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第24讲　解三角形
激活思维
1．(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　A　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
【解析】 由题意得cos A＝＝＝，又0°2．(教材经典题改编)在△ABC中，设b＝5，c＝5，A＝30°，则a＝(　A　)
A．5 B．4
C．3 D．10
【解析】 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝52＋(5)2－2×5×5×cos 30°＝25，解得a＝5.
3．(教材经典题)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝__＋__．
【解析】 在△ABC中，因为b＝2，A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°，则由正弦定理＝，得c＝＝＝＝＋.
4．(教材经典题)在△ABC中，已知cos A＝，B＝，b＝，则a＝____，c＝____．
【解析】 由cos A＝，可知A为锐角，所以sin A＝＝.由正弦定理得a＝＝＝＝.sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A·cos B＋cos A sin B＝×＋×＝，由正弦定理得c＝＝＝.
5．(教材经典题改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C＋a sin C－b－c＝0，则A＝____；若a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝__4__．
【解析】 由a cos C＋a sin C－b－c＝0及正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0.因为sin B＝sin (π－A－C)＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin A sin C－cos A sin C－sin C＝0.由于sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0，所以sin ＝.又0聚焦知识
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 __＝＝__＝2R a2＝__b2＋c2－2bc cos A__； b2＝__a2＋c2－2ac cos B__； c2＝__a2＋b2－2ab cos C__
变形 形式 ①a＝__2R sin A__，b＝__2R sin B__，c＝__2R sin C__； ②sin A＝____，sin B＝____，sin C＝____(其中R是△ABC外接圆的半径)； ③a∶b∶c＝__sin A∶sin B∶sin C__； ④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝____； cos B＝____； cos C＝____
解斜三 角形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
2．三角形常用面积公式
(1) S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2) S△ABC＝__ab sin C__＝bc sin A＝ac sin B；
(3) S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径)；
(4) S△ABC＝＝2R2sin A sin B sin C(R为△ABC外接圆的半径)；
(5) S△ABC＝.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin Ab a≤b
解的个数 __一解__ __两解__ __一解__ __一解__ __无解__
4．解三角形的实际应用
(1) 仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__叫仰角，目标视线在水平视线__下方__叫俯角(如图(1)).
图(1)
(2) 方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(2))．
图(2)
(3) 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(4) 视角：观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼球内交叉而成的角．
第1课时　正弦定理与余弦定理
题型突破　能力进阶
举题说法
正、余弦定理的直接应用
例1　(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin B＝b·cos A，c－2b＝1，a＝.
(1) 求角A的大小；
【解答】 因为a sin B＝b cos A，所以由正弦定理＝，得a sin B＝b sin A＝b cos A，显然cos A≠0，得tan A＝.又0(2) 求c的值；
【解答】 由(1)知cos A＝，且c＝2b＋1，a＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得7＝b2＋(2b＋1)2－2×b(2b＋1)＝3b2＋3b＋1，解得b＝1(b＝－2舍去)，故c＝3.
(3) 求sin (A＋2B)的值．
【解答】 由正弦定理＝，且b＝1，a＝，sin A＝，得sin B＝＝，且a>b，则B为锐角，故cos B＝，故sin 2B＝2sin B cos B＝，且cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×2＝，所以sin(A＋2B)＝sin A cos 2B＋cos A·sin 2B＝×＋×＝.
在解三角形中，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理．若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．
变式1　(2026·新乡期初)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝a sin2B.
(1)求角C的大小；
【解答】 在△ABC中，由b＝a sin2B，得(sin2A＋sin2B－sin2C)b＝a sin2B.由正弦定理得(a2＋b2－c2)b＝ab2，由余弦定理得2ab cosC·b＝ab2，则cos C＝，而0(2) 若A＝，且△ABC的外接圆半径为2，求b的值．
【解答】 由(1)知C＝，又A＝，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×＋×＝.又△ABC的外接圆半径为2，所以由正弦定理得b＝4sin B＝＋.
