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(共49张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
第22讲　简单的三角恒等变换
第2课时　三角恒等变换
题型突破　能力进阶
目标
1
辅助角公式的应用
1
【解析】
B
【解析】
1
　　　(3) 若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为
______________________________．
【解析】
1
【解析】
【解析】
目标
2
三角恒等式的求值
视角1　给角求值
【解析】
2－1
－1
　　　　　(2) 计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝_____．
【解析】
2－1
给角求值问题的解题策略
若给出的角为非特殊角，求解时要先观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，再进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用与变形化简求值．
视角2　给值求值
【解析】
2－2
C
给值求值问题的解题策略
(1) 先将待求式子化简整理，明确需要求相关角的哪些三角函数值，再根据已知条件和角的范围，求出相应角的三角函数值，最后代入计算即可．
(2) 将已知角与未知角建立联系来求解，要注意角的范围，若范围不确定，则进行分类讨论．
视角3　给值求角
【解析】
2－3
B
【解析】
2－3
常见的缩小角的范围的方法
一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围．
变式2　(1) (2025·苏北七市二调)已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝____．
【解析】
0
【解析】
C
目标
3
三角恒等式的证明
　　　已知2tan2β＝tan2α－1，求证：sin2α－cos2α＝sin2β.
3
【解答】
又2cos2αsin2β＋cos2αcos2β＝2cos2α·(1－cos2β)＋cos2αcos2β＝2cos2α－cos2αcos2β＝cos2α(2－cos2β)＝cos2α(1＋sin2β)，所以sin2αcos2β＝cos2α·(1＋sin2β)，即sin2α(1－sin2β)＝cos2α＋cos2αsin2β，所以sin2α－sin2αsin2β＝cos2α＋cos2αsin2β，于是sin2α－cos2α＝(sin2α＋cos2α)sin2β＝sin2β，故sin2α－cos2α＝sin2β.
三角恒等式的证明方法
(1) 从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2) 等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
变式3　证明三角平方差公式：sin 2A－sin 2B＝sin (A＋B)sin (A－B).
【解答】
　　　　sin (A＋B)sin (A－B)＝(sin A cos B＋cos A sin B)(sin A cos B－cos A sin B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2A sin2B－sin2B＋sin2A sin2B＝sin2A－sin2B，即得证．
【解析】
C
【解析】
【解析】
4
配套精练
【解析】
A
【解析】
A
3．(2025·肇庆期初联考)sin 18°cos 36°＝ (　　)
【解析】
A
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】BD
6．已知函数f(x)＝3sin x－4cos x，若f(α)，f(β)分别为f(x)的极大值与极小值，则
(　　)
A．tan α＝－tan β　　　　 B．tan α＝tan β
C．sin α＝－sin β　　　 D．cos α＝－cos β
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】BD
三、 填空题
8．已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝____．
【解析】
3
【解析】
【解析】
四、 解答题
11．证明：(1) cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α；
【解答】
　　　　左边＝2cos22α－1＋4cos2α＋3＝2(cos22α＋2cos2α＋1)＝2(cos 2α＋1)2＝2(2cos2α)2＝8cos4α＝右边．
【解答】
【解答】
12．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点为A，如图，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，记点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ)，终边OB对应角β.
【解答】
12．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点为A，如图，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，记点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ)，终边OB对应角β.
【解答】
12．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点为A，如图，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，记点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ)，终边OB对应角β.
【解答】
B组　滚动小练
13．(2026·苏州期初)函数f(x)＝lg (2x)·lg (5x)－lg 2·lg 5的最小值为_______．
【解析】
14．(2026·益阳期初节选)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
【解答】
14．(2026·益阳期初节选)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax.
(2) 当x∈(0，＋∞)时，f(x)【解答】
当a≥1时，g′(0)＝1－a≤0，所以g′(x)0，所以存在x0>0，使得当x∈(0，x0)时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增，g(x)>g(0)＝0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是[1，＋∞).第2课时　三角恒等变换
举题说法
辅助角公式的应用
例1　(1) (2025·江门模拟)已知sin ＋cos α＝，则cos ＝(　B　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由sin ＋cos α＝，得sin α－cos α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝，因此sin ＝，所以cos ＝cos ＝1－2sin2＝.
(2)(2025· 汕尾、肇庆二模)已知α是锐角，sin α＋2cos α＝，则sin α＝____．
【解析】 方法一：由sin α＋2cos α＝，得cos α＝－sin α，由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋＝1，化简得(sin α－)2＝0，得sin α＝.
