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第2课时　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象
举题说法
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象识别
例1　(2026·武汉期初)(多选)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则(　 　)
(例1)
A．f(x)的最小正周期为π
B．φ＝
C．f(x)的图象关于点中心对称
D．将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上是增函数
确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1) 求A，b：先确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2) 求ω：先确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3) 求φ：选取图象上的一个已知点代入解析式(此时要注意该点处于上升区间还是下降区间)，也可把图象的最高点或最低点代入求解．
变式1　(2025·岳阳质检)(多选)如图，直线y＝1与函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象交于A，B，C三点(点A在y轴上)，若BC＝，则下列说法正确的是(　 　)
(变式1)
A．φ＝
B．ω＝2
C．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 的图象
D．当x∈时，f(x)∈[－2，1]
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
视角1　平移与伸缩
例 2-1　(1) (2026·唐山期初)(多选)已知曲线C1：y＝sin 2x，曲线C2：y＝sin ，则(　 　)
A．曲线C1和C2存在相同的对称轴
B．曲线C1和C2存在相同的对称中心
C．曲线C1上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得到曲线C2
D．把曲线C1向左平移个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到曲线C2
(2) (2025·安庆二模)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是(　 　)
A． B．
C． D．
(1) 由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度，而非φ个单位长度．
(2) 如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
变式 2-1　(2025·南京二模) 把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝(　 　)
A．cos 　　 B．cos
C．cos D．cos
视角2　翻折变换
例 2-2　(2019·全国乙卷)(多选)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|，下列结论中正确的有(　 　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点
D．f(x)的最大值为2
带绝对值符号的三角函数问题的解题顺序可以归纳为：(1) 分析奇偶性、周期性；(2) 去绝对值，写成分段函数；(3) 画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值．
变式 2-2　(2025·苏锡常镇二模)(多选)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则(　 　)
A．f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最小值为－2
D．f(x)＝在[0，2π]上有4个不同的实数解
三角函数的实际应用
例3　(2025·开封二模)(多选)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t(单位：s)时相对于平衡位置的高度(单位：cm)由关系式h(t)＝2sin 确定，则下列说法正确的是(　 　)
(例3)
A．小球在开始振动(即t＝0 s)时在平衡位置上方 cm处
B．每秒钟小球能往复振动2π次
C．函数h(t)的图象关于直线t＝对称
D．小球从t＝ s到t＝ s时运动的路程是5 cm
变式3　如图，齿轮A和齿轮B相互啮合(齿的尺寸忽略不计)，其半径之比为1∶2，当t＝0时，齿轮A上的点P1(x1，y1)和齿轮B上的点P2(x2，y2)均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，P1和P2在相同时间内运动的弧长相等，则P1，P2运动的角速度之比为 ．若y1＝sin t，则x2关于t的一个函数解析式为 .
(变式3)
随堂内化
1．(2019·全国甲卷)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的函数是(　 　)
A．f(x)＝|cos 2x|　　　　 B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x|　　　　 D．f(x)＝sin |x|
2．(2025·三门峡期末)(多选)已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　 　)
(第2题)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象可由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
C．f(x)在内有3个极值点
D．f(x)在区间上的最大值为
3．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin (ωx＋φ)的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则下列选项中是函数的单调递增区间的是(　 　)
(第3题)
A．　　 B．
C．　　　 D．
4．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若AB＝，则f(π)＝ .
(第4题)
配套精练
一、 单项选择题
1．函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是(　 　)
A． B．
C．π D．2π
2．(2026·蚌埠期初)将函数y＝sin x＋cos x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数y＝sin x－cos x的图象，则φ的最小值为(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2025·太原一模)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象经过点，则θ＝(　 　)
A．－ B．
C．－ D．
4．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　 　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、 多项选择题
5．(2025·厦门二模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　 　)
(第5题)
A．ω＝2
B．φ＝
C．y＝f是奇函数
D．当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
6．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)确定，其中A>0，ω>0，φ∈(0，π].小球从最高点出发，经过2 s后，第一次回到最高点，则(　 　)
(第6题)
A．φ＝
B．ω＝π
C．t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度h之比为
D．t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度h之比为
7．(2025·太原一模)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，点A(0，－1)，B(x0，1)在曲线f(x)上，若AB＝，则(　 　)
(第7题)
A．φ＝－
B．f(x)的图象关于点中心对称
C．f(x)在[7，11]上单调递减
D．若将f(x)图象每个点的横坐标变为原来的(t>0)倍后在(0，2π)上有且仅有2个极值点，则t∈
三、 填空题
8．(2025·福州二模)若函数f(x)＝sin x－，x∈(0，π)恰有两个零点x1，x2，则f(x1＋x2)＝ .
