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(共64张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
第23讲　三角函数的图象和性质
知识梳理　体系构建
【解析】
D
【解析】
A
【解析】
B
4．函数f(x)＝cos x－cos 2x是 (　　)
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
【解析】
D
5．(教材经典题)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)在一个周
期内的图象如图所示，则此函数的解析式为_______________．
【解析】
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
______________________
值域 ___________ ___________ R
[－1，1]
[－1，1]
2π
2π
π
奇函数
偶函数
注意： y＝tan x在其定义域内不单调．
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ，0)
x＝kπ
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1) y＝A sin (ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念
(2) 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
第1课时　三角函数的图象和性质
题型突破　能力进阶
目标
1
三角函数的图象
1
【解析】
B
【解析】
C
目标
2
三角函数的周期性、对称性
　　　(1) (2025·深圳一调)已知函数f(x)的周期为2，且在(0，1)上单调递增，则f(x)的解析式可以是 (　　)
2
【解析】
【答案】B
对于C，f(x)＝cos 2πx在(0，1)上不单调，不符合题意，故C错误；
【解析】
2
【答案】AB
【解析】
A
目标
3
三角函数的单调性
视角1　求单调区间
【解析】
3－1
【解析】
3－1
【解析】
3－1
已知三角函数解析式求单调区间：求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，需将“ωx＋φ”视为一个整体，通过解不等式求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，避免弄错单调性．
视角2　根据单调性求参数
【解析】
3－2
【解析】
3－2
B
【解析】
目标
4
三角函数的最值
4
【解析】
－7
【解析】
4
C
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
(1) 形如y＝a sin ωx＋b cos ωx＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2) 形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，转化为关于t的二次函数求值域(最值).
【解析】
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
【答案】AD
配套精练
【解析】
C
2．(2025·枣庄3月模拟)函数f(x)＝sin x＋cos 2x在区间(0，3π)上的零点个数为
(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
【解析】
B
【解析】
A
【解析】
D
【解析】
【答案】BD
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【解析】
【答案】BC
【解析】
【答案】AC
【解析】
[－2，4]
【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
B组　创新题体验
13．在平面直角坐标系中，我们把函数y＝f(x)，x∈D上满足 x∈N*，y∈N* 的点P(x，y)称为函数y＝f(x)的“正格点”．
【解答】
13．在平面直角坐标系中，我们把函数y＝f(x)，x∈D上满足 x∈N*，y∈N* 的点P(x，y)称为函数y＝f(x)的“正格点”．
(2) 若函数f(x)＝sin mx，x∈R，m∈(1，2)与函数g(x)＝lg x的图象有“正格点”交点，求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由；
【解答】
13．在平面直角坐标系中，我们把函数y＝f(x)，x∈D上满足 x∈N*，y∈N* 的点P(x，y)称为函数y＝f(x)的“正格点”．
【解答】第23讲　三角函数的图象和性质
激活思维
1．(教材经典题改编)函数y＝2tan 的定义域是(　D　)
A．
B．
C．
D．
【解析】 由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以函数的定义域是.
2．(教材经典题)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　A　)
A．y＝|sin x| B．y＝cos x
C．y＝tan x D．y＝cos
【解析】 y＝|sin x|的最小正周期为π，且在区间上单调递减，y＝cos x的最小正周期为2π，y＝tan x在区间上单调递增，y＝cos 的最小正周期为4π.
3．将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　B　)
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【解析】 将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin ＝sin 的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象．
4．函数f(x)＝cos x－cos 2x是(　D　)
A．奇函数，且最大值为2
B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为
D．偶函数，且最大值为
【解析】 由题知定义域为R，且f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)＝cos x－cos 2x＝f(x)，所以该函数为偶函数．f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2＋，当cos x＝时，f(x)取得最大值为.
5．(教材经典题)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为__y＝2sin __．
(第5题)
【解析】 由题图知A＝2，＝＋＝，所以T＝π，所以ω＝2，所以y＝2sin (2x＋φ).因为函数的图象过点，把点的坐标代入函数的解析式，得2＝2sin ，所以φ－＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝，所以此函数的解析式是y＝2sin .
