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(共67张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
第20讲　弧度制、任意角的三角函数
知识梳理　体系构建
【解析】
D
2．下列各式不正确的是 (　　)
【解析】
C
【解析】
C
4．(多选)已知角θ的终边上有一点P(a，2a)，若a＜0，则 (　　)
【解析】
BD
【解析】
12π
1．角的概念的推广
定义 平面内一条射线绕着_______从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
分类 按旋转方向 _______、_______、_______
按终边位置 _________、轴线角
终边相
同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
端点
正角
负角
零角
象限角
2．弧度制的定义和公式
半径长
|α|r
注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
三角函
数线
有向线段_____为正弦线
有向线段_____为余弦线
有向线段_____为正切线
MP
OM
AT
>
>
4．常见结论
(1) β，α的终边关于x轴对称 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(2) β，α的终边关于y轴对称 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(3) β，α的终边关于原点对称 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
题型突破　能力进阶
目标
1
象限角及其表示
1
【解析】
A
　　　(2) 已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为___________________________________________．
【解析】
　　　　在0°～360°内，终边落在阴影部分内的角表示为45°＜α＜150°，所以所求角的集合为{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
1
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
(1) 象限角
(2) 轴线角
【解析】
对于D，因为π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上，故D正确．
【答案】AD
目标
2
弧度制与扇形的弧长、面积公式
　　　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l;
2
【解答】
(2) 已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
【解答】
　　　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(3) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解答】
2
应用弧度制解决问题的方法
(1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
变式2　如图(1)是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图(2)所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)．已知该扇形玉雕壁画的周长为320 cm.
(1) 若OD＝2OA＝80 cm，求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度；
【解答】
变式2　如图(1)是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图(2)所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)．已知该扇形玉雕壁画的周长为320 cm.
(2) 若AD＝2OA，求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值．
【解答】
目标
3
任意角的三角函数
3
【解析】
B
　　　(2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为原点O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是 (　　)
【解析】
3
AB
(1) 当已知角α终边上一点P的坐标时，可利用三角函数的定义求出角α的三角函数值．
(2) 当已知角α的三角函数值时，也可以利用三角函数的定义求出点P的坐标．
【解析】
　　　(多选)已知sin α>sin β，那么下列结论正确的是 (　　)
A．若角α，β是第一象限角，则cos α>cos β
B．若角α，β是第二象限角，则tan β>tan α
C．若角α，β是第三象限角，则cos β>cos α
D．若角α，β是第四象限角，则tan α>tan β
4
【解析】
　　　　设角α，β的终边分别为射线OP，OQ.对于A，如图(1)，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，OM微探究
三角函数线
对于B，如图(2)，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时tan α＝AC，tan β＝AB，且AC对于C，如图(3)，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，且OMcos α，故C正确；
对于D，如图(4)，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时tan α＝AC，tan β＝AB，AB【答案】BCD
【解析】
　　　　方法一：设P(x，y)，如图，有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线．
【答案】C
1．与－2 026°终边相同的最小正角是 (　　)
A．136°　　　　B．134°　　　　C．57°　　　　D．43°
【解析】
　　　　因为－2 026°＝－360°×6＋134°，所以与－2 026° 终边相同的最小正角是134°.
B
2．(2020·全国Ⅱ卷理)若α为第四象限角，则 (　　)
A．cos 2α>0　　　　B．cos 2α<0　　　　C．sin 2α>0　　　　D．sin 2α<0
【解析】
D
3．(2026·黄冈期初)(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．sin 2cos 3<0
【解析】
【答案】ABD
【解析】
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．点A(cos 2，tan 4)在平面直角坐标系中位于 (　　)
A．第一象限　　　　 B．第二象限
C．第三象限　　　　 D．第四象限
B
2．(2025·九江一模)已知角α的终边在直线2x－y＝0上，则tan 2α＝ (　　)
A
B
【解析】
C
【解析】
B
6．刘徽(约公元225年－295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形，当n变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，得到sin 1°的近似值为 (　　)
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】A
二、 多项选择题
8．关于角度，下列说法正确的是 (　　)
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
【解析】
　　　　对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故A错误．对于B，钝角一定大于锐角，显然B正确．
对于C，若三角形的内角为90°，则该角是终边在y轴正半轴上的角，故C错误．
【答案】BD
9．下列说法正确的是 (　　)
A．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角
【解析】
【答案】CD
A．sin α＜cos α＜tan α　　　　 B．cos α＜sin α＜tan α
C．sin α＜α＜tan α　　　　 D．α＜sin α＜tan α
【解析】
【答案】BC
【解析】
【答案】ABD
三、 填空题
12．如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是

______________________________．
【解析】
【解析】
B组　滚动小练
15．若函数f(x)＝log2(x2－4)在(－∞，a)上单调递减，则实数a的取值范围是
(　　)
A．(－∞，－2]　　　　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]　　　　 D．[0，＋∞)
【解析】
　　　　f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，令y＝log2t，其在定义域上单调递增，t＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，a∈(－∞，－2].
