个数，代入概率公式计算。
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
A、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故正确，符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵原二次函数解析式为 ，
将图象先向上平移3个单位长度，根据“上加”的规律，得
，
再将得到的图象向右平移2个单位长度，根据“右减”的规律对自变量x变换，得
，
∴平移后所得图象的解析式为 ．
故答案为：A
【分析】本题考查二次函数图象的平移规律。平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”，先对原函数进行向上平移的常数项调整，再对自变量进行向右平移的替换，逐步推导平移后的解析式。
8．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，A正确；
B、根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘；，B错误；
C、与次数不同，不是同类项，不能合并，C错误；
D、根据单项式除法法则，，D错误．
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方运算法则和合并同类项法则，逐项求解即可．
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；求余弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意得：是直角三角形，，，
∴，
∴，
由圆周角定理得，，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查勾股定理、圆周角定理与锐角三角函数。先在直角三角形中用勾股定理求斜边，计算对应角的余弦值，再利用同弧所对圆周角相等，将的余弦值转化为已知角的余弦值求解。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为，
由题意得，．
故答案为：D.
【分析】分析题意，找出等量关系，列一元二次方程即可．
11．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作于点，取优弧上任意一点，连接、，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：B
【分析】连接，，过点作于点，取优弧上任意一点，连接、，先根据垂径定理得到，进而根据勾股定理得到OD的长，再根据三角形内角和定理结合圆周角定理即可求出∠AEC的度数，从而根据圆内接四边形的性质即可求解。
12．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；菱形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵点在直线上，横坐标为，
∴将代入得，即，
由勾股定理得，
设，，
∵四边形是菱形， 且 ，O点是由A点向左平移一个单位长度，再向下平移三个单位长度得到的，对P点进行同样操作，
∴点的坐标为 ，
∵菱形边长相等，，
∴ ，即 ，
整理得 ，
∵，时不符合题意舍去，因此，得，
∴的坐标为 ，
∵点在反比例函数上，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查一次函数、菱形性质与反比例函数的综合应用。先代入横坐标求点A坐标，用勾股定理求菱形边长，结合菱形对边平行且相等的性质确定点B坐标，最后将点B代入反比例函数求。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】利用乘法分配律，将公因式a提取即可。
14．【答案】a≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义时分母不等于零可得： 0，
解得a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据分式有意义时分母不等于零，即可求解.
15．【答案】71
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数是．
故答案为：71
【分析】本题考查平行线的性质。两直线平行，内错角相等，先由求，再计算，最后由，内错角相等得到的度数。
16．【答案】
【知识点】线段的中点；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴点C是线段的中点，
∵是抛物线与的公共顶点，
当时，，
∴，
设点C的坐标为，
∴点B的坐标为，
把代入得，，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查二次函数图象性质与中点坐标应用。先确定公共顶点A的坐标，由知C是AB中点，设点C坐标表示出点B坐标，将点B代入对应抛物线解析式，化简后求。
17．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）先根据乘方，有理数的除法法则和减法法则，即可求解；
（2）先根据平方差公式和整式乘法的分配律化简整式，再代入求值即可．
（1）解：原式．
（2）解：原式，
当时，原式．
18．【答案】（1）解：（1）如图，菱形即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
在中，，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）本题考查菱形的尺规作图。菱形的对角线互相垂直平分，作角平分线的垂直平分线，与、交于两点，连接相关线段即可得到菱形；
（2）本题考查三角形内角和、菱形性质与面积计算。先由三角形内角和求，利用菱形对边平行得角的关系，在直角三角形中求高，再用“底×高”计算菱形面积。
（1）解：（1）如图，菱形即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
在中，，，
，
．
19．【答案】（1）180；190；180
（2）解：达到“优秀”的学生总人数为（人）答：本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人．
（3）解：乙班的跳绳训练成效更好．
理由是：从表格看，三个班级的中位数相同，说明数据的中间水平一致；甲班优秀率60%，而乙、丙班的优秀率都是70%，但乙班的平均数和众数均高于甲、丙班，说明乙班训练成效更好．（答案不唯一，理由合理即可）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵甲班代表跳绳次数从小到大排列的数据中第10位和第11位均为180，
∴中位数，
∵乙班代表跳绳次数的扇形统计图中190次占比为30%最多，
∴乙班代表跳绳次数的数据中众数，
∵从丙班代表跳绳次数的条形统计图可得数据中第10位和第11位均为180，
∴中位数．
【分析】（1）本题考查中位数与众数的计算。中位数是数据排序后中间位置的数（偶数个取平均），众数是出现次数最多的数，结合各班数据特征直接确定；
（2）本题考查用样本估计总体。先计算样本中优秀人数占比，再用总人数乘该占比，估算总体优秀人数；
（3）本题考查统计量的实际应用。从平均数、中位数、众数、优秀率等角度对比三个班级数据，分析数据集中趋势和整体水平，判断训练成效。
（1）解：∵甲班代表跳绳次数从小到大排列的数据中第10位和第11位均为180，
∴中位数，
∵乙班代表跳绳次数的扇形统计图中190次占比为30%最多，
∴乙班代表跳绳次数的数据中众数，
∵从丙班代表跳绳次数的条形统计图可得数据中第10位和第11位均为180，
∴中位数．
（2）解：达到“优秀”的学生总人数为（人）
答：本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人．
（3）解：乙班的跳绳训练成效更好．
理由是：从表格看，三个班级的中位数相同，说明数据的中间水平一致；甲班优秀率60%，而乙、丙班的优秀率都是70%，但乙班的平均数和众数均高于甲、丙班，说明乙班训练成效更好．（答案不唯一，理由合理即可）
20．【答案】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，
根据题意，得，
解得，
答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元.