方法二：因为sin α＋2cos α＝sin (α＋φ)＝，所以sin (α＋φ)＝1，且sin φ＝，cos φ＝，sin α＝sin [(α＋φ)－φ]＝sin (α＋φ)·cos φ－cos (α＋φ)sin φ＝1×－0×＝.
(3) 若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为____．
【解析】 f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x＝sin x cos φ＋cos xsin φ＋cos x＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝·sin (x＋θ).因为f(x)的最大值为2，所以＝2，化简可得sin φ＝1，故φ＝＋2kπ(k∈Z).
辅助角公式主要用于完成正弦和余弦的叠加，利用公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)先将表达式进行转化，再研究其相关性质．解题时要注意观察角、函数名、结构等方面的特征．
变式1　(1) (2025·新余二模)函数f(x)＝sin cos x的最小值为__－__．
【解析】 f(x)＝sin cos x＝cos x＝sin x cos x－cos2x＝sin2x－(1＋cos 2x)＝sin －.当sin ＝－1，即x＝－＋kπ，k∈Z时，函数f(x)取得最小值－.
(2) 函数f(x)＝cos2x＋sinx cos x(x∈[0，π])的单调递减区间为____．
【解析】 函数f(x)＝cos2x＋sinx cos x＝＋cos 2x＋sin 2x＝sin ＋，令2kπ＋≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ＋≤x≤＋kπ，k∈Z.因为x∈[0，π]，所以所求单调递减区间为.
三角恒等式的求值
视角1　给角求值
例 2-1　(1) (教材经典题)计算：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝__－1__．
【解析】 原式＝tan 70°cos 10°＝tan 70°cos 10°·＝tan 70°cos 10°·＝tan 70°cos 10°·＝·cos 10°·＝·＝＝－1.
(2) 计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝____．
【解析】 原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝＝＝.
给角求值问题的解题策略
若给出的角为非特殊角，求解时要先观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，再进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用与变形化简求值．
注意：当式子中出现，1，，等值时，可考虑引入特殊角，通过“值变角”来化简计算．
视角2　给值求值
例 2-2　(2025·嘉兴期初)已知sin (α＋β)＝3cos (α－β)，tan αtan β＝－，则tan α＋tan β＝(　C　)
A．－ B．－5
C． D．12
【解析】 由tan αtan β＝－，得＝－，即sin αsin β＝－cos αcos β.又sin (α＋β)＝3cos (α－β)＝3cos αcos β＋3sin αsin β＝3cos αcos β＋3×＝cos αcos β，所以tan α＋tan β＝＋＝＝＝＝.
给值求值问题的解题策略
(1) 先将待求式子化简整理，明确需要求相关角的哪些三角函数值，再根据已知条件和角的范围，求出相应角的三角函数值，最后代入计算即可．
(2) 将已知角与未知角建立联系来求解，要注意角的范围，若范围不确定，则进行分类讨论．
视角3　给值求角
例 2-3　(1) 已知sin α＝，α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题知cos α＝＝.因为tanβ＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝，cos β＝－，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.又0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，所以α＋β＝.
(2) 已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝__－__．
【解析】 因为tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝＞0，所以0＜α＜.又因为tan 2α＝＝＝＞0，所以0＜2α＜，所以tan(2α－β)＝＝＝1.又tan β＝－＜0，所以＜β＜π，则－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－.
常见的缩小角的范围的方法
一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围．
变式 2　(1) (2025·苏北七市二调)已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝__0__．
【解析】 若sin β＝0，则cos 2α＝0，而sin 2α＝2sin 2β＝4sin βcos β＝0，与sin22α＋cos22α＝1矛盾，所以sinβ≠0，cos 2α≠0，所以＝＝，则cos 2αcos β－sin 2αsin β＝0，即cos (2α＋β)＝0.
(2) (2025·泉州二检)计算：－＝(　C　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 －＝＝＝＝＝4.
三角恒等式的证明
例3　已知2tan2β＝tan2α－1，求证：sin2α－cos2α＝sin2β.
【解答】因为2tan2β＝tan2α－1，所以tan2α＝2tan2β＋1，即＝2×＋1，去分母，得sin2αcos2β＝2cos2αsin2β＋cos2αcos2β.又2cos2αsin2β＋cos2αcos2β＝2cos2α·(1－cos2β)＋cos2αcos2β＝2cos2α－cos2αcos2β＝cos2α(2－cos2β)＝cos2α(1＋sin2β)，所以sin2αcos2β＝cos2α·(1＋sin2β)，即sin2α(1－sin2β)＝cos2α＋cos2αsin2β，所以sin2α－sin2αsin2β＝cos2α＋cos2αsin2β，于是sin2α－cos2α＝(sin2α＋cos2α)sin2β＝sin2β，故sin2α－cos2α＝sin2β.
