资源简介

(共63张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
第22讲　简单的三角恒等变换
知识梳理　体系构建
【解析】
A
【解析】
A
【解析】
ABC
【解析】
2
【解析】
1．两角和、差公式
(1) 两角和与差的余弦、正弦和正切公式
2．二倍角公式
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
第1课时　两角和与差的三角函数、二倍角公式
题型突破　能力进阶
目标
1
和、差、倍角公式的直接应用
1
【解析】
D
【解析】
1
B
【解析】
1
【答案】BC
(1) 利用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征．
(2) 利用公式求值时，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
目标
2
和、差、倍角公式的逆用与变形应用
视角1　公式的逆用
【解析】
2－1
【答案】C
(2) (多选)下列等式正确的是 (　　)
【解析】
2－1
【答案】BD
视角2　公式的变形应用
【解析】
2－2
D
【解析】
2－2
C
题组
高频
强化
【解析】
【答案】D
2．(2026·苏州期初)已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则4tan α＋tan β＝ (　　)
A．13　　　　B．14　　　　C．15　　　　D．16
【解析】
C
【解析】
　　　　由cos (α＋β)＝m，可得cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，所以
sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，故
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.
A
【解析】
目标
3
拆、配角问题
3
【解析】
【解析】
3
(1) 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
【解析】
题组
高频
强化
C
【解析】
A
【解析】
D
【解析】
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
【解析】
配套精练
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
A
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
【答案】D
【解析】
BC
【解析】
【答案】BD
【解析】
【答案】AC
【解析】
【解析】
【解析】
【解析】
C
16．(2026·邯郸期初)设函数f(x)＝2x－ln (x－a)，a∈R.
(1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
【解答】
16．(2026·邯郸期初)设函数f(x)＝2x－ln (x－a)，a∈R.
(2) 若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
【解答】第22讲　简单的三角恒等变换
激活思维
1．计算：cos ＝(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 cos ＝cos ＝×－×＝.
2．(教材经典题)若cos θ＝－且θ∈，则sin 的值为(　A　)
A． B．－
C． D．
【解析】 因为θ∈，所以sin θ>0.因为cos θ＝－，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θcos ＋cos θsin ＝×－×＝.
3．(多选)下列等式成立的是(　ABC　)
A．sin ＝cos 2
B．cos 73°cos 28°＋sin 73°sin 28°＝
C．tan 15°＝2－
D．sin 40°＋cos 40°＝sin 70°
【解析】 sin ＝cos 2，故A正确；cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos 45°＝，故B正确；tan 15°＝tan (60°－45°)＝＝2－，故C正确；sin 40°＋cos 40°＝sin 40°cos 60°＋cos 40°sin 60°＝sin (40°＋60°)＝sin 100°＝sin 80°，故D错误．
4．(教材经典题)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝__2__．
【解析】 由tan (α＋β)＝＝tan ＝－1，得tan α＋tan β－tan αtan β＋1＝0，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2.
5．(教材经典题)已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos (α－β)的值为__－__．
【解析】 因为cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，所以(cos α＋cos β)2＝，(sin α＋sin β)2＝，上述两式相加得cos2α＋2cosαcos β＋cos2β＋sin2α＋2sinαsin β＋sin2β＝＋，即2＋2cos(α－β)＝，解得cos (α－β)＝－.
聚焦知识
1．两角和、差公式
(1) 两角和与差的余弦、正弦和正切公式
说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z).
(2) 辅助角公式
函数f(α)＝a cos α＋b sin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin (α＋φ)或f(α)＝cos (α－φ)，其中φ可由a，b的值确定．
2．二倍角公式
S2α sin 2α＝__2sin_αcos_α__； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α－1__ ＝__1－2sin2α__； 降幂公式：cos2α＝____， sin2α＝____
T2α tan 2α＝
*3．半角公式
sin ＝±；cos ＝±；
tan ＝±＝＝.
第1课时　两角和与差的三角函数、二倍角公式
题型突破　能力进阶
举题说法
和、差、倍角公式的直接应用
例1　(1) 已知sin α＝(角α为第二象限角)，则cos ＝(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为角α为第二象限角，且sin α＝，所以cos α＝－，所以cos ＝cos αcos ＋sin α·sin ＝－×＋×＝.