9．某摩天轮示意图如图所示，其半径为100 m，最低点A与地面距离为8 m，24 min转动一圈．若该摩天轮上一吊箱B(视为质点)从点A出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158 m时，所经历的时长为 min.
(第9题)
10．(2025·济南三月模考)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的最小值为 ．
四、 解答题
11．(2026·太原期初)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，将函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数．
(1) 求t的最小值；
(2) 当t取最小值时，求函数y＝f(x)＋g(x)取得最大值时x的取值集合．
12．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)＝4sin cos ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1) 求ω的值；
(2) 将函数f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x)在区间[0，m]上有且仅有3个零点，求m的取值范围．(共57张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
第23讲　三角函数的图象和性质
第2课时　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象
题型突破　能力进阶
目标
1
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象识别
　　　(2026·武汉期初)(多选)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则 (　　)
A．f(x)的最小正周期为π
1
【解析】
【答案】ACD
确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
【解析】
【答案】AD
目标
2
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
视角1　平移与伸缩
2－1
【解析】
【答案】AC
　　　　　(2) (2025·安庆二模)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是 (　　)
【解析】
A
2－1
(2) 如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
【解析】
【答案】B
视角2　翻折变换
　　　　　(2019·全国乙卷)(多选)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|，下列结论中正确的有 (　　)
A．f(x)是偶函数
2－2
【解析】
　　　　方法一：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确，B不正确．
因为f(0)＝0，f(x)为偶函数，所以f(x)在[－π，π]上的零点个数是奇数，故C不正确．
方法二：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x＋2π)＝f(x).当0≤x≤π时，f(x)＝2sin x；当π因此可以画出函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|的部分图象如图所示，由图象可得A，D正确，B，C错误．
【答案】AD
带绝对值符号的三角函数问题的解题顺序可以归纳为：(1) 分析奇偶性、周期性；(2) 去绝对值，写成分段函数；(3) 画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值．
变式 2-2　(2025·苏锡常镇二模)(多选)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则 (　　)
A．f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最小值为－2
【解析】
　　　　方法一：因为f(0)＝2，f(2π)＝2，则f(2π)＋f(0)≠0，所以f(x)的图象不可能关于点(π，0)中心对称，故A错误．
图(1)
图(2)
【答案】BD
目标
3
三角函数的实际应用
3
【解析】
【答案】ACD
变式3　如图，齿轮A和齿轮B相互啮合(齿的尺寸忽略不计)，其半径之比为1∶2，当t＝0时，齿轮A上的点P1(x1，y1)和齿轮B上的点P2(x2，y2)均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，P1和P2在相同时间内运动的弧长相等，则P1，P2运动的角速度之比为____________．若y1＝sin t，则x2关于t的一个函数解析式为_______________________________.
【解析】
　　　　因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长l＝(ωt)r，且P1和P2在相同时间内运动的弧长相等，所以P1和P2运动的角速度之比等于运动半径之比的倒数，即2∶1，所以周期之比为1∶2，二者的旋转方向相反．
【解析】
　　　　作出y＝sin |x|的大致图象如图(1)所示，知其不是周期函数，排除D；因为y＝cos |x|＝cos x，其周期为2π，故排除C；
图(1)
【答案】A
图(2)
图(3)
【解析】
【答案】ABD
【解析】
【答案】B
【解析】
配套精练
一、 单项选择题
1．函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是 (　　)
C
2．(2026·蚌埠期初)将函数y＝sin x＋cos x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数y＝sin x－cos x的图象，则φ的最小值为 (　　)
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
【答案】AD
6．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)确定，其中A>0，ω>0，φ∈(0，π].小球从最高点出发，经过2 s后，第一次回到最高点，则 (　　)
【解析】
【答案】BC
【解析】
【答案】ABD
【解析】
9．某摩天轮示意图如图所示，其半径为100 m，最低点A与地面距离为8 m，24 min转动一圈．若该摩天轮上一吊箱B(视为质点)从点A出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158 m时，所经历的时长为_____min.