利用正、余弦定理判断三角形的形状
例2　(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　BD　)
A．若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
B．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
C．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形
D．若a cos B＋b cos A＝a，则△ABC一定是等腰三角形
【解析】 对于A，若a2＋b2－c2>0，则cos C＝>0，则C为锐角，但是A，B两角无法判断其是否为锐角，如当a＝4，b＝2，c＝3时，a2＋b2－c2>0，b2＋c2－a2＝－3<0，△ABC为钝角三角形，故A错误；对于B，因为＝＝，所以＝＝，所以tan A＝tan B＝tan C，且A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故B正确；对于C，因为a cos A＝b cos B，所以sin A cos A＝sin B cos B，所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为a cos B＋b cos A＝a，所以sin A·cos B＋sin B cos A＝sin A，即sin (A＋B)＝sin A，则sin C＝sin A，又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的取值范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
变式2　在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＝，2b cos A＝c，则△ABC的形状是(　C　)
A．等腰直角三角形
B．等腰钝角三角形
C．等边三角形
D．以上结论均不正确
【解析】 因为2b cos A＝c>0，所以A为锐角．由余弦定理得2b×＝c，得b2＝a2，a＝b，则B为锐角．
方法一：由＝以及余弦定理得＝，即＝，即＝.由于b2－a2＝0，所以b2－c2＝0，即b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
方法二：由＝及正弦定理得sin C·cos C＝sin Acos A，所以sin 2A＝sin 2C，从而A＝C或A＋C＝(由B为锐角，舍去).综上，A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
和三角形面积有关的问题
例3　(2024·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1) 求角B的大小；
【解答】 由题知cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝.因为sin C＝cos B，所以cos B＝.又B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 若△ABC的面积为3＋，求c的值．
【解答】 由(1)可得B＝，C＝，则A＝π－－＝，所以sin A＝sin ＝sin ＝×＋×＝.由正弦定理有＝＝，从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，所以S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2＝3＋，解得c＝2.
(1) 对于三角形面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝cb sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2) 与面积有关的问题，一般先利用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
变式3　(2023·全国甲卷文)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2.
(1) 求bc的值；
【解答】 因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1.
(2) 若－＝1，求△ABC的面积．
【解答】 由正弦定理可得－＝－＝－＝＝1，变形可得sin (A－B)－sin (A＋B)＝sin B，即－2cos A sin B＝sin B．又B∈(0，π)，故sin B≠0，所以cos A＝－.因为A∈(0，π)，所以sin A＝，故S△ABC＝bc sin A＝×1×＝.
　射影定理
例4　(2025·南京、盐城一模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝a cos C－2a cos B，则＝(　D　)
A． B．
C．1 D．2
【解析】 如图，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝c cos B，CD＝b cos C，所以a＝BD＋CD＝c cos B＋b cos C，同理可证b＝a cos C＋c cos A，c＝a cos B＋b cos A．因为b－2c＝a cos C－2a cos B，所以a cos C＋c cos A－2(a cos B＋b cos A)＝a cos C－2a cos B，整理得c cos A＝2b cos A.因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，所以c＝2b，即＝2.
(例4答)
三角形中射影定理：a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B．
随堂内化
1．(2025·濮阳一模)在△ABC中，BC＝3，sin B＋sin C＝sin A，且△ABC的面积为sin A，则A＝(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin B＋sin C＝sin A，所以由正弦定理可得b＋c＝a＝.由S△ABC＝bc sin A＝sin A，解得bc＝1，所以由余弦定理可得cos A＝＝＝＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝.
2．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为B＝，b2＝ac，所以由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝.因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0，所以sin A＋sin C＝.
3．(2026·海门期初)(多选)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c cos B，△ABC的面积为，c＝，则(　BCD　)
A．A＝B
B．a2＋b2＝3
C．a＋b＝＋1
D．sin A＋cos A＝
【解析】 因为a＝c cos B，所以a＝c×，化简得a2＋b2＝c2，可知C＝.因为c＝，所以a2＋b2＝3.因为△ABC的面积为，所以ab＝，化简得ab＝.联立解得或对于A，因为a≠b，所以A≠B，故A错误．对于B，由上分析可知a2＋b2＝3，故B正确．对于C，由上分析可知a＋b＝＋1，故C正确．对于D，由C＝，知sin A＋cos A＝＋＝，故D正确．
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为(　C　)
A．6 B．8　
C．24 D．48
【解析】 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即c2－12c＋36＝0，解得c＝6.又sin ∠BAC＝＝，所以S△ABC＝bc sin A＝×10×6×＝24.
2．(2025·福州四模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则C＝(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题及正弦定理得＝，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
3．(2025· 菏泽一模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝(　D　)
A． B．3
C． D．2
【解析】 方法一：因为＝，所以由正弦定理可得＝，所以3sin B·cos C－sin A cos C＝cos Asin C，即3sin B·cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＝sin (A＋C).又因为sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，00，故3cos C＝1，解得cos C＝.又因为00，所以sin C＝＝＝，所以tanC＝＝＝2.
方法二：由＝及射影定理，可得3b cos C＝c cos A＋a cos C＝b，则cos C＝，以下同方法一．
4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2－1＝c(c－1)，则A＝(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 由a2－1＝c(c－1)＝c2－c，得c2－a2＝c－1.因为b＝1，所以上式可化为b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝.