A
A．(－4，2)∪(3，＋∞)　　　　 B．(－3，2)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，4)　　　　 D．(－∞，－4)∪(2，3)
【解析】
B
(1) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋b，求a和b的值；
【解答】
(2) 讨论f(x)的单调性．
【解答】第四章　三角函数与解三角形
第20讲　弧度制、任意角的三角函数
激活思维
1．(教材经典题)若α为第一象限角，则是(　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
2．下列各式不正确的是(　 　)
A．－210°＝－ B．405°＝
C．335°＝ D．705°＝
3．当α为第二象限角时，－的值是(　 　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
4．(多选)已知角θ的终边上有一点P(a，2a)，若a＜0，则(　 　)
A．sin θ＝－ B．sin θ＝－
C．tan θ＝－ D．tan θ＝2
5．(教材经典题改编)已知圆心角为的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的面积为 .
聚焦知识
1．角的概念的推广
定义 平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
分类 按旋转方向 、 、
按终边位置 、轴线角
终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2．弧度制的定义和公式
定义 长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad； ②1 rad＝°
弧长公式 l＝
扇形面积公式 S＝ ＝
注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r
sin α＝ cos α＝ tan α＝ (x≠0)
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函 数线 有向线段 为正弦线 有向线段 为余弦线 有向线段 为正切线
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
注意：若α∈，则tan α α sin α.
4．常见结论
(1) β，α的终边关于x轴对称 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(2) β，α的终边关于y轴对称 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(3) β，α的终边关于原点对称 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
题型突破　能力进阶
举题说法
象限角及其表示
例1　(1) 若β是第二象限角，则＋β是(　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2) 已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为 ．
(例1(2))
(1) 象限角
(2) 轴线角
变式1　(多选)若α是第二象限角，则下列说法正确的是(　 　)
A．－α是第三象限角
B．是第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上
弧度制与扇形的弧长、面积公式
例2　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l;
(2) 已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
应用弧度制解决问题的方法
(1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
变式2　如图(1)是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图(2)所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)．已知该扇形玉雕壁画的周长为320 cm.