(2) (2025·福建联考)若tan ＝2，则sin 2θ＝(　B　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由tan ＝2，得＝2，解得tan θ＝，所以sin 2θ＝＝＝＝.
(3)(2025·南京、盐城一模)(多选)已知cos αcos β＝，cos (α＋β)＝，则(　BC　)
A．sin αsin β＝ B．cos (α－β)＝
C．tan αtan β＝－ D．sin 2αsin 2β＝
【解析】 由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，得sin αsin β＝－，故A错误；cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确；由tan αtan β＝＝＝－，故C正确；sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4××＝－，故D错误．
(1) 利用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征．
(2) 利用公式求值时，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
和、差、倍角公式的逆用与变形应用
视角1　公式的逆用
例 2-1　(1) 下列函数值为的是(　C　)
A．sin2－sin2 B．
C．sin 105°sin 15° D．－
【解析】 对于A，sin2－sin2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝－cos ＝－.对于B，＝＝＝2.对于C，sin 105°sin 15°＝sin 15°sin (90°＋15°)＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.对于D，－＝＝＝＝＝4.
(2) (多选)下列等式正确的是(　BD　)
A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．＝
D．cos215°－sin215°＝
【解析】对于A，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin (52°－82°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－，故A错误；对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝，故B正确；对于C，＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，故C错误；对于D，cos215°－sin215°＝cos30°＝，故D正确．
视角2　公式的变形应用
例 2-2　(1) 计算tan 70°＋tan 50°－tan 70°·tan 50°的值为(　D　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】 因为tan 120°＝＝－，所以tan 70°＋tan 50°－tan 70°·tan 50°＝－.
(2) (2025·辽宁联考)若cos ＝，则sin 2α＝(　C　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 方法一：由cos ＝，得cos ＝2cos2－1＝－，故cos＝sin 2α＝－.
方法二：因为cos ＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.
(1) 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2) 注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等数值时，可考虑引入特殊角，通过“值变角”构造适合公式的形式．
(3) 和差角公式变形：
sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β；
cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β；
tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β).
(4) 倍角公式变形：
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝；
配方变形：1±sin α＝，1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
1.下列式子的运算结果不等于的是(　D　)
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C．
D．
【解析】对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝tan (25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.对于B，2(sin 35°·cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝.对于C，＝＝tan 60°＝.对于D，＝×＝×tan＝.
2．(2026·苏州期初)已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则4tan α＋tan β＝(　C　)
A．13 B．14
C．15 D．16
【解析】 因为tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，所以化简得①＋②得tan α＝4＋tan αtan β，①－②得tan β＝－1－4tan αtan β.所以4tan α＋tan β＝16－1＝15.
3．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　A　)
A．－3m B．－
C． D．3m
【解析】 由cos (α＋β)＝m，可得cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.
4．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α＝____．
【解析】 由题意知sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，所以cos (β－α)＝.因为γ∈，所以sin γ＝sin β－sin α＞0.又α，β∈，所以β＞α，所以0＜β－α＜，所以β－α＝.
拆、配角问题
例3　(1) 已知cos ＝，则sin ＝__－__.
【解析】 因为2α＋＝2＋，所以sin ＝sin ＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.
(2)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则cos 2α＝__－__；tan (α－β)＝__－__．
【解析】 因为tan α＝，所以sin α＝cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此cos2α＝2cos2α－1＝－.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，因此tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－.
(1) 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2) 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
1．(2025·泉州期初)若 sin ＝，则cos ＝(　C　)
A．－ B．－
C． D．
【解析】 cos ＝－cos ＝－cos ＝－＝－1＋2×＝.
2.(2026·新乡期初)已知cos ＝，则sin 2α＝(　A　)
A．－ B．－
C． D．
【解析】 由cos ＝，得sin 2α＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.
3.(2025·张家口三模)已知sin ＝－，则sin ＝(　D　)
A． B．－
C． D．－
【解析】 因为sin ＝－，所以sin ＝－sin ＝－sin ＝－cos ＝－＝2×－1＝－.
4.(2025·郑州三模)已知tan (α＋β)tan β＝，cos (α＋2β)＝，则cos α＝____．
【解析】 因为cos (α＋2β)＝cos [(α＋β)＋β]＝cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β＝，tan (α＋β)·tan β＝＝，所以cos (α＋β)·cos β＝3sin (α＋β)sin β，所以3sin (α＋β)sin β－sin (α＋β)sin β＝，解得sin (α＋β)sin β＝，故cos (α＋β)cos β＝3×＝，所以cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)·sin β＝＋＝.