【解析】
【答案】40
10．(2025·济南三月模考)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的最小值为______．
【解析】
－1
(1) 求t的最小值；
【解答】
(2) 当t取最小值时，求函数y＝f(x)＋g(x)取得最大值时x的取值集合．
【解答】
(1) 求ω的值；
【解答】
【解答】第2课时　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象
举题说法
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象识别
例1　(2026·武汉期初)(多选)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则(　ACD　)
(例1)
A．f(x)的最小正周期为π
B．φ＝
C．f(x)的图象关于点中心对称
D．将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上是增函数
【解析】 由图象可知，＝－＝ T＝π，A正确；则＝π ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ)，又图象经过点，则sin ＝－1，即sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<π，所以φ＝， f(x)＝sin ，B错误；因为f＝sin ＝sin (－2π)＝0，所以f(x)的图象关于点中心对称，C正确；将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.因为 ，所以g(x)在区间上是增函数，D正确．
确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1) 求A，b：先确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2) 求ω：先确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3) 求φ：选取图象上的一个已知点代入解析式(此时要注意该点处于上升区间还是下降区间)，也可把图象的最高点或最低点代入求解．
变式1　(2025·岳阳质检)(多选)如图，直线y＝1与函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象交于A，B，C三点(点A在y轴上)，若BC＝，则下列说法正确的是(　AD　)
(变式1)
A．φ＝
B．ω＝2
C．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 的图象
D．当x∈时，f(x)∈[－2，1]
【解析】 对于A，由f(x)过A(0，1)可得2sin φ＝1，即sin φ＝，由图结合|φ|≤可得φ＝，故A正确；对于B，显然ω>0，由f(x)＝1可得2sin ＝1，即ωx＋＝＋2kπ(k∈Z)或ωx＋＝＋2kπ(k∈Z)，根据图象可得ωxB＋＝＋2kπ，ωxC＋＝＋2(k＋1)π，k∈Z，故ω(xC－xB)＝.又BC＝，所以ω＝，可得ω＝4，故B错误；对于C，将函数f(x)＝2sin 的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin ＝2sin 的图象，故C错误；对于D，当x∈时，4x＋∈，故sin ∈，则f(x)∈[－2，1]，故D正确．
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
视角1　平移与伸缩
例 2-1　(1) (2026·唐山期初)(多选)已知曲线C1：y＝sin 2x，曲线C2：y＝sin ，则(　AC　)
A．曲线C1和C2存在相同的对称轴
B．曲线C1和C2存在相同的对称中心
C．曲线C1上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得到曲线C2
D．把曲线C1向左平移个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到曲线C2
【解析】 对于曲线C1：y＝sin 2x，令2x＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，即曲线C1的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).对于曲线C2：y＝sin ，令x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋(k∈Z)，即曲线C2的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).当k＝0时，曲线C1和C2的对称轴方程都为x＝，所以曲线C1和C2存在相同的对称轴，故A正确．对于曲线C1：y＝sin 2x，令2x＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，即曲线C1的对称中心为(k∈Z).对于曲线C2：y＝sin ，令x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝kπ－(k∈Z)，即曲线C2的对称中心为(k∈Z).假设曲线C1和C2存在相同的对称中心，则＝k2π－(k1，k2∈Z)，即2k1＝4k2－1.因为2k1是偶数，4k2－1是奇数，所以不存在整数k1，k2使得等式成立，所以曲线C1和C2不存在相同的对称中心，故B错误．曲线C1：y＝sin 2x上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin x的图象，再向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，即曲线C2，故C正确．把曲线C1：y＝sin 2x向左平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin 的图象，再把得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin 的图象，而不是曲线C2：y＝sin ，故D错误．
(2) (2025·安庆二模)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题知f(x)＝sin ，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度得y＝sin 的图象．由题知该函数为奇函数，所以2φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的最小正值为.