图(1) 图(2)
(变式2)
(1) 若OD＝2OA＝80 cm，求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度；
(2) 若AD＝2OA，求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值．
任意角的三角函数
例3　(1) (2025·滁州一模)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(－1，2)，则－＝(　 　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为原点O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　 　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
(1) 当已知角α终边上一点P的坐标时，可利用三角函数的定义求出角α的三角函数值．
(2) 当已知角α的三角函数值时，也可以利用三角函数的定义求出点P的坐标．
变式3　(2025·岳阳质检)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(3，4)，若将角α的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角β，则sin β＝ ．
　三角函数线
例4　(多选)已知sin α>sin β，那么下列结论正确的是(　 　)
A．若角α，β是第一象限角，则cos α>cos β
B．若角α，β是第二象限角，则tan β>tan α
C．若角α，β是第三象限角，则cos β>cos α
D．若角α，β是第四象限角，则tan α>tan β
变式4　在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α(变式4)
A． B．
C． D．
随堂内化
1．与－2 026°终边相同的最小正角是(　 　)
A．136° B．134°
C．57° D．43°
2．(2020·全国Ⅱ卷理)若α为第四象限角，则(　 　)
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
3．(2026·黄冈期初)(多选)下列说法正确的是(　 　)
A．sin 2cos 3<0
B．若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的弧长为π
C．终边落在直线x＋y＝0上的角的集合是
D．函数y＝tan 的定义域为
4．(2025·保定一模)设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cos α＝x，则tan α＝ ．
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．点A(cos 2，tan 4)在平面直角坐标系中位于(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2025·九江一模)已知角α的终边在直线2x－y＝0上，则tan 2α＝(　 　)
A．－ B．
C．－ D．
3．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2a，a－2)，且cos α＝，则实数a的值是(　 　)
A．－4和 B．
C．－4 D．1
4．已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为(　 　)
A．－6 B．6
C．0 D．－3
5．(2025·青岛期初)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若cos α＝－，则cos (α－β)＝(　 　)
A． B．－
C．1 D．
6．刘徽(约公元225年－295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形，当n变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，得到sin 1°的近似值为(　 　)
A． B．
C． D．
7．如图，单位圆O内接一个圆心角为的扇形ABC，则扇形ABC的面积为(　 　)
(第7题)
A． B．
C．π D．
二、 多项选择题
8．关于角度，下列说法正确的是(　 　)
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第四象限角，则是第二或第四象限角
9．下列说法正确的是(　 　)
A．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角
B．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若>0，则角α的终边在第一象限或第三象限
10．若＜α＜，那么下列不等式成立的是(　 　)
A．sin α＜cos α＜tan α B．cos α＜sin α＜tan α
C．sin α＜α＜tan α D．α＜sin α＜tan α
11．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　 　)
(第11题)
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过 s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
三、 填空题
12．如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是 ．
(第12题)
13．(2025·张家口期末)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角α的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角α的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是 ．
14．若点A(cos θ，sin θ)关于y轴的对称点为B，写出θ的一个取值： ．
B组　滚动小练
15．若函数f(x)＝log2(x2－4)在(－∞，a)上单调递减，则实数a的取值范围是(　 　)
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0] D．[0，＋∞)
16．若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1，2)，则不等式>0的解集为(　 　)
A．(－4，2)∪(3，＋∞) B．(－3，2)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，4) D．(－∞，－4)∪(2，3)
17．(2025·黄冈期初)已知函数f(x)＝2a ln x＋x2－(a＋3)x(a∈R).
(1) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋b，求a和b的值；
(2) 讨论f(x)的单调性．第四章　三角函数与解三角形
第20讲　弧度制、任意角的三角函数
激活思维
1．(教材经典题)若α为第一象限角，则是(　D　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【解析】 因为α为第一象限角，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，所以kπ<2．下列各式不正确的是(　C　)
A．－210°＝－ B．405°＝
C．335°＝ D．705°＝
【解析】 对于A，－210°＝－210×＝－，故A正确；对于B，405°＝405×＝，故B正确；对于C，335°＝335×＝，故C错误；对于D，705°＝705×＝，故D正确．
3．当α为第二象限角时，－的值是(　C　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
【解析】 因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以－＝＋＝2.
4．(多选)已知角θ的终边上有一点P(a，2a)，若a＜0，则(　BD　)
A．sin θ＝－ B．sin θ＝－
C．tan θ＝－ D．tan θ＝2
【解析】 由题知sin θ＝＝＝－，tan θ＝＝2.
5．(教材经典题改编)已知圆心角为的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的面积为__12π__.
【解析】 因为α＝，l＝αr，所以r＝＝12，所以扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.
聚焦知识
1．角的概念的推广
定义 平面内一条射线绕着__端点__从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
分类 按旋转方向 __正角__、__负角__、__零角__
按终边位置 __象限角__、轴线角
终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2．弧度制的定义和公式
定义 长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad； ②1 rad＝°
弧长公式 l＝__|α|r__
扇形面积公式 S＝__lr__＝__|α|r2__
注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r
sin α＝ cos α＝ tan α＝ (x≠0)
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函 数线 有向线段__MP__为正弦线 有向线段__OM__为余弦线 有向线段__AT__为正切线
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
注意：若α∈，则tan α__>__α__>__sin α.
