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2025-2026学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数为虚数单位对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设向量，，则””是“”的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的零点分别，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 数据，，，，，的中位数是
B. 数据，，，的方差是，则，，，的方差是
C. 若事件与互斥，且，，则
D. 记事件与的对立事件分别为，，若事件与互斥，则是必然事件
10.在三棱锥中，平面，，，，则( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 点到平面的距离为
C. 二面角的正弦值为
D. 三棱锥各顶点均在半径为的球的球面上
11.函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 若在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面内向量，若和垂直，则的值为 ．
13.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，，，则该组合体的体积为 ．
14.一艘轮船按照北偏东方向，以海里时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了枚金牌，枚银牌，枚铜牌，共枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
求该样本的第百分位数；
试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格分以下的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出名同学，再从抽取的这名同学中随机抽取名同学进行情况了解，求这名同学分数在，各一人的概率．
17.本小题分
某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量吨最少为吨，最多为吨，日加工处理总成本元与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为元．
该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？平均成本
为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案：
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为元；
方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．
如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．
求证：平面；
若，求三棱锥的体积．
19.本小题分
设函数．
判断的奇偶性并予以证明；
设，，经研究，此时有，证明：；
设，且，若，，恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，
可得，
即，
又，所以，
又，所以；
由题意，，所以，
又，由余弦定理，
可得，即，
又，则，
故三角形周长为．
16.【答案】解：根据频率分布直方图可得：
，解得：；
，
该样本的第百分位数在区间内，
设该样本的第百分位数为，
则可得方程：
，
解得：，
该样本的第百分位数为；
，
估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为；
采用分层抽样从和抽取名同学，
：：，
则应在成绩为的学生中抽取人，记为，，在成绩为的学生中抽取人，记为，，，
再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下，，，，，，，，，共种可能结果，其中在，各一人的共种；
所求概率，
则这名同学分数在，各一人的概率为．
17.【答案】解：由题意得每吨厨余垃圾平均加工成本为，
又，
当且仅当，即时等号成立，
该企业日加工处理量为吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，
，
此时该企业处理吨厨余垃圾处于亏损状态；
若该企业采用补贴方式：设该企业每日获利为，
则，
，
当吨时，企业获得最大利润为元；
若该企业采用补贴方式：设该企业每日获利为，
则，
，
当吨时，企业获得最大利润为元，
综上所述，选择方案一，当日加工处理量为吨时，可以获得最大利润元；
选择方案二，当日加工处理量为吨时，获得最大利润元；
故选择方案二进行补贴
18.【答案】解：证明：如图，取的中点，连接，，
又，分别为，的中点，
，，又，
且，
又平面，平面，
且平面，平面，
平面，平面，
又，且，平面，
平面平面，又平面，
平面；
如图，取的中点为，连接，
又三棱柱为正三棱柱，
易得平面，
又根据题意可知，的面积为，
三棱锥的体积为：
．
19.【答案】解：函数是奇函数，理由如下：
由，得，
，，
所以函数是奇函数．
证明：当，时，，
因此，，
所以．
因为，，，
函数，
因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，
所以，，
由，，，得，
所以实数的取值范围是．
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