聚焦知识
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R __{x|x∈R且x≠kπ＋}__
值域 __[－1，1]__ __[－1，1]__ R
周期性 __2π__ __2π__ __π__
奇偶性 __奇函数__ __偶函数__ 奇函数
单调递 增区间 ____ __[2kπ－π，2kπ]__ ____
单调递 减区间 __，__ __[2kπ，2kπ＋π]__ 无
对称 中心 __(kπ，0)__ ____
对称轴方程 __x＝kπ＋__ __x＝kπ__ 无
注意： y＝tan x在其定义域内不单调．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1) y＝A sin (ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念
y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
(2) 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
3．三角函数的对称性与周期T的关系
(1) 相邻的两条对称轴(或两个对称中心)之间的距离为；
(2) 相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；
(3) 相邻的两个最低点(或最高点)之间的距离为T.
4．与三角函数奇偶性有关的结论
(1) 若函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).
(2) 若函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z).
(3) 若函数y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z).
第1课时　三角函数的图象和性质
题型突破　能力进阶
举题说法
三角函数的图象
例1　(2025·赣州期末)当x∈[0，2π]时，曲线y＝cos x与y＝cos 的交点个数为(　B　)
A．7 B．6
C．5 D．4
【解析】 作出y＝cos x与y＝cos 在[0，2π]上的大致图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6.
(例1答)
变式1　(2025·东莞、揭阳、韶关期末)方程sin －cos x＝0在[0，4π]上的解的个数为(　C　)
A．10 B．9
C．8 D．4
【解析】 方程sin －cos x＝0在[0，4π]上的解的个数，即是函数y＝sin 与函数y＝cos x图象在[0，4π]上的交点个数．在同一平面直角坐标系内，作出两函数图象如图所示，由图象可得，函数y＝sin 与函数y＝cos x的图象在[0，4π]上有8个交点，则方程sin －cos x＝0在[0，4π]上的解的个数为8.
(变式1答)
三角函数的周期性、对称性
例2　(1) (2025·深圳一调)已知函数f(x)的周期为2，且在(0，1)上单调递增，则f(x)的解析式可以是(　B　)
A．f(x)＝sin πx　　 B．f(x)＝|sin x|
C．f(x)＝cos 2πx　　 D．f(x)＝tan πx
【解析】 对于A，f(x)＝sin πx的周期为2，但f(x)在上单调递增，在上单调递减，不符合题意，故A错误；对于B，画出f(x)＝|sin x|的大致图象如图所示，易知其周期为2，且在(0，1)上单调递增，故B正确；对于C，f(x)＝cos 2πx在(0，1)上不单调，不符合题意，故C错误；对于D，f(x)＝tan πx的定义域为，且其在(0，1)上不单调，不符合题意，故D错误．
(例2(1)答)
(2) (2025·太原期末)(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于x＝对称，则下列结论正确的是(　AB　)
A．f(x)的最小正周期T＝π
B．f(x)的图象关于点中心对称
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递减
【解析】 由题意可得2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin .对于A，T＝＝π，故A正确；对于B，令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，由k＝0，可得x＝－，所以f(x)的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，当x∈时，2x＋∈，正弦函数在上不单调，故C错误；对于D，当x∈时，2x＋∈，正弦函数在上单调递增，故D错误．
(1) 周期的计算方法：利用函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
(2) 对称轴和对称中心的计算，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心是点，最终要写成坐标的形式；②相邻对称轴或对称中心之间的距离是个周期．(详见“聚焦知识”)
变式2　(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ＋b(ω>0)的最小正周期为T，若A．1 B．
C． D．3
【解析】 由题知ω＝∈(2，3)，因为函数y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin ＝0，则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝，k∈Z.由ω∈(2，3)，得k＝4，ω＝，故f＝sin ＋2＝－1＋2＝1.
三角函数的单调性
视角1　求单调区间
例 3-1　 (1) 函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____．
【解析】 因为y＝sin x＋cos x＝sin ，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).又x∈，所以所求函数的单调递增区间为.
(2) 函数y＝3tan 的单调递减区间为__，k∈Z__.