4．常见结论
(1) β，α的终边关于x轴对称 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(2) β，α的终边关于y轴对称 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(3) β，α的终边关于原点对称 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
题型突破　能力进阶
举题说法
象限角及其表示
例1　(1) 若β是第二象限角，则＋β是(　A　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 方法一：因为角β是第二象限角，所以＋2kπ<β<π＋2kπ(k∈Z)，则2π＋2kπ<＋β<＋2kπ(k∈Z)，故＋β是第一象限角．
方法二：因为角β是第二象限角，所以取β＝，则＋β＝，所以＋β是第一象限角．
(2) 已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为__{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}__．
(例1(2))
【解析】 在0°～360°内，终边落在阴影部分内的角表示为45°＜α＜150°，所以所求角的集合为{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
(1) 象限角
(2) 轴线角
变式1　(多选)若α是第二象限角，则下列说法正确的是(　AD　)
A．－α是第三象限角
B．是第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上
【解析】 由α是第二象限角，可得＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.对于A，因为－π－2kπ＜－α＜－－2kπ，k∈Z，此时－α是第三象限角，故A正确．对于B，因为＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，故B错误．对于C，因为π＋2kπ＜＋α＜＋2kπ，k∈Z，所以＋α是第三象限角，故C错误．对于D，因为π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上，故D正确．
弧度制与扇形的弧长、面积公式
例2　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l;
【解答】 因为α＝60°＝ rad，所以l＝α·R＝×10＝(cm).
(2) 已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
【解答】 由题意得解得(舍去)或故扇形的圆心角为.
(3) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解答】 由已知得l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.
应用弧度制解决问题的方法
(1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
变式2　如图(1)是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图(2)所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)．已知该扇形玉雕壁画的周长为320 cm.
图(1) 图(2)
(变式2)
(1) 若OD＝2OA＝80 cm，求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度；
【解答】 设弧AB的长度为l1 cm，弧CD的长度为l2 cm.因为OD＝2OA，所以＝＝，所以l1＝l2.因为OD＝2OA＝80 cm，所以AD＝BC＝40 cm.因为该扇形玉雕壁画的周长为320 cm，所以l1＋l2＝240，所以l2＋l2＝240，解得l2＝160，即该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度为160 cm.
(2) 若AD＝2OA，求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值．
【解答】 因为AD＝2OA，所以＝，所以＝＝，则扇形OCD的面积S1＝·OD·l2＝·OA·l1，扇形OAB的面积S2＝·OA·l1，故该扇形玉雕壁画的扇面面积S＝S1－S2＝4·OA·l1.因为该扇形玉雕壁画的周长为320 cm，所以l1＋l2＋AD＋BC＝4l1＋4OA＝320，所以l1＋OA＝80，则2≤OA＋l1＝80，从而OA·l1≤1 600，当且仅当OA＝l1时等号成立， 故S＝4·OA·l1≤6 400，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6 400 cm2.
任意角的三角函数
例3　(1) (2025·滁州一模)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(－1，2)，则－＝(　B　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由题意可得x＝－1，y＝2，因此，r＝＝，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2，所以－＝－＝－＝.