(1) 由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度，而非φ个单位长度．
(2) 如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
变式 2-1　(2025·南京二模) 把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝(　B　)
A．cos 　　 B．cos
C．cos D．cos
【解析】 把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝cos 2x的图象，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后，得函数y＝f(x)＝cos ＝cos 的图象．
视角2　翻折变换
例 2-2　(2019·全国乙卷)(多选)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|，下列结论中正确的有(　AD　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点
D．f(x)的最大值为2
【解析】 方法一：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确，B不正确．因为f(0)＝0，f(x)为偶函数，所以f(x)在[－π，π]上的零点个数是奇数，故C不正确．因为sin |x|≤1，|sin x|≤1，所以f(x)＝sin |x|＋|sin x|≤2，且f＝2，所以f(x)的最大值为2，故D正确．
方法二：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x＋2π)＝f(x).当0≤x≤π时，f(x)＝2sin x；当π(例2-2答)
带绝对值符号的三角函数问题的解题顺序可以归纳为：(1) 分析奇偶性、周期性；(2) 去绝对值，写成分段函数；(3) 画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值．
变式 2-2　(2025·苏锡常镇二模)(多选)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则(　BD　)
A．f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最小值为－2
D．f(x)＝在[0，2π]上有4个不同的实数解
【解析】 方法一：因为f(0)＝2，f(2π)＝2，则f(2π)＋f(0)≠0，所以f(x)的图象不可能关于点(π，0)中心对称，故A错误．因为函数y1＝sin x＋cos x＝sin 的最小正周期为2π，函数y2＝|sin x－cos x|＝|sin |的最小正周期为π，所以f(x)＝y1＋y2的最小正周期为2π，故B正确．当0≤x≤时，f(x)＝2cos x；当图(1)
(变式2-2答)
方法二：f(x)＝sin x＋cos x＋|sin x－cos x|＝＝2max.作出g(x)＝2sin x和h(x)＝2cos x的大致图象如图(2)所示，实线部分即为f(x)的图象，由图可知，A，C错误，B正确．对于D，因为g(x)＝2sin x与h(x)＝2cos x在(0，π)内的交点坐标为，而<<2，结合函数f(x)的图象特征可知函数f(x)与y＝的图象在[0，2π]内有4个交点，所以f(x)＝在[0，2π]上有4个不同的实数解，故D正确．
图(2)
(变式2-2答)
三角函数的实际应用
例3　(2025·开封二模)(多选)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t(单位：s)时相对于平衡位置的高度(单位：cm)由关系式h(t)＝2sin 确定，则下列说法正确的是(　ACD　)
(例3)
A．小球在开始振动(即t＝0 s)时在平衡位置上方 cm处
B．每秒钟小球能往复振动2π次
C．函数h(t)的图象关于直线t＝对称
D．小球从t＝ s到t＝ s时运动的路程是5 cm
【解析】 当t＝0时，h(0)＝2sin ＝，故A正确；小球往复振动的周期为T＝＝2π，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误；因为h＝2sin ＝2sin ＝－2，所以函数h(t)的图象关于直线t＝对称，故C正确；由－＝＝，又h＝2sin ＝2sin ＝2，h＝2sin ＝2sin ＝－1，所以小球从t＝s到t＝s时运动的路程是2＋2＋1＝5 cm，故D正确.
变式3　如图，齿轮A和齿轮B相互啮合(齿的尺寸忽略不计)，其半径之比为1∶2，当t＝0时，齿轮A上的点P1(x1，y1)和齿轮B上的点P2(x2，y2)均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，P1和P2在相同时间内运动的弧长相等，则P1，P2运动的角速度之比为__2∶1(或2)__．若y1＝sin t，则x2关于t的一个函数解析式为__x2＝－2cos ＋2(答案不唯一)__.
(变式3)
【解析】 因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长l＝(ωt)r，且P1和P2在相同时间内运动的弧长相等，所以P1和P2运动的角速度之比等于运动半径之比的倒数，即2∶1，所以周期之比为1∶2，二者的旋转方向相反．设x2＝A cos (ωt＋φ)＋B，由y1＝sin t可知ω2＝－.又因为y1的值域为[－1，1]，所以齿轮A的半径为1，x2的取值范围为[0，4]，所以[－A＋B，A＋B]＝[0，4]，解得A＝B＝2.当t＝0时，2cos φ＋2＝0，得φ＝π＋2kπ，k∈Z，所以x2＝2cos ＋2＝－2cos ＋2.