二、 多项选择题
5．(2025·宜昌模拟)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin ＝cos B，b＝2，c＝3，则(　AD　)
A．C＝
B．a＝＋
C．sin A＝
D．△ABC的面积为
【解析】 因为sin ＝cos B，且△ABC为锐角三角形，所以A－＋B＝，即A＋B＝，可得C＝，故A正确．由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝a2＋b2－ab，得9＝a2＋4－2a，整理得a2－2a－5＝0，又a>0，所以a＝1＋，故B错误．根据正弦定理＝，可得sin A＝＝＝，故C错误．S△ABC＝ab sin C＝×(1＋)×2×＝＝，故D正确．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　ABC　)
A．若cos A>cos B，则sin AB．若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝
C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的大小为
D．若＝，则B＝
【解析】 对于A，cos A>cos B A7．(2026·济南期初)已知△ABC的面积为，若sin A cos (C－B)＝sin B cos (C－A)，sin C＝cos B，则(　BC　)
A．C＝ B．sin B＝
C．AC＝2　 D．AB＝
【解析】 因为sin A cos (C－B)＝sin B cos (C－A)，所以sin A cos C cos B＋sin A sin C sin B＝sin Bcos C cos A＋sin B sin C sin A，所以sin A·cos Ccos B＝sin B cos C cos A，所以cos C·(sin Acos B－cos A sin B)＝0，所以cos C·sin (A－B)＝0，所以cos C＝0或sin (A－B)＝0，即C＝或A＝B.若C＝，则cos B＝sin C＝1 cos B＝2显然不成立，所以C＝不成立，故A错误．若A＝B，则C＝π－(A＋B)＝π－2B，所以sin C＝cos B sin 2B＝cos B，所以2sin B cos B＝cos B，因为A＝B，所以A＝B≠，所以cos B≠0，所以sin B＝，故B正确．因为A＝B，所以A，B为锐角，所以cos B＝＝＝，所以sinC＝cos B＝，因为△ABC的面积为，所以BC·AC sin C＝，所以AC2×＝，解得AC＝2，故C正确．因为cos C＝cos (π－2B)＝－cos 2B＝－(1－2sin2B)＝－＝－.由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cosC＝4＋4－2×2×2×＝15，所以AB＝，故D错误．
三、 填空题
8．(2026·南京期初)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，c＝4，b sin A＝1，则b＝____.
【解析】 由正弦定理＝可得a＝＝＝，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝2＋16－8×＝10，即b＝.
9．(2025·徐州2月调研)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是__(，2)__．
【解析】 根据正弦定理可知＝，代入可得sin A＝.因为满足条件的△ABC有两个，所以A有两个值，即函数y＝sin x，0°0有两个交点，作出y＝sin x与y＝(a>0)的图象如图所示，由图可知<<1，所以a∈(，2).
(第9题答)
10．(2025·佛山一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝，则＝____．
【解析】 因为＋＝，所以sin B·sin C cos A＋2sin A sin C cos B＝3sin A sin B·cos C，所以bc×＋2ac×＝3ab×，整理得3c2＝a2＋2b2，故＝.
四、 解答题
11．(2025·杭州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A－sin2B＝sin2C－sinBsin C，2cos B＝sin C.
(1) 判断△ABC的形状，并说明理由；
【解答】 △ABC为直角三角形，理由如下：由sin2A－sin2B＝sin2C－sinB sin C，得a2－b2＝c2－bc，即bc＝c2＋b2－a2，由余弦定理得cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.又2cos B＝sin C，所以2cos B＝sin (B＋A)＝sin ＝sin B＋cos B，化简可得sin B＝cos B，故tan B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝，C＝π－B－A＝，故△ABC为直角三角形．
(2) 已知点D在边AB上，且BD＝2AD.若CD＝2，求△ACD的面积．
【解答】 由(1)知A＝，B＝，且△ABC为直角三角形．如图，设AB＝2x，则AC＝x，BC＝x，AD＝AB＝.在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos A，即4＝＋(x)2－2××x×，解得x2＝，故S△ACD＝AD·AC·sin A＝××x×＝x2＝×＝.
(第11题答)
12．(2026·武汉期初)在△ABC中，tan A＋tan B＝，AB＝5，AC＝8.
(1) 求角A的大小；
【解答】 由tan A＋tan B＝，可得＝，即sin A·cos B＋cos A sin B＝2sin C cos A，又sin A·cos B＋cos A sin B＝sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，所以sin C＝2sin C cos A．在△ABC中，A，C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＝，则A＝.