【解析】 y＝3tan ＝－3tan ，由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z，所以y＝3tan 的单调递减区间为，k∈Z.
(3) 函数f(x)＝|cos |的单调递减区间为__，k∈Z__．
【解析】 先画出y＝cos 的图象，再将位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，得到f(x)＝|cos |的图象如图所示，由图可知，f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(例3-1(3)答)
已知三角函数解析式求单调区间：求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，需将“ωx＋φ”视为一个整体，通过解不等式求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，避免弄错单调性．
视角2　根据单调性求参数
例 3-2　(1) 已知函数f(x)＝sin (2x－φ)在上为增函数，则φ的取值范围为____.
【解析】 由x∈，可得2x－φ∈.又|φ|≤，所以≤－φ≤.因为f(x)在上为增函数，所以解得≤φ≤.
(2) (2025·漳州三模)已知f(x)＝sin ，若f(x)在区间(0A． B．
C． D．
【解析】 画出函数f(x)的部分图象如图所示，因为a<2π，所以a＋<<.因为f(x)在区间(0(例3-2(2)答)
变式 3-2　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在区间上单调，且满足f＝－1，f＝0，则ω＝____．
【解析】 依题意，f(x)min＝f＝－1，而函数f(x)在上单调，则函数f(x)的最小正周期T≥2×＝.又f＝0，－＝三角函数的最值
例4　(1) (2025·沈阳三模)函数f(x)＝cos 2x＋6cos 的最小值为__－7__．
【解析】 f(x)＝cos 2x＋6cos ＝1－2sin2x＋6sinx，令t＝sin x∈[－1，1]，y＝－2t2＋6t＋1，该二次函数的对称轴为直线t＝，则函数y＝－2t2＋6t＋1在[－1，1]上单调递增，故ymin＝－2×(－1)2－6＋1＝－7，即函数f(x)的最小值为－7.
(2) 若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则实数m的值为(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋cos 2x＋m＋1＝2sin ＋m＋1，当0≤x≤时，≤2x＋≤，则f(x)max＝f＝2sin ＋m＋1＝m＋3＝6，解得m＝3.
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
(1) 形如y＝a sin ωx＋b cos ωx＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2) 形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，转化为关于t的二次函数求值域(最值).
变式4　已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是____．
【解析】 f(x)＝sin x cos x＋cos 2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin .当x∈时，2x＋∈，显然sin ＝－，sin ＝1，且正弦函数y＝sin x在上单调递减．由f(x)在区间上的值域为，得≤2m＋≤，解得≤m≤，所以实数m的取值范围是.
随堂内化
1．(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 根据正切函数的性质，y＝2tan 的对称中心横坐标满足x－＝，k∈Z，即y＝2tan 的对称中心是，k∈Z，即a＝＋，k∈Z.又a>0，所以a的最小值是.
2．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　C　)
A．3 B．4
C．6 D．8
【解析】 函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin 的最小正周期为T＝.在平面直角坐标系中结合五点法画出函数y＝sin x与y＝2sin 在[0，2π]上的图象如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点．
(第2题答)
3．(2022·新高考Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于中心对称，则(　AD　)
A．y＝f(x)在上单调递减
B．y＝f(x)在上有2个极值点
C．直线x＝是一条对称轴
D．直线y＝－x是一条切线
【解析】 由题得f＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，所以k＝2，φ＝，故f(x)＝sin .对于A，当x∈时，2x＋∈，由y＝sin u的图象知y＝f(x)在上单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，由y＝sin u的图象知y＝f(x)在上只有1个极值点，故B错误；对于C，当x＝时，2x＋＝3π，f＝0，则直线x＝不是对称轴，故C错误；对于D，由y′＝2cos ＝－1，得cos ＝－，解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，从而x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z，所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为－1，切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x，故D正确．
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．(2026·福州一检)若函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的图象与直线y＝a的相邻两个交点的距离为，则ω＝(　C　)
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】 因为函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的图象与直线y＝a的两个相邻交点之间的距离为，所以f(x)的最小正周期T＝.又T＝＝，所以ω＝4.