(2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为原点O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　AB　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
【解析】 由题意知sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0，则＞0，故A正确；cos α－sin α＞0，故B正确；sin αcos α＜0，故C错误；sin α＋cos α的符号不确定，故D错误．
(1) 当已知角α终边上一点P的坐标时，可利用三角函数的定义求出角α的三角函数值．
(2) 当已知角α的三角函数值时，也可以利用三角函数的定义求出点P的坐标．
变式3　(2025·岳阳质检)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(3，4)，若将角α的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角β，则sin β＝____．
【解析】 由题意得cos α＝＝，sin α＝＝，则sin β＝sin ＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
　三角函数线
例4　(多选)已知sin α>sin β，那么下列结论正确的是(　BCD　)
A．若角α，β是第一象限角，则cos α>cos β
B．若角α，β是第二象限角，则tan β>tan α
C．若角α，β是第三象限角，则cos β>cos α
D．若角α，β是第四象限角，则tan α>tan β
【解析】 设角α，β的终边分别为射线OP，OQ.对于A，如图(1)，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，OMNQ＝sin β，此时tan α＝AC，tan β＝AB，且ACNQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，且OMcos α，故C正确；对于D，如图(4)，sin α＝MP>NQ＝sin β，此时tan α＝AC，tan β＝AB，AB图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
(例4答)
变式4　在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α(变式4)
A． B．
C． D．
【解析】 方法一：设P(x，y)，如图，有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线．对于A，当点P在上时，x>y≥0，cos α＝x，sin α＝y，所以cos α>sin α，故A错误；对于B，当点P在(不含端点D)上时，01，所以tan α>sin α>cos α，故B错误；对于C，当点P在上时，x<0，y>0，|y|>|x|，cos α＝x，sin α＝y，tan α＝<－1，所以sin α>cos α>tan α，故C正确；对于D，当点P在(不含端点G)上时，x0，sin α<0，cos α<0，故D错误．
(变式4答)
方法二：若点P在或上(不含端点A，D)，则α在第一象限，此时tan α－sin α＝tan α·(1－cos α)>0，与tan α0，cos α<0，与tan α随堂内化
1．与－2 026°终边相同的最小正角是(　B　)
A．136° B．134°
C．57° D．43°
【解析】 因为－2 026°＝－360°×6＋134°，所以与－2 026° 终边相同的最小正角是134°.
2．(2020·全国Ⅱ卷理)若α为第四象限角，则(　D　)
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
【解析】 方法一：由α为第四象限角，可得＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，所以3π＋4kπ<2α<4π＋4kπ，k∈Z，此时2α的终边落在第三或第四象限或y轴的负半轴上，所以sin 2α<0.
方法二：当α＝－时，cos 2α＝cos >0，B错误；当α＝－时，cos 2α＝cos <0，A错误；由α在第四象限可得sin α<0，cos α>0，则sin 2α＝2sin αcos α<0，C错误，D正确．
3．(2026·黄冈期初)(多选)下列说法正确的是(　ABD　)
A．sin 2cos 3<0
B．若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的弧长为π
C．终边落在直线x＋y＝0上的角的集合是
D．函数y＝tan 的定义域为
【解析】 对于A，由<2<3<π，得sin 2>0，cos 3<0，则sin 2cos 3<0，A正确；对于B，设扇形的半径为r，由圆心角为的扇形的面积为，得×r2＝，解得r＝3，因此扇形的弧长为r＝π，B正确；对于C，终边落在射线y＝－x(x≥0)上的角的集合为S1＝，终边落在射线y＝－x(x≤0)上的角的集合为S2＝＝，因此终边落在直线x＋y＝0上的角的集合是S1∪S2＝，C错误；对于D，由2x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，因此函数y＝tan 的定义域为，D正确．
4．(2025·保定一模)设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cos α＝x，则tan α＝__－__．
【解析】 由题知cos α＝＝x，因为x≠0，所以＝2，解得x＝±.又α是第二象限角，所以x＝－，所以tan α＝＝＝－.
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．点A(cos 2，tan 4)在平面直角坐标系中位于(　B　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2025·九江一模)已知角α的终边在直线2x－y＝0上，则tan 2α＝(　A　)
A．－ B．
C．－ D．
3．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2a，a－2)，且cos α＝，则实数a的值是(　B　)
A．－4和 B．
C．－4 D．1
4．已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为(　C　)
A．－6 B．6
C．0 D．－3
【解析】 由题知cos α≠0，设角α的终边上一点(a，－3a)(a≠0)，则r＝＝|a|.当a>0时，r＝a，sin α＝＝－，cos α＝＝，所以10sin α＋＝－3＋3＝0；当a<0时，r＝－a，sin α＝＝，cos α＝＝－，所以10sin α＋＝3－3＝0.综上，10sin α＋＝0.
5．(2025·青岛期初)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若cos α＝－，则cos (α－β)＝(　B　)
A． B．－
C．1 D．
【解析】 因为角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称，所以cos α＝cos β＝－，sin α＝－sin β，且sin2α＝1－cos2α＝，sinαsin β＝－sin2α＝－，故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝－.