(2) 求cos B；
【解答】 由AB＝5，AC＝8，A＝，结合余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝52＋82－80×＝49，所以BC＝7，则cos B＝＝.
(3) 若线段AB上点D满足∠BCD＝，求CD的长．
【解答】 易知sin B＝，sin ∠BCD＝，cos ∠BCD＝，所以sin ∠BDC＝sin (π－B－∠DCB)＝sin (B＋∠DCB)＝sin B·cos ∠BCD＋cos B sin ∠BCD＝.由正弦定理得＝，故CD＝7××＝.
B组　滚动小练
13．(2026·黄石期初)已知a<－1，当x∈[0，－a－1]时，f(x)＝x2＋ax的最小值是－，则a＝(　D　)
A．－2 B．－
C．－ D．－
【解析】 f(x)＝x2＋ax＝－，a<－1，0≤x≤－(a＋1).若－(a＋1)<－，即－214．(2026·邢台期初)已知函数f(x)＝sin ＋sin .
(1) 求f(x)图象的对称中心的坐标；
【解答】 f(x)＝sin ＋sin ＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以f(x)图象的对称中心的坐标为(k∈Z).
(2) 求f(x)在上的值域；
【解答】 当x∈时，2x－∈，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值f＝2；当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值f＝－1.所以f(x)在上的值域是[－1，2].
(3) 若对任意的x∈，不等式2－mf(x)－6≤0恒成立，求m的取值范围．
【解答】 设t＝f(x)，由(2)知t∈[－1，2]，则“对任意的x∈，不等式[f(x)]2－mf(x)－6≤0恒成立”等价于“对任意的t∈[－1，2]，不等式t2－mt－6≤0恒成立”，所以解得－1≤m≤5，即m的取值范围是[－1，5].(共63张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
第24讲　解三角形
知识梳理　体系构建
【解析】
A
【解析】
A
3．(教材经典题)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝_________．
【解析】
【解析】
【解析】
4
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 _________________＝2R a2＝________________；
b2＝________________；
c2＝_________________
变形
形式 ①a＝_________，b＝__________，c＝__________；
②sin A＝_____，sin B＝_____，sin C＝_____(其中R是△ABC外接圆的半径)；
③a∶b∶c＝______________________；
④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝________；
cos B＝________；
cos C＝_________
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C
2R sin A
2R sin B
2R sin C
sin A∶sin B∶sin C
定理 正弦定理 余弦定理
解斜三
角形的
问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin Ab a≤b
解的个数 _______ _______ _______ _______ _______
一解
两解
一解
一解
无解
4．解三角形的实际应用
(1) 仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_______叫仰角，目标视线在水平视线_______叫俯角(如图(1)).
(2) 方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(2))．
(3) 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(4) 视角：观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼球内交叉而成的角．
图(1)
图(2)
上方
下方
第1课时　正弦定理与余弦定理
题型突破　能力进阶
目标
1
正、余弦定理的直接应用
1
【解答】
【解答】
1
【解答】
1
在解三角形中，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理．若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．
【解答】
【解答】
目标
2
利用正、余弦定理判断三角形的形状
　　　(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 (　　)
A．若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
2
【解析】
对于D，因为a cos B＋b cos A＝a，所以sin A·cos B＋sin B cos A＝sin A，即sin (A＋B)＝sin A，则sin C＝sin A，又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．
【答案】BD
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的取值范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【解析】
【答案】C
目标
3
和三角形面积有关的问题
3
【解答】
【解答】
3
【解答】
【解答】
4
【解析】
　　　　如图，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝c cos B，CD＝b cos C，所以a＝BD＋CD＝c cos B＋b cos C，同理可证b＝a cos C＋c cos A，c＝a cos B＋b cos A．
微探究
射影定理
D
三角形中射影定理：a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋
a cos B．
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
【答案】BCD
配套精练
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
【答案】D
4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2－1＝c(c－1)，则
A＝ (　　)
【解析】
A
【解析】
【答案】AD
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是 (　　)
A．若cos A>cos B，则sin A【解析】
　　　　对于A，cos A>cos B A【答案】ABC
【解析】
【答案】BC
【解析】
【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
(1) 求角A的大小；
【解答】
(2) 求cos B；
【解答】
【解答】
【解析】
D
【解答】
【解答】
【解答】第24讲　解三角形
激活思维
1．(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　 　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
2．(教材经典题改编)在△ABC中，设b＝5，c＝5，A＝30°，则a＝(　 　)
A．5 B．4
C．3 D．10
3．(教材经典题)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝ ．
4．(教材经典题)在△ABC中，已知cos A＝，B＝，b＝，则a＝ ，c＝ ．
5．(教材经典题改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C＋a sin C－b－c＝0，则A＝ ；若a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝ ．
聚焦知识
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝2R a2＝ ； b2＝ ； c2＝
变形 形式 ①a＝ ，b＝ ，c＝ ； ②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ (其中R是△ABC外接圆的半径)； ③a∶b∶c＝ ； ④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝
解斜三 角形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
2．三角形常用面积公式
(1) S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2) S△ABC＝ ＝bc sin A＝ac sin B；
(3) S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径)；
(4) S△ABC＝＝2R2sin A sin B sin C(R为△ABC外接圆的半径)；
(5) S△ABC＝.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin Ab a≤b
解的个数
4．解三角形的实际应用
(1) 仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角(如图(1)).