随堂内化
1．(2019·全国甲卷)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的函数是(　A　)
A．f(x)＝|cos 2x|　　　　 B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x|　　　　 D．f(x)＝sin |x|
【解析】 作出y＝sin |x|的大致图象如图(1)所示，知其不是周期函数，排除D；因为y＝cos |x|＝cos x，其周期为2π，故排除C；作出y＝|cos 2x|的大致图象如图(2)所示，由图象知，其周期为，在区间上单调递增，故A正确；作出y＝|sin 2x|的大致图象如图(3)所示，由图象知其周期为，在区间上单调递减，故排除B．
图(1)
图(2)
图(3)
(第1题答)
2．(2025·三门峡期末)(多选)已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　ABD　)
(第2题)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象可由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
C．f(x)在内有3个极值点
D．f(x)在区间上的最大值为
【解析】 由图可知，A＝2，周期T＝×4＝π，则ω＝＝2，故A正确．由f＝2，得2sin ＝2，即sin ＝1，解得φ＋＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为0<φ<，所以φ＝，则f(x)＝2sin .对于B，y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得y＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝2sin ＝2sin ＝f(x)的图象，故B正确．对于C，由－3．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin (ωx＋φ)的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则下列选项中是函数的单调递增区间的是(　B　)
(第3题)
A．　　 B．
C．　　　 D．
【解析】 由相邻最大值与最小值之间的水平距离为，可得＝，即T＝π，所以ω＝＝2.由图象过点，得4sin ＝2，所以sin ＝，则有＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以y＝4sin .令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.当k＝0时，函数的单调递增区间为，因为 ，所以B正确．
4．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若AB＝，则f(π)＝__－__.
(第4题)
【解析】 设A，B.由AB＝可知x2－x1＝.由sin x＝可知x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.不妨取ω>0，由图可知ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f＝sin ＝0，所以由图可知＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin ＝sin ，所以f(π)＝sin ＝－.
配套精练
一、 单项选择题
1．函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是(　C　)
A． B．
C．π D．2π
2．(2026·蚌埠期初)将函数y＝sin x＋cos x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数y＝sin x－cos x的图象，则φ的最小值为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 由y＝sin x＋cos x＝sin ，y＝sin x－cos x＝sin ，可知将函数y＝sin x＋cos x的图象向右平移(最小正值)个单位长度，得到函数y＝sin x－cos x的图象，所以φ的最小值为.
3．(2025·太原一模)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象经过点，则θ＝(　C　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 因为函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到g(x)＝sin ＋1＝sin ＋1的图象，所以g＝sin ＋1＝2，即sin ＝1，则＋θ＝＋2kπ，k∈Z，解得θ＝－＋2kπ，k∈Z.因为－<θ<，所以k＝0，θ＝－.
4．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 将y＝cos 的图象向左平移个单位长度，得函数y＝cos ＝cos ＝－sin 2x 的图象，所以f(x)＝－sin 2x.直线y＝x－过与(1，0)两点，作出f(x)的图象与直线y＝x－如图所示，由图可知，f(x)的图象与y＝x－的交点个数为3.