2．(2025·枣庄3月模拟)函数f(x)＝sin x＋cos 2x在区间(0，3π)上的零点个数为(　B　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 由题得f(x)＝sin x＋1－2sin2x，由f(x)＝0，得sinx＝1或sin x＝－.当x∈(0，3π)时，x∈，因此函数f(x)在(0，3π)上的零点个数为4.
3．(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在上的最小值是(　A　)
A．－ B．－
C．0 D．
【解析】 f(x)＝sin ＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝，即f(x)＝－sin 2x.当x∈时，2x∈.因为f(x)＝－sin 2x在上单调递减，所以当x＝时，f(x)min＝－sin ＝－.
4．(2023·全国乙卷理)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　D　)
A．－ B．－
C． D．
【解析】 由题意可知＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2.当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，则f(x)＝sin ，故f＝sin ＝.
二、 多项选择题
5．(2025·福州四模)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　BD　)
A．f(x)在区间上单调递增
B．f(x)在区间上的最大值为1
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．当x≤0时，函数y＝－x＋1的图象恒在函数f(x)的图象上方
【解析】 因为f(x)的图象关于点中心对称，所以φ－＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝cos .令t＝2x＋，当x∈时，t∈.因为－<0<，所以函数f(x)在区间上不是单调函数，故A不正确．当x∈时，t∈，cos t∈(0，1]，所以当x＝－时，f(x)max＝1，故B正确．f＝cos ＝cos ＝0，所以函数y＝f(x)的图象关于点中心对称，直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确．对于函数y＝－x＋1，当x＝0时，y＝1，f(0)＝cos ＝，则f(0)<1；当x<0时，y＝－x＋1>1，f(x)＝cos ≤1，所以函数y＝－x＋1的图象恒在函数f(x)的图象上方，故D正确．
6．(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　BC　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【解析】 对于A，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点；令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)，g(x)的零点不同，故A错误．对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，故B正确．对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，故C正确．对于D，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋ x＝＋，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋ x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，故D错误．
7．(2025·武汉调研)已知函数f(x)＝sin2＋sin2，则下列关于f(x)的说法中正确的是(　AC　)
A．最小正周期是π
B．最大值是2
C．在区间上是减函数
D．图象关于点中心对称
【解析】 f(x)＝sin2＋sin2＝＋＝ sin 2x－cos 2x＋1＝sin ＋1，则f(x)的最小正周期是＝π，故A正确．由三角函数的性质可知f(x)≤＋1，即f(x)的最大值是＋1，故B错误．当x∈时，2x－∈，因为y＝sin z在上单调递减，所以f(x)在区间上是减函数，故C正确．令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故f(x)的图象的对称中心为，k∈Z.令＋＝，得k＝ Z，所以f(x)的图象不关于点中心对称，故D错误．
三、 填空题
8．函数f(x)＝4sin 在上的值域为__[－2，4]__.
【解析】 因为x∈，所以5x－∈，所以sin ∈，故f(x)＝4sin 在上的值域为[－2，4].
9．(2025·南京、盐城一模)若函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象关于直线x＝对称，则实数a的值是____．
【解析】 因为函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象关于直线x＝对称，所以f＝f，所以sin ＋a cos ＝sin ＋a cos ，所以sin －sin ＝a，所以2cos sin x＝2a sin sin x．又因为sin x不恒为0，所以cos ＝a sin ，可得a＝.
10．(2025·厦门一模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象经过，两点，若f(x)在区间上单调递减，则ω＝____，φ＝____．
【解析】 依题意得f(π)＝0，因为f(x)在上单调递减，所以即k∈Z，解得ω＝，所以＋φ＝(2k＋1)π，k∈Z.因为|φ|<π，所以φ＝.
四、 解答题
11．(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1) 求φ的值；
【解答】 由题意得f(0)＝cos φ＝.又0≤φ<π，所以φ＝.
(2) 设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
【解答】 由(1)可知f(x)＝cos ，所以g(x)＝f(x)＋f＝cos ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos ，所以函数g(x)的值域为[－，].令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z.
12．(2026·漳州期初)设函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1(ω>0)，且f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为.