三角恒等式的证明方法
(1) 从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2) 等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
变式3　证明三角平方差公式：sin 2A－sin 2B＝sin (A＋B)sin (A－B).
【解答】 sin (A＋B)sin (A－B)＝(sin A cos B＋cos A sin B)(sin A cos B－cos A sin B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2A sin2B－sin2B＋sin2A sin2B＝sin2A－sin2B，即得证．
随堂内化
1.(2025·茂名二模)若(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则tan (α＋β)＝(　C　)
A．0 B．
C．1 D．4
【解析】 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，得tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β，tan (α＋β)＝＝＝1.
2．(2025·东莞、揭阳、韶关期末)已知sin (α－β)＝－，＝，则sin (α＋β)＝____.
【解析】 由题知sin (α－β)＝sin αcos β－cos α·sin β＝－，＝＝，可得sin αcos β＝cos αsin β，则sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β＝－，所以cos αsin β＝，sin αcos β＝cos αsin β＝，故sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝.
3．计算：＋4cos220°＝__4__．
【解析】＋4cos220°＝＋2(1＋cos 40°)＝＋2cos 40°＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝4.
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．(2025·漳州二模)已知α∈，若sin ＋cos ＝0，则α＝(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为sin ＝－cos 2α，所以－cos 2α＋cos ＝0，即cos 2α＝cos ，即cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α).因为α∈，所以cos α＋sin α>0，所以cos α－sin α＝，即cos ＝.又α∈，所以α＋∈，所以α＋＝，所以α＝.
2．若sin α＋sin ＝sin ，则sin α＝(　A　)
A．0 B．±
C．± D．±
【解析】 因为sin α＋sin ＝sin α＋cos α＝sin ，所以sin ＝sin ，所以α＋＝－α＋2kπ(k∈Z)或α＋＋－α＝π＋2kπ(k∈Z)，解得α＝kπ(k∈Z)，故sin α＝sin kπ＝0.
3．(2025·肇庆期初联考)sin 18°cos 36°＝(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 sin 18°cos 36°＝＝＝＝＝.
4．(2026·烟台期中)已知锐角α，β满足2α＋β＝，且tan αtan ＝2－，则β＝(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 由2α＋β＝，得α＋＝，所以tan ＝＝.又tan αtan ＝2－，则tan α＋tan ＝＝3－，解得tan α＝2－，tan ＝1或tan α＝1，tan ＝2－.当tan ＝1时，因为0<β<，所以0<<，此时β不存在；当tan α＝1时，因为0<α<，所以α＝，而tan ＝2－，则tan β＝＝＝.因为β为锐角，所以β＝.
二、 多项选择题
5．已知0<α<β<，且3cos α＋cos β＝3，3sin α－sin β＝2，则(　BD　)
A．cos (α＋β)＝ B．sin (α＋β)＝
C．tan (2α＋2β)＝ D．β∈
【解析】 对于A，因为3cos α＋cos β＝3，3sin α－sin β＝2，两式平方后相加可得9＋10＋6(cos αcos β－sin αsin β)＝13，所以cos (α＋β)＝－，故A错误．对于D，因为0<α<β<，所以0<α＋β<π，又cos (α＋β)<0，所以α＋β∈.由2β>α＋β>，知β>.又0<α<β<，所以β∈，故D正确．对于B，sin (α＋β)＝＝，故B正确．对于C，tan(α＋β)＝＝－3，所以tan (2α＋2β)＝＝＝，故C错误．
6.已知函数f(x)＝3sin x－4cos x，若f(α)，f(β)分别为f(x)的极大值与极小值，则(　BCD　)
A．tan α＝－tan β B．tan α＝tan β
C．sin α＝－sin β D．cos α＝－cos β
【解析】 f(x)＝3sin x－4cos x＝5sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.当x－φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得极大值，所以α＝＋φ＋2kπ(k∈Z)；当x－φ＝－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得极小值，所以β＝－＋φ＋2kπ(k∈Z).tan β＝tan ＝tan ＝tan α，故A错误，B正确；sin α＝sin ＝－sin ＝－sin β，故C正确；cos α＝cos ＝－cos ＝－cos β，故D正确．
7．已知α∈，β∈(0，π)，cos 2α＝－，cos (β－α)＝－，则(　BD　)
A．tan α＝－ B．sin (β－α)＝－
C．α＋β＝ D．cos αcos β＝－
【解析】 对于A，因为<α<π，cos 2α＝－，所以tan α＝－＝－2，故A错误．对于B，由－π<－α<－，0<β<π，得－π<β－α<，又cos (β－α)＝－<0，所以－π<β－α<－，所以sin (β－α)＝－＝－，故B正确．对于C，由<α<π，得π<2α<2π.又cos2α＝－，所以π<2α<，sin 2α＝－，sin (α＋β)＝sin [2α＋(β－α)]＝sin 2αcos (β－α)＋cos 2αsin (β－α)＝.又<α＋β<2π，所以α＋β＝，故C错误．对于D，根据C知α＋β＝，所以cos αcos β＝＝×＝－，故D正确．
三、 填空题
8．已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝__3__．
【解析】 f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin (x＋φ)，其中tan φ＝，φ∈，则f(x)≤f(θ)＝5，故θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝－φ＋2kπ，k∈Z，故tan θ＝tan ＝＝，即＝，解得m＝3.