(第4题答)
二、 多项选择题
5．(2025·厦门二模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　AD　)
(第5题)
A．ω＝2
B．φ＝
C．y＝f是奇函数
D．当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
【解析】 由题图可知T＝2×＝π，则ω＝＝2，f＝sin ＝1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z.由于|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin ，故A正确，B错误；y＝f＝sin ＝cos 2x为偶函数，故C错误；令f(x)＝sin ＝0，得2x＋＝kπ，k∈Z，故x＝－＋，k∈Z，当x∈[3π，4π]时，x＝－＋或x＝－＋4π，故D正确．
6．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)确定，其中A>0，ω>0，φ∈(0，π].小球从最高点出发，经过2 s后，第一次回到最高点，则(　BC　)
(第6题)
A．φ＝
B．ω＝π
C．t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度h之比为
D．t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度h之比为
【解析】 对于A，B，由题可知小球运动的周期T＝2 s，又ω>0，所以＝2，解得ω＝π.当t＝0 s时，A sin φ＝A，又φ∈(0，π]，所以φ＝，故A错误，B正确．对于C，D，由上可知h＝A sin ＝A cos πt，所以t＝3.75 s与t＝10 s时相对于平衡位置的高度之比为＝＝，故C正确，D错误．
7．(2025·太原一模)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，点A(0，－1)，B(x0，1)在曲线f(x)上，若AB＝，则(　ABD　)
(第7题)
A．φ＝－
B．f(x)的图象关于点中心对称
C．f(x)在[7，11]上单调递减
D．若将f(x)图象每个点的横坐标变为原来的(t>0)倍后在(0，2π)上有且仅有2个极值点，则t∈
【解析】 由f(0)＝－1，得sin φ＝－，而|φ|<π，x＝0在f(x)的单调递增区间上，则φ＝－，故A正确；依题意，x0>0，AB＝＝，解得x0＝3，函数f(x)的周期T＝2(x0－0)＝6＝，解得ω＝，f(x)＝2sin ，则f＝2sin ＝0，f(x)的图象关于点中心对称，故B正确；当x∈[7，11]时，x－∈，当x－＝，即x＝8时，f(x)取得最大值2，因此f(x)在[7，11]上不单调，故C错误；将f(x)图象每个点的横坐标变为原来的(t>0)倍后，得y＝2sin 的图象，当x∈(0，2π)时，x－∈，则有<－≤，解得三、 填空题
8．(2025·福州二模)若函数f(x)＝sin x－，x∈(0，π)恰有两个零点x1，x2，则f(x1＋x2)＝__－__.
【解析】 因为函数f(x)＝sin x－，x∈(0，π)恰有两个零点x1，x2，所以sin x1＝，sin x2＝.又f(x)＝sin x在(0，π)上关于直线x＝对称，所以＝，即x1＋x2＝π，故f(x1＋x2)＝f(π)＝sin π－＝－.
9．某摩天轮示意图如图所示，其半径为100 m，最低点A与地面距离为8 m，24 min转动一圈．若该摩天轮上一吊箱B(视为质点)从点A出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158 m时，所经历的时长为__40__min.
(第9题)
【解析】 如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设吊箱B离地面的高度为h，则h＝100sin ＋108＝－100cos t＋108，令h＝158，得cos t＝－，所以t＝＋2kπ或t＝＋2kπ，k∈Z，所以t＝8＋24k或t＝16＋24k，k∈Z.所以当t＝40时，吊箱B第4次距离地面158 m．
(第9题答)
10．(2025·济南三月模考)函数f(x)＝|sin x|＋cos x的最小值为__－1__．
【解析】 当sin x≥0，即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，f(x)＝|sin x|＋cos x＝sin x＋cos x＝sin ；当sin x<0，即2kπ＋π(第10题答)
四、 解答题
11．(2026·太原期初)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，将函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数．
(1) 求t的最小值；
【解答】 将f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin 的图象向左平移t(t>0)个单位长度可得g(x)＝f(x＋t)＝sin 的图象．因为g(x)是奇函数，所以2t＋＝kπ，k∈Z，所以t＝－，k∈Z.因为t>0，所以当k＝1时，t取最小值.
(2) 当t取最小值时，求函数y＝f(x)＋g(x)取得最大值时x的取值集合．
【解答】 由(1)知g(x)＝sin ＝－sin 2x，y＝f(x)＋g(x)＝sin 2x＋cos 2x－sin 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos .当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，y＝f(x)＋g(x)取得最大值，此时x＝kπ－(k∈Z).所以x的取值集合为.
12．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)＝4sin cos ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1) 求ω的值；
【解答】 f(x)＝4sin cos ωx－＝2sin ωx cos ωx＋2cos2ωx－＝sin2ωx＋cos 2ωx＝2sin .因为f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以T＝＝π，所以ω＝1.
(2) 将函数f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x)在区间[0，m]上有且仅有3个零点，求m的取值范围．
【解答】 由(1)知f(x)＝2sin ，由题意知g(x)＝2sin －1.令g(x)＝0，得sin ＝，所以2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z.由x＝－＋kπ，k∈Z，令k＝1，得x＝，令k＝2，得x＝；由x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，得x＝；令k＝1，得x＝.因为g(x)在区间[0，m]上有且仅有3个零点，所以≤m<，即m的取值范围是.

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