(1) 求f(x)的单调递增区间；
【解答】 f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＝2sin ＋1.因为f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以f(x)的最小正周期为π，所以＝π，又ω>0，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin ＋1.令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2) 将f(x)所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列{xn}，求数列{xn}的前30项和．
【解答】 由(1)知f(x)＝2sin ＋1，令f(x)＝0，得sin ＝－，所以2x＋＝－＋2kπ或2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ或x＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)所有的正零点为x＝－＋kπ或x＝－＋kπ，k∈N*，所以{x2n－1}是以为首项，π为公差的等差数列，{x2n}是以为首项，π为公差的等差数列，所以x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x29＋x30＝(x1＋x3＋…＋x29)＋(x2＋x4＋…＋x30)＝＋＝230π.
B组　创新题体验
13．在平面直角坐标系中，我们把函数y＝f(x)，x∈D上满足 x∈N*，y∈N* 的点P(x，y)称为函数y＝f(x)的“正格点”．
(1) 写出当 m＝时，函数f(x)＝sin mx(x∈R)图象上所有“正格点”的坐标；
【解答】 因为m＝，所以f(x)＝sin x，所以函数f(x)的“正格点”为(1，1)，(5，1)，(9，1)，…，(4k＋1，1)(k∈N).
(2) 若函数f(x)＝sin mx，x∈R，m∈(1，2)与函数g(x)＝lg x的图象有“正格点”交点，求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由；
【解答】 作出两个函数的大致图象如图所示，由图可知函数f(x)＝sin mx(x∈R)与函数g(x)＝lg x的图象只有一个“正格点”交点(10，1)，所以10m＝2kπ＋，k∈Z，m＝π，k∈Z.又m∈(1，2)，所以m＝.根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4.
(第13题答)
(3) 对于(2)中的m值和函数f(x)＝sin mx，若当x∈时，不等式logax>f(x)恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】 由(2)知f(x)＝sin x，x∈，则x∈，所以f(x)＝sin x∈，故f(x)∈.当a>1时，logax<0，则不等式logax>sin x不成立．当0f(x)，得logax－sin x>0，令h(x)＝logax－sin x，x∈，易知h(x)在上单调递减，所以可知loga>sin ＝＝loga，解得激活思维
1．(教材经典题改编)函数y＝2tan 的定义域是(　 　)
A．
B．
C．
D．
2．(教材经典题)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　 　)
A．y＝|sin x| B．y＝cos x
C．y＝tan x D．y＝cos
3．将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　 　)
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
4．函数f(x)＝cos x－cos 2x是(　 　)
A．奇函数，且最大值为2
B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为
D．偶函数，且最大值为
5．(教材经典题)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．
(第5题)
聚焦知识
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 _ _ R
周期性
奇偶性 _ _ _ _ 奇函数
单调递 增区间
单调递 减区间 _ _ 无
对称 中心 _ _ _
对称轴方程 _ _ _ _ 无
注意： y＝tan x在其定义域内不单调．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1) y＝A sin (ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念
y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
(2) 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
3．三角函数的对称性与周期T的关系
(1) 相邻的两条对称轴(或两个对称中心)之间的距离为；
(2) 相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；
(3) 相邻的两个最低点(或最高点)之间的距离为T.
4．与三角函数奇偶性有关的结论
(1) 若函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).
(2) 若函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z).
(3) 若函数y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z).
第1课时　三角函数的图象和性质
题型突破　能力进阶
举题说法
三角函数的图象
例1　(2025·赣州期末)当x∈[0，2π]时，曲线y＝cos x与y＝cos 的交点个数为(　 　)
A．7 B．6
C．5 D．4
变式1　(2025·东莞、揭阳、韶关期末)方程sin －cos x＝0在[0，4π]上的解的个数为(　 　)
A．10 B．9
C．8 D．4
三角函数的周期性、对称性
例2　(1) (2025·深圳一调)已知函数f(x)的周期为2，且在(0，1)上单调递增，则f(x)的解析式可以是(　 　)
A．f(x)＝sin πx　　 B．f(x)＝|sin x|
C．f(x)＝cos 2πx　　 D．f(x)＝tan πx
(2) (2025·太原期末)(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于x＝对称，则下列结论正确的是(　 　)
A．f(x)的最小正周期T＝π
B．f(x)的图象关于点中心对称
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递减
(1) 周期的计算方法：利用函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
(2) 对称轴和对称中心的计算，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心是点，最终要写成坐标的形式；②相邻对称轴或对称中心之间的距离是个周期．(详见“聚焦知识”)
变式2　(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ＋b(ω>0)的最小正周期为T，若A．1 B．
C． D．3
三角函数的单调性
视角1　求单调区间
例 3-1　 (1) 函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是 ．
(2) 函数y＝3tan 的单调递减区间为 .