9．(2025·郑州二检)若tan (α－β)＝3，＝18，则tan2α＝__－__．
【解析】 因为tan (α－β)＝3，所以tan (α＋β)·tan (α－β)＝3tan (α＋β)，可得＝·＝tan (α＋β)·tan (α－β)＝18，所以18＝3tan (α＋β)，即tan (α＋β)＝6，故tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－.
10．(2025·三明5月质检)已知函数f(x)＝a sin x＋b cos x(ab≠0)的图象关于直线x＝对称，则＝__－__．
【解析】 由题知f＝±，所以a sin ＋b cos ＝±，即a－b＝±，则a2＋b2－ab＝a2＋b2，即a2＋b2＋ab＝0，所以＋＋·＝0，可得＝－.
四、 解答题
11．证明：(1) cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α；
【解答】左边＝2cos22α－1＋4cos2α＋3＝2(cos22α＋2cos2α＋1)＝2(cos 2α＋1)2＝2(2cos2α)2＝8cos4α＝右边．
(2)＝tan α＋；
【解答】 左边＝＝＝＝tan α＋＝右边．
(3) －2cos (α＋β)＝.
【解答】 左边＝
＝
＝＝＝右边．
12．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点为A，如图，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，记点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ)，终边OB对应角β.
(第12题)
(1) 若A，m<0，求α；
【解答】 因为sin α＝－，且m<0，点A在第三象限，所以α＝＋2kπ(k∈Z).
(2) 对(1)中α，若f(θ)＝，θ∈，求tan θ；
【解答】 由f(θ)＝，得sin ＝－sin ＝，即sin ＝－.由θ∈，得θ＋∈，所以cos <0，得cos ＝－＝，所以tan＝＝2＋，得tan θ＝tan ＝＝1.
(3) 若<α<<θ<，点A的纵坐标为，点B的横坐标为－，求θ－α.
【解答】 易知sin α＝，cos (α＋θ)＝－，由<α<<θ<可知cos α＝，<α＋θ<2π，<2α<π，从而sin 2α＝，cos 2α＝－.由θ＋α∈，cos (α＋θ)＝－>－，可知<α＋θ<，所以sin (α＋θ)＝－，从而cos (θ－α)＝cos [(θ＋α)－2α]＝－，易知θ－α∈，故θ－α＝.
B组　滚动小练
13．(2026·苏州期初)函数f(x)＝lg (2x)·lg (5x)－lg 2·lg 5的最小值为__－__．
【解析】 由题设知f(x)＝(lg 2＋lg x)(lg 5＋lg x)－lg 2·lg 5＝(lg x)2＋lg x，且x>0.令t＝lg x∈R，则f(x)＝g(t)＝t2＋t＝－，当t＝－，即x＝时，f(x)min＝－.