图(1)
(2) 方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(2))．
图(2)
(3) 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(4) 视角：观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼球内交叉而成的角．
第1课时　正弦定理与余弦定理
题型突破　能力进阶
举题说法
正、余弦定理的直接应用
例1　(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin B＝b·cos A，c－2b＝1，a＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 求c的值；
(3) 求sin (A＋2B)的值．
在解三角形中，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理．若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．
变式1　(2026·新乡期初)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝a sin2B.
(1)求角C的大小；
(2) 若A＝，且△ABC的外接圆半径为2，求b的值．
利用正、余弦定理判断三角形的形状
例2　(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　 　)
A．若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
B．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
C．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形
D．若a cos B＋b cos A＝a，则△ABC一定是等腰三角形
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的取值范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
变式2　在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＝，2b cos A＝c，则△ABC的形状是(　 　)
A．等腰直角三角形
B．等腰钝角三角形
C．等边三角形
D．以上结论均不正确
和三角形面积有关的问题
例3　(2024·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1) 求角B的大小；
(2) 若△ABC的面积为3＋，求c的值．
(1) 对于三角形面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝cb sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2) 与面积有关的问题，一般先利用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
变式3　(2023·全国甲卷文)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2.
(1) 求bc的值；
(2) 若－＝1，求△ABC的面积．
　射影定理
例4　(2025·南京、盐城一模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝a cos C－2a cos B，则＝(　 　)
A． B．
C．1 D．2
三角形中射影定理：a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B．
随堂内化
1．(2025·濮阳一模)在△ABC中，BC＝3，sin B＋sin C＝sin A，且△ABC的面积为sin A，则A＝(　 　)
A． B．
C． D．
2．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2026·海门期初)(多选)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c cos B，△ABC的面积为，c＝，则(　 　)
A．A＝B
B．a2＋b2＝3
C．a＋b＝＋1
D．sin A＋cos A＝
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为(　 　)
A．6 B．8　
C．24 D．48
2．(2025·福州四模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则C＝(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2025· 菏泽一模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝(　 　)
A． B．3
C． D．2
4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a2－1＝c(c－1)，则A＝(　 　)
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．(2025·宜昌模拟)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin ＝cos B，b＝2，c＝3，则(　 　)
A．C＝
B．a＝＋
C．sin A＝
D．△ABC的面积为
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　 　)
A．若cos A>cos B，则sin AB．若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝
C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的大小为
D．若＝，则B＝
7．(2026·济南期初)已知△ABC的面积为，若sin A cos (C－B)＝sin B cos (C－A)，sin C＝cos B，则(　 　)
A．C＝ B．sin B＝
C．AC＝2　 D．AB＝
三、 填空题
8．(2026·南京期初)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，c＝4，b sin A＝1，则b＝ .
9．(2025·徐州2月调研)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是 ．
10．(2025·佛山一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝，则＝ ．
四、 解答题
11．(2025·杭州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A－sin2B＝sin2C－sinBsin C，2cos B＝sin C.
(1) 判断△ABC的形状，并说明理由；
(2) 已知点D在边AB上，且BD＝2AD.若CD＝2，求△ACD的面积．
12．(2026·武汉期初)在△ABC中，tan A＋tan B＝，AB＝5，AC＝8.
(1) 求角A的大小；
(2) 求cos B；
(3) 若线段AB上点D满足∠BCD＝，求CD的长．
B组　滚动小练
13．(2026·黄石期初)已知a<－1，当x∈[0，－a－1]时，f(x)＝x2＋ax的最小值是－，则a＝(　 　)
A．－2 B．－
C．－ D．－
14．(2026·邢台期初)已知函数f(x)＝sin ＋sin .
(1) 求f(x)图象的对称中心的坐标；
(2) 求f(x)在上的值域；
(3) 若对任意的x∈，不等式2－mf(x)－6≤0恒成立，求m的取值范围．

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