(3) 函数f(x)＝|cos |的单调递减区间为 ．
已知三角函数解析式求单调区间：求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，需将“ωx＋φ”视为一个整体，通过解不等式求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，避免弄错单调性．
视角2　根据单调性求参数
例 3-2　(1) 已知函数f(x)＝sin (2x－φ)在上为增函数，则φ的取值范围为 .
(2) (2025·漳州三模)已知f(x)＝sin ，若f(x)在区间(0A． B．
C． D．
变式 3-2　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在区间上单调，且满足f＝－1，f＝0，则ω＝ ．
三角函数的最值
例4　(1) (2025·沈阳三模)函数f(x)＝cos 2x＋6cos 的最小值为 ．
(2) 若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则实数m的值为(　 　)
A．1 B．2
C．3 D．4
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
(1) 形如y＝a sin ωx＋b cos ωx＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2) 形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，转化为关于t的二次函数求值域(最值).
变式4　已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是 ．
随堂内化
1．(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　 　)
A． B．
C． D．
2．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　 　)
A．3 B．4
C．6 D．8
3．(2022·新高考Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于中心对称，则(　 　)
A．y＝f(x)在上单调递减
B．y＝f(x)在上有2个极值点
C．直线x＝是一条对称轴
D．直线y＝－x是一条切线
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．(2026·福州一检)若函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的图象与直线y＝a的相邻两个交点的距离为，则ω＝(　 　)
A．1 B．2
C．4 D．8
2．(2025·枣庄3月模拟)函数f(x)＝sin x＋cos 2x在区间(0，3π)上的零点个数为(　 　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3．(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在上的最小值是(　 　)
A．－ B．－
C．0 D．
4．(2023·全国乙卷理)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　 　)
A．－ B．－
C． D．
二、 多项选择题
5．(2025·福州四模)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　 　)
A．f(x)在区间上单调递增
B．f(x)在区间上的最大值为1
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．当x≤0时，函数y＝－x＋1的图象恒在函数f(x)的图象上方
6．(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　 　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
7．(2025·武汉调研)已知函数f(x)＝sin2＋sin2，则下列关于f(x)的说法中正确的是(　 　)
A．最小正周期是π
B．最大值是2
C．在区间上是减函数
D．图象关于点中心对称
三、 填空题
8．函数f(x)＝4sin 在上的值域为 .
9．(2025·南京、盐城一模)若函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象关于直线x＝对称，则实数a的值是 ．
10．(2025·厦门一模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象经过，两点，若f(x)在区间上单调递减，则ω＝ ，φ＝ ．
四、 解答题
11．(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1) 求φ的值；
(2) 设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
12．(2026·漳州期初)设函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1(ω>0)，且f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为.
(1) 求f(x)的单调递增区间；
(2) 将f(x)所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列{xn}，求数列{xn}的前30项和．
B组　创新题体验
13．在平面直角坐标系中，我们把函数y＝f(x)，x∈D上满足 x∈N*，y∈N* 的点P(x，y)称为函数y＝f(x)的“正格点”．
(1) 写出当 m＝时，函数f(x)＝sin mx(x∈R)图象上所有“正格点”的坐标；
(2) 若函数f(x)＝sin mx，x∈R，m∈(1，2)与函数g(x)＝lg x的图象有“正格点”交点，求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由；
(3) 对于(2)中的m值和函数f(x)＝sin mx，若当x∈时，不等式logax>f(x)恒成立，求实数a的取值范围．

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