6．刘徽(约公元225年－295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形，当n变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，得到sin 1°的近似值为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为1°.因为这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，所以360××1×1×sin 1°＝180sin 1°≈π，所以sin 1°≈.
7．如图，单位圆O内接一个圆心角为的扇形ABC，则扇形ABC的面积为(　A　)
(第7题)
A． B．
C．π D．
【解析】 如图，连接BO，OC，BC.由单位圆O内接一个圆心角为的扇形ABC，知AB＝AC，∠BOC＝2∠BAC＝，OA＝OB＝OC＝1，故BC＝.又AB＝AC，∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形，故AB＝AC＝BC＝.由扇形的面积公式可得S扇形ABC＝××()2＝.
(第7题答)
二、 多项选择题
8．关于角度，下列说法正确的是(　BD　)
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第四象限角，则是第二或第四象限角
【解析】 对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故A错误．对于B，钝角一定大于锐角，显然B正确．对于C，若三角形的内角为90°，则该角是终边在y轴正半轴上的角，故C错误．对于D，因为角α的终边在第四象限，所以2kπ＋<α<2kπ＋2π，k∈Z，所以kπ＋<9．下列说法正确的是(　CD　)
A．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角
B．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若>0，则角α的终边在第一象限或第三象限
【解析】 对于A，当α＋β＝π时，sin α＝sin β，但终边不同，故A错误；对于B，r＝＝5|k|，当k<0时，sin α＝－，故B错误；对于C，由2r＋l＝3，r＝1，得l＝1，α＝＝1，故C正确；对于D，若>0，即sin α与cos α同号，则角α的终边在第一象限或第三象限，故D正确．
10．若＜α＜，那么下列不等式成立的是(　BC　)
A．sin α＜cos α＜tan α B．cos α＜sin α＜tan α
C．sin α＜α＜tan α D．α＜sin α＜tan α
【解析】 对于A，B，如图，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，当<α<时，OM＜MP＜AT，即cos α＜sin α＜tan α，故A错误，B正确．对于C，D，MP＝sin α，AT＝tan α.连接AP，因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，S扇形AOP＝αr2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α.因为S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，所以sin α＜α＜tan α，即sin α＜α＜tan α，故C正确，D错误．
(第10题答)
11．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　ABD　)
(第11题)
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过 s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
【解析】 经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动 2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，所以扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，所以扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝ s，故D正确．
三、 填空题
12．如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是____．
(第12题)
13．(2025·张家口期末)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角α的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角α的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是__－__．
【解析】 由题意可得sin ＝，则角α的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标为cos ＝cos ＝－sin ＝－.
14．若点A(cos θ，sin θ)关于y轴的对称点为B，写出θ的一个取值：____．
【解析】 因为A(cos θ，sin θ)与B关于y轴对称，所以θ，θ＋关于y轴对称，即θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，θ可取的一个值为.
B组　滚动小练
15．若函数f(x)＝log2(x2－4)在(－∞，a)上单调递减，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0] D．[0，＋∞)
【解析】 f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，令y＝log2t，其在定义域上单调递增，t＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，a∈(－∞，－2].
16．若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1，2)，则不等式>0的解集为(　B　)
A．(－4，2)∪(3，＋∞) B．(－3，2)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，4) D．(－∞，－4)∪(2，3)
【解析】 因为关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1，2)，所以方程x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，则即则>0化为>0，整理得>0，解得－34.
17．(2025·黄冈期初)已知函数f(x)＝2a ln x＋x2－(a＋3)x(a∈R).
(1) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋b，求a和b的值；
【解答】 f(x)＝2a ln x＋x2－(a＋3)x，则f′(x)＝＋x－a－3.因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋b，所以f′(1)＝a－＝－1，解得a＝.由f(1)＝－a－＝－1＋b，解得b＝－.
(2) 讨论f(x)的单调性．
【解答】 f(x)＝2a ln x＋x2－(a＋3)x，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝＋x－a－3＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝.若a≤0，则当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若00，f(x)单调递增．若a＝3，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，f(x)单调递增．若a>3，则当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，2)和x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)；当03时，f(x)的单调递增区间为(0，2)和，单调递减区间为.

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