随堂内化
1． (2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin ＝(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，所以<α<π，则sinα＝＝＝，故sin＝sin αcos －cos α·sin ＝×－×＝.
2．(2025·苏州期末)化简：－2cos ＝(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 －2cos ＝－2＝－2＝－(cos α－sin α)＝cos α＋－sin α－(cos α－sin α)＝.
3．(2025·武汉2月调研)已知tan αtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝__－__．
【解析】 依题意得tan αtan β＝＝2，则sin αsin β＝2cos αcos β.由cos (α－β)＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，解得cos αcos β＝，所以cos (α＋β)＝cos α·cos β － sin αsin β＝ － cos αcos β＝－.
4．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝＋1，则sin (α＋β)＝__－__．
【解析】 由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2.因为α∈，β∈，k，m∈Z，所以α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z.又因为tan (α＋β)＝－2<0，所以α＋β∈，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0.由＝－2，联立 sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－.
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．(2025·保定二模)若cos 2α＝sin2α，则sinα＝(　B　)
A． B．±　
C． D．±
【解析】 因为cos 2α＝sin2α，所以1－2sin2α＝sin2α，解得sinα＝±.
2．(2025·福州二模)已知sin (α－β)＝，sin (α＋β)＝，则sin αcos β＝(　D　)
A． B．－
C．－ D．
【解析】 因为sin (α－β)＝，sin (α＋β)＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos αsin β＝，则sin αcos β＝.
3．(2025·鹰潭二模)若α∈，tan α＝，则sin ＝(　A　)
A． B．
C．　 D．
【解析】 由tan α＝＝，即sin α(3－sin α)＝cos2α＝1－sin2α，整理得sinα＝.因为α∈，sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝＝，所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.
4．(2025·景德镇二模)已知sin α＝2cos ，则tan2α－cos2α＝(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题知sin α＝2，可得tan α＝，所以tan2α－cos2α＝tan2α－＝tan2α－＝.
5.(2025·泰安期末)已知α∈，sin ＝，则cos α＝(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 由α∈，得α－∈.由sin ＝及sin2θ＋cos2θ＝1，得cos＝＝.故cos α＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝.
6．(2025·苏锡常镇一模)已知sin (α＋β)＝，tan α＝2tan β，则sin (α－β)＝(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为tan α＝2tan β，所以sin αcos β＝2cos αsin β.又因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝.
7．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为cos α＝1－2sin2＝，所以sin2＝＝，则sin＝或sin ＝.因为α为锐角，所以sin ＞0，则sin ＝.
8．(2022·新高考Ⅱ卷)若角α，β满足sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　D　)
A．tan (α＋β)＝1 B．tan (α＋β)＝－1
C．tan (α－β)＝1 D．tan (α－β)＝－1
【解析】 方法一：令β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝，排除A，C.令α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除B．
方法二：由sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝sin ＝sin ＝sin cos β＋cos sin β，得sin cos β＝cos sin β，故sin cos β－cos sin β＝0，即sin ＝0，所以sin ＝sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，即sin (α－β)＝－cos (α－β)，故tan (α－β)＝－1.
二、 多项选择题
9．下列等式能够成立的有(　BC　)
A．sin 15°cos 15°＝
B．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D．sin 15°＋cos 15°＝1
【解析】 对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin (75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确；对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°·cos 15°＝cos (105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确；对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误．
10．已知0<α<<β<π，sin α＝，cos (α＋β)＝－，则下列选项正确的有(　BD　)
A．sin (α＋β)＝± B．cos β＝－
C．cos 2β＝－ D．sin (α－β)＝－
【解析】 因为0<α<且sin α＝，所以cos α＝.又α＋β∈，cos (α＋β)＝－＝－cos α，所以α＋β＝π－α或α＋β＝π＋α.当α＋β＝π＋α时，β＝π显然不满足，故α＋β＝π－α，所以sin (α＋β)＝，故A错误；对于B，cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝－，故B正确；对于C，cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝，故C错误；对于D，由B可知sinβ＝＝，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，故D正确．
11．下列等式正确的是(　AC　)
A．＝－1
B．若cos 2α＝，则sin4α－cos4α＝
C．若tan α＝3，则sin 2α＝
D．tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝－
【解析】 对于A，＝＝＝＝－1，故A正确；对于B，sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝－cos2α＝－，故B错误；对于C，若tan α＝3，则sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝，故C正确；对于D，因为tan60°＝＝，所以tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，故tan 23°＋tan 37°＋tan 23°·tan 37°＝，故D错误．
三、 填空题
12．(2025·杭州期末)已知α，β∈，sin (α－β)＝，tan α＝3tan β，则α＋β＝____．
【解析】 由已知得sin αcos β－cos αsin β＝①.由tan α＝3tan β，得＝3，即sin αcos β＝3cos αsin β②.联立①②，解得所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1.因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，故α＋β＝.