14．(2026·益阳期初节选)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
【解答】 当a＝2时，f(x)＝ln (x＋1)－2x(x>－1)，所以f′(x)＝－2＝(x>－1).当－10，f(x)单调递增；当x>－时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2) 当x∈(0，＋∞)时，f(x)【解答】 当x∈(0，＋∞)时，f(x)0时，g(x)＝ln (x＋1)－x2－ax<0恒成立．因为g′(x)＝－2x－a，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝－－2<0，所以h(x)单调递减，即g′(x)单调递减．当a≥1时，g′(0)＝1－a≤0，所以g′(x)0，所以存在x0>0，使得当x∈(0，x0)时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增，g(x)>g(0)＝0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是[1，＋∞).第2课时　三角恒等变换
举题说法
辅助角公式的应用
例1　(1) (2025·江门模拟)已知sin ＋cos α＝，则cos ＝(　 　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(2025· 汕尾、肇庆二模)已知α是锐角，sin α＋2cos α＝，则sin α＝ ．
(3) 若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为 ．
辅助角公式主要用于完成正弦和余弦的叠加，利用公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)先将表达式进行转化，再研究其相关性质．解题时要注意观察角、函数名、结构等方面的特征．
变式1　(1) (2025·新余二模)函数f(x)＝sin cos x的最小值为 ．
(2) 函数f(x)＝cos2x＋sinx cos x(x∈[0，π])的单调递减区间为 ．
三角恒等式的求值
视角1　给角求值
例 2-1　(1) (教材经典题)计算：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝ ．
(2) 计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝ ．
给角求值问题的解题策略
若给出的角为非特殊角，求解时要先观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，再进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用与变形化简求值．
注意：当式子中出现，1，，等值时，可考虑引入特殊角，通过“值变角”来化简计算．
视角2　给值求值
例 2-2　(2025·嘉兴期初)已知sin (α＋β)＝3cos (α－β)，tan αtan β＝－，则tan α＋tan β＝(　 　)
A．－ B．－5
C． D．12
给值求值问题的解题策略
(1) 先将待求式子化简整理，明确需要求相关角的哪些三角函数值，再根据已知条件和角的范围，求出相应角的三角函数值，最后代入计算即可．
(2) 将已知角与未知角建立联系来求解，要注意角的范围，若范围不确定，则进行分类讨论．
视角3　给值求角
例 2-3　(1) 已知sin α＝，α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　 　)
A． B．
C． D．
(2) 已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝ ．
常见的缩小角的范围的方法
一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围．
变式 2　(1) (2025·苏北七市二调)已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝ ．
(2) (2025·泉州二检)计算：－＝(　 　)
A．2 B．3
C．4 D．5
三角恒等式的证明
例3　已知2tan2β＝tan2α－1，求证：sin2α－cos2α＝sin2β.
三角恒等式的证明方法
(1) 从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2) 等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
变式3　证明三角平方差公式：sin 2A－sin 2B＝sin (A＋B)sin (A－B).
随堂内化
1.(2025·茂名二模)若(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则tan (α＋β)＝(　 　)
A．0 B．
C．1 D．4
2．(2025·东莞、揭阳、韶关期末)已知sin (α－β)＝－，＝，则sin (α＋β)＝ .
3．计算：＋4cos220°＝ ．
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．(2025·漳州二模)已知α∈，若sin ＋cos ＝0，则α＝(　 　)
A． B．
C． D．
2．若sin α＋sin ＝sin ，则sin α＝(　 　)
A．0 B．±
C．± D．±
3．(2025·肇庆期初联考)sin 18°cos 36°＝(　 　)
A． B．
C． D．
4．(2026·烟台期中)已知锐角α，β满足2α＋β＝，且tan αtan ＝2－，则β＝(　 　)
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．已知0<α<β<，且3cos α＋cos β＝3，3sin α－sin β＝2，则(　 　)
A．cos (α＋β)＝ B．sin (α＋β)＝
C．tan (2α＋2β)＝ D．β∈
6.已知函数f(x)＝3sin x－4cos x，若f(α)，f(β)分别为f(x)的极大值与极小值，则(　 　)
A．tan α＝－tan β B．tan α＝tan β
C．sin α＝－sin β D．cos α＝－cos β
7．已知α∈，β∈(0，π)，cos 2α＝－，cos (β－α)＝－，则(　 　)
A．tan α＝－ B．sin (β－α)＝－
C．α＋β＝ D．cos αcos β＝－
三、 填空题
8．已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x，且f(x)≤f(θ)对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P(4，m)，则m＝ ．
9．(2025·郑州二检)若tan (α－β)＝3，＝18，则tan2α＝ ．
10．(2025·三明5月质检)已知函数f(x)＝a sin x＋b cos x(ab≠0)的图象关于直线x＝对称，则＝ ．
四、 解答题
11．证明：(1) cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α；
(2)＝tan α＋；
(3) －2cos (α＋β)＝.
12．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点为A，如图，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，记点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ)，终边OB对应角β.
(第12题)
(1) 若A，m<0，求α；
(2) 对(1)中α，若f(θ)＝，θ∈，求tan θ；
(3) 若<α<<θ<，点A的纵坐标为，点B的横坐标为－，求θ－α.
B组　滚动小练
13．(2026·苏州期初)函数f(x)＝lg (2x)·lg (5x)－lg 2·lg 5的最小值为 ．
14．(2026·益阳期初节选)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2) 当x∈(0，＋∞)时，f(x)

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