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2025-2026学年福建省厦门市第一中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，是单位向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．若某种信号的波形对应的函数解析式为，则其部分图像为( )
A. B.
C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿，已知大轮秒转动一周，小轮秒转动的角度大小是( )
A. B. C. D.
6.“”是“在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，且，则等于．
A. B. C. D.
8.若实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数是奇函数，且在其定义域上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.已知，，且，则下列结论正确的有( )
A. 的最小值是 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 此方程有且仅有组整数解
11.给定实数和，则下列命题正确的是( )
A. 存在，使得
B. 任意，使得
C. 存在，使得
D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 ．
13.已知，则 ．
14.已知实数，满足：，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
求，的值；
解不等式：．
16.本小题分
已知定义在上的奇函数，当时，．
求函数在上的解析式；
在坐标系中作出函数的图象；
若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
17.本小题分
合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知，为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内不包括边界且与，等距的一点处建立一个蓄水池，并铺设管道、、．
设，记铺设的管道总长度为，请将表示为的函数；
当管道总长取最小值时，求的值．
18.本小题分
已知函数，．
若函数是偶函数，求；
判断的单调性，并解关于的不等式；
证明：当时，函数有唯一零点，且．
注：本题中涉及复合函数单调性的判断可以使用复合函数性质说明，不需要定义证明
19.本小题分
已知函数、是定义在上的函数，且满足关系．
若，若，求的值域；
若，存在、，对任意，有恒成立，求的最小值；
若，要使得在内恰有个零点，请求出所有满足条件的与．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意可得，解得，；
不等式化为：，解得，则，
所以不等式的解集为．
16.【答案】； 作图见解析； ．
17.【答案】解：由于，，
在的垂直平分线 上，
若设，则，，
则；
令得，
故，又，故则，
此时：，即，
得，又，
故，故．
18.【答案】 单调递增， 证明：因为
，
所以，当时，为上的减函数，
，，
所以在上存在零点，
又为上的减函数，所以是的唯一零点，
则，
则，
则，即，
所以
19.【答案】因为，
所以，
又因为，
所以
，
当时，，，
所以，
所以函数在上的值域为
由题意及得，，，
当时，
即，时，此时，
在上单调递减，
则，，
当，
即，时，
此时，
由，得，
由，得，
在单调递增，
在单调递减，
，，
当时，即，时，
此时，
在上单调递增，
，，
当时，即，时，
此时，
由得，
由得，
在单调递增，
在单调递减，
，，
所以函数是周期为的周期函数，图象如下：
因为存在、，对任意，有恒成立，
所以，，
当最小时，由图象可知，
由题意，，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为，
设，，
所以函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有个交点，
因为在周期内，与有个交点，
所以在上有个交点，
所以若在内恰有个零点，则，，
在，中，，开口向下，
当即或，此时有个交点，
当函数有两个零点、时，
若、均不为和，此时与有个交点，则在有个零点，
，即，
解得：，
所以当函数有个零点时，，，
若、有一个为或，
，解得：，
或，解得：，
当时，由，
可得，
解得，，
其中方程在时的根为、，
方程在时的根为，
则在有个零点，
因为，
当时，函数在上的零点个数为，
当时，函数在上的零点个数为，
故当时，；
当时，由，
可得，
解得，，
其中方程在时的根为、，
方程在时的根为，
因为，
当时，函数在上的零点个数为，
当时，函数在上的零点个数为，
故当时，无解；
当函数有一个零点时，此时与有个交点，则在有个零点，
，即，
解得：，
或，即，
解得：，
当时，由，可得，
由韦达定理得，
故，
关于的方程在时无解，
关于的方程在时有两解，在时无解，
当时，函数在上有个零点，
当时，函数在上的零点个数为，
当时，函数在上的零点个数为，
故当时，或；
当时，由，可得，
由韦达定理可得，所以，
关于的方程在时无解，
关于的方程在时无解，在时有两解，
当时，函数在上有个零点，
当时，函数在上的零点个数为，
当时，函数在上的零点个数为，
故当时，或．
综上：当时，；
当时，；当时，无解；
当时，或；当时，或
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