（2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个，根据题意，得，
∴，
即与的函数关系式为；
根据题意，得，
解得，
∵在中，，
∴随的增大而减小，
∵为整数，
∴当时，最大，为，
此时铜鼓摆件：个，
即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）根据题意，找出等量关系，设未知数列得方程组，求出方程组的解即可；
（）根据题意列出函数关系式即可；
由题意列不等式得，求出x的范围，再根据随的增大而减小，可知当时，最大，即可得解．
（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，
根据题意，得，
解得，
答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元；
（2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个，
根据题意，得，
∴，
即与的函数关系式为；
根据题意，得，
解得，
∵在中，，
∴随的增大而减小，
∵为整数，
∴当时，最大，为，
此时铜鼓摆件：个，
即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元．
21．【答案】（1）证明：如图①，过点作于点，
平分，
，，
，
是的切线．
（2）解：由（1）可知，是的切线，则，在和中，
，
∴，
，
如图②，连接交于点，
∵平分，
，垂足为，
，
连接，
是的直径，的半径为5，
，
在中，，
设，，
在中，，即，
或（不合题意，舍去）
，，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；切线的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据角平分线的性质得到，进而根据切线的判定即可求解；
（2）根据切线的性质结合题意由（1）可知，是的切线，则，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，连接交于点，根据角平分线的性质得到，连接，根据圆周角定理结合题意得到，，再根据正切函数设，，根据勾股定理求出k，最后根据三角形的面积等量代换即可求解。
（1）证明：如图①，过点作于点，
平分，
，，
，
是的切线．
（2）解：由（1）可知，是的切线，则，
在和中，
，
∴，
，
如图②，连接交于点，
∵平分，
，垂足为，
，
连接，
是的直径，的半径为5，
，
在中，，
设，，
在中，，即，
或（不合题意，舍去）
，，
，
，
．
22．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
∵当时的函数值与当的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为
设与的函数关系式为，
当时，，
，
解得，
（2）解：在中，令，得，
解得，
，
即观赏灯带可铺设的最大长度为．
（3）解：在中，当时，
，
要保证水柱不碰到装置，需．
又高度，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）本题考查二次函数的图象绘制与解析式求解。根据表格数据描点画图，由数据对称性确定抛物线顶点，设顶点式解析式，代入已知点坐标求参数，得到函数关系式；
（2）本题考查二次函数的实际应用。令，解一元二次方程得到对应的值，两个值的差即为灯带最大长度；
（3）本题考查二次函数的函数值计算。将代入函数解析式求对应值，结合灯光高度为正数，确定的取值范围。
（1）解：如图所示，即为所求，
∵当时的函数值与当的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为
设与的函数关系式为，
当时，，
，
解得，
（2）解：在中，令，得，
解得，
，
即观赏灯带可铺设的最大长度为．
（3）解：在中，当时，
，
要保证水柱不碰到装置，需．
又高度，
．
23．【答案】（1）菱形
（2）解：由题意知，，，在中，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在；以为直径作弧与以点为圆心，为半径作弧，两条弧交点即点的位置．
如图，连接，过点作于点，交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱形；
【分析】（1）本题考查平行四边形与菱形的判定。先由两组对边平行判定为平行四边形，再证明邻边相等，进而判定为菱形；
（2）本题考查勾股定理与相似三角形的应用。先就题意结合勾股定理求出CM'，再根据矩形的性质得到，．等量代换得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，代入数值运算即可；
（3）本题考查直角三角形、中位线与相似三角形的综合应用。连接，过点作于点，交于点，利用中位线性质得线段关系得到，再证明三角形相似，根据相似比化简得到的值。
（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱形；
（2）解：由题意知，，，
在中，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在；
以为直径作弧与以点为圆心，为半径作弧，两条弧交点即点的位置．
如图，连接，过点作于点，交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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