13．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β).写出满足条件的一组α，β的值α＝____，β＝___(答案不唯一)__．
【解析】 因为sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，所以α＋β，α－β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，故α＋β＋α－β＝π＋2kπ，k∈Z且α＋β≠＋lπ，l∈Z，即α＝＋kπ，k∈Z，故取α＝，β＝可满足题设要求．
14．(2025·湛江一模)已知tan ＝，则sin ＝____．
【解析】 由tan ＝＝，得cos ＝3sin .又cos2＋sin2＝1，所以cos2＝，所以sin＝sin ＝cos ＝cos ＝2cos2－1＝.
B组　滚动小练
15.(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝＋，则f(x)的值域为(　C　)
A．[1，] B．[，2]
C．[，2] D．[2，3]
【解析】 因为所以－1≤x≤5，即f(x)的定义域为[－1，5].f′(x)＝－，令f′(x)＝－＝0，即＝，得x＝2.当x∈(－1，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2，5)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝2时f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(2)＝＋＝2.又f(－1)＝，f(5)＝，所以f(x)的最小值为，所以f(x)的值域为[，2].
16．(2026·邯郸期初)设函数f(x)＝2x－ln (x－a)，a∈R.
(1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
【解答】 当a＝－1时，函数f(x)＝2x－ln (x＋1)，其定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝2－＝，令f′(x)＝0，解得x＝－.当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在区间上单调递减；当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)在区间上单调递增，所以函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2) 若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
【解答】 由函数f(x)＝2x－ln (x－a)，可得f(x)的定义域为(a，＋∞)，则f′(x)＝2－＝＝2·，因为＋a>a，则当x∈时，f′(x)<0，f(x)在区间上单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)在区间上单调递增，所以f(x)在x＝＋a处取得极小值，且极小值为f＝1＋2a＋ln 2，也是最小值．要使得f(x)≥0恒成立，则1＋2a＋ln 2≥0，解得a≥，所以a的取值范围为.第22讲　简单的三角恒等变换
激活思维
1．计算：cos ＝(　 　)
A． B．
C． D．
2．(教材经典题)若cos θ＝－且θ∈，则sin 的值为(　 　)
A． B．－
C． D．
3．(多选)下列等式成立的是(　 　)
A．sin ＝cos 2
B．cos 73°cos 28°＋sin 73°sin 28°＝
C．tan 15°＝2－
D．sin 40°＋cos 40°＝sin 70°
4．(教材经典题)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝ ．
5．(教材经典题)已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos (α－β)的值为 ．
聚焦知识
1．两角和、差公式
(1) 两角和与差的余弦、正弦和正切公式
说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z).
(2) 辅助角公式
函数f(α)＝a cos α＋b sin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin (α＋φ)或f(α)＝cos (α－φ)，其中φ可由a，b的值确定．
2．二倍角公式
S2α sin 2α＝ ； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝ ＝ ＝ ； 降幂公式：cos2α＝ ，sin2α＝
T2α tan 2α＝
*3．半角公式
sin ＝±；cos ＝±；
tan ＝±＝＝.
