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2025-2026学年广东省实验中学高一（下）期末数学试卷（7月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
3.从，，，，中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过的概率为( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5.已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知一组样本数据共有个数，其平均数为，方差为将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为，则新的样本数据的方差最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知在直角梯形中，，，，，若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分配的分层抽样原则抽取了容量为的样本经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为下列说法中正确的是( )
A. 女生样本容量为 B. 每个男生被抽入到样本的概率均为
C. 所有样本的均值为 D. 所有样本的方差为
10.已知函数，则下列结论正确的有( )
A. 的一个周期是
B. 在上单调递增
C. 的最大值为
D. 方程在上有个解
11.如图已知正方体的棱长为，为底面的中心，交平面于点点为棱的中点，则( )
A. ，，三点不共线
B. 异面直线与所成的角为
C. 点到平面的距离为
D. 过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是 ．
13.已知正四面体的棱长为，若该正四面体的外接球表面积为，其内切球表面积为，则： ．
14.在三棱锥中，已知，，，且，，，则以为底面时，三棱锥的高为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，，其中，，且复数，所对应的点都在复平面第一象限内．
若，求实数，的值；
设，所对应的向量为，若与共线，求的最小值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若，，且的面积为，求的长度．
17.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图所示的四棱锥，，记二面角的平面角为．
证明：平面；
当时，求证：平面；
当时，求点到平面的距离．
如果采用建系的方式来处理，将不会给分
18.本小题分
在平面直角坐标系中，先将线段绕原点按逆时针方向旋转角，再将旋转后所得线段的长度变为原来的倍得到，我们把这个过程称为对点进行一次变换得到点，例如对点进行一次变换得到点．
若对点进行一次变换得到点，求的坐标；
若先对点进行一次变换得到点，再对点进行一次变换得到点，求的坐标．
19.本小题分
年广州市高中组男子足球进比赛在月日结束，最终省实通过点球大战总比分：战胜五中挺进强根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为分钟，若在分钟结束时进球数持平，则采用“点球大战”的方式决定胜负“点球大战”的规则如下：两队各派名队员，双方轮流踢点球，合计进球个数多者胜；如果在踢满轮前，一队的进球数已多于另一队踢满轮最多可能射中的球数，则不需要再踢例如：第轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为：，则不需要再踢第轮：若前轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第轮起，双方每轮各派人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．
假设某门将每次可以扑出点球的概率为，且每次扑出与否互不影响，求该门将在前三次扑点球中至少扑出一次点球的概率；
现有省实、五中两队在进比赛中相遇，常规赛：战平，需要通过“点球大战”来决定谁晋级下一轮设五中每名队员射进点球的概率均为省实每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
若五中先踢点球，求在第轮结束时，五中踢进了个球并赢下比赛的概率；
若“点球大战”在第轮后结束，求省实以：赢下比赛的概率．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】由复数，，其中，，且复数，所对应的点都在复平面第一象限内
得，对应的点分别为，且，，
由，可得，，
故，
，，因为与共线，所以．
由基本不等式可得：，当且仅当，时等号成立．
所以的最小值为
16.【答案】解：在中，角，，的对边分别为，，，
因为，
所以根据正弦定理可得：
，
因为，且，
所以，即，
因为，所以．
由的面积为，
根据三角形的面积公式可得，所以，
又，所以，
根据两角和的正弦公式可得：
，
由正弦定理，得：：：：：：，
由可得，，，
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
所以．
17.【答案】证明：连接，交于点，连接因为，，，
可得 ，，且翻折后长度保持不变．
所以∽，相似比为：：，
因此：：．
又已知，即：：，
因此在中，由平行线分线段成比例，
得，又平面，平面，
故AD平面，得证
因为翻折前，所以翻折后，，
由二面角的定义可知，二面角的平面角，
当时，，即，
又因为，且，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
在中，易知，，，
满足，
由勾股定理可知，，
因为，且，，平面，
所以平面
过点作于点，，
作于，连接．
因为，，，，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，，，平面，
所以平面因为，
所以，
所以，，，，，
所以，．，
所以为等腰三角形，且边上的高，
所以，
令到平面的距离为，
且，
因为，
所以，
所以
18.【答案】因为点，与轴的正方向的夹角，且，
所以由题可得点进行一次变换，
即将线段绕原点按逆时针方向旋转角，再将的长度变为原来的倍，
得到点
对点进行一次变换得到点，
则，，
所以，再对点进行一次变换得到点，
所以，
设与轴的正方向的夹角为，
则，且，
所以，
又因为，所以，
所以，，
所以，即
19.【答案】前三次未扑出点球的概率为，
则该门将在前三次扑点球中至少扑出一次点球的概率为
五中轮全进的概率为，
省实轮全未进的概率为，
则在第轮结束时，五中踢进了个球并赢下比赛的概率为；
省实以：赢下比赛意味着：
前轮“点球大战”中双方进球数均为，第轮双方均未进球，第轮省实进球、五中未进球，
其概率为，
前轮“点球大战”中双方进球数均为，第轮双方均进球，第轮省实进球、五中未进球，
其概率为，
则省实以：赢下比赛的概率为
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