第1课时　两角和与差的三角函数、二倍角公式
题型突破　能力进阶
举题说法
和、差、倍角公式的直接应用
例1　(1) 已知sin α＝(角α为第二象限角)，则cos ＝(　 　)
A． B．
C． D．
(2) (2025·福建联考)若tan ＝2，则sin 2θ＝(　 　)
A．－ B．
C．－ D．
(3)(2025·南京、盐城一模)(多选)已知cos αcos β＝，cos (α＋β)＝，则(　 　)
A．sin αsin β＝ B．cos (α－β)＝
C．tan αtan β＝－ D．sin 2αsin 2β＝
(1) 利用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征．
(2) 利用公式求值时，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
和、差、倍角公式的逆用与变形应用
视角1　公式的逆用
例 2-1　(1) 下列函数值为的是(　 　)
A．sin2－sin2 B．
C．sin 105°sin 15° D．－
(2) (多选)下列等式正确的是(　 　)
A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．＝
D．cos215°－sin215°＝
视角2　公式的变形应用
例 2-2　(1) 计算tan 70°＋tan 50°－tan 70°·tan 50°的值为(　 　)
A． B．
C．－ D．－
(2) (2025·辽宁联考)若cos ＝，则sin 2α＝(　 　)
A．－ B．
C．－ D．
(1) 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2) 注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等数值时，可考虑引入特殊角，通过“值变角”构造适合公式的形式．
(3) 和差角公式变形：
sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β；
cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β；
tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β).
(4) 倍角公式变形：
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝；
配方变形：1±sin α＝，1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
1.下列式子的运算结果不等于的是(　 　)
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C．
D．
2．(2026·苏州期初)已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则4tan α＋tan β＝(　 　)
A．13 B．14
C．15 D．16
3．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　 　)
A．－3m B．－
C． D．3m
4．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α＝ ．
拆、配角问题
例3　(1) 已知cos ＝，则sin ＝ .
(2)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则cos 2α＝ ；tan (α－β)＝ ．
(1) 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2) 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
1．(2025·泉州期初)若 sin ＝，则cos ＝(　 　)
A．－ B．－
C． D．
2.(2026·新乡期初)已知cos ＝，则sin 2α＝(　 　)
A．－ B．－
C． D．
3.(2025·张家口三模)已知sin ＝－，则sin ＝(　 　)
A． B．－
C． D．－
4.(2025·郑州三模)已知tan (α＋β)tan β＝，cos (α＋2β)＝，则cos α＝ ．
随堂内化
1． (2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin ＝(　 　)
A． B．
C． D．
2．(2025·苏州期末)化简：－2cos ＝(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2025·武汉2月调研)已知tan αtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝ ．
4．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝＋1，则sin (α＋β)＝ ．
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．(2025·保定二模)若cos 2α＝sin2α，则sin α＝(　 　)
A． B．±　
C． D．±
2．(2025·福州二模)已知sin (α－β)＝，sin (α＋β)＝，则sin αcos β＝(　 　)
A． B．－
C．－ D．
3．(2025·鹰潭二模)若α∈，tan α＝，则sin ＝(　 　)
A． B．
C．　 D．
4．(2025·景德镇二模)已知sin α＝2cos ，则tan2α－cos2α＝(　 　)
A． B．
C． D．
5.(2025·泰安期末)已知α∈，sin ＝，则cos α＝(　 　)
A． B．
C． D．
6．(2025·苏锡常镇一模)已知sin (α＋β)＝，tan α＝2tan β，则sin (α－β)＝(　 　)
A． B．
C． D．
7．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　 　)
A． B．
C． D．
8．(2022·新高考Ⅱ卷)若角α，β满足sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　 　)
A．tan (α＋β)＝1 B．tan (α＋β)＝－1
C．tan (α－β)＝1 D．tan (α－β)＝－1
二、 多项选择题
9．下列等式能够成立的有(　 　)
A．sin 15°cos 15°＝
B．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D．sin 15°＋cos 15°＝1
10．已知0<α<<β<π，sin α＝，cos (α＋β)＝－，则下列选项正确的有(　 　)
A．sin (α＋β)＝± B．cos β＝－
C．cos 2β＝－ D．sin (α－β)＝－
11．下列等式正确的是(　 　)
A．＝－1
B．若cos 2α＝，则sin4α－cos4α＝
C．若tan α＝3，则sin 2α＝
D．tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝－
三、 填空题
12．(2025·杭州期末)已知α，β∈，sin (α－β)＝，tan α＝3tan β，则α＋β＝ ．
13．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β).写出满足条件的一组α，β的值α＝ ，β＝ ．
14．(2025·湛江一模)已知tan ＝，则sin ＝ ．
B组　滚动小练
15.(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝＋，则f(x)的值域为(　 　)
A．[1，] B．[，2]
C．[，2] D．[2，3]
16．(2026·邯郸期初)设函数f(x)＝2x－ln (x－a)，a∈R.
(1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2) 若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

展开更多......

收起↑