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三角形中特殊线段的研究
三角形的中线问题
例1　(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1) 若∠ADC＝，求tan B；
【解答】 方法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1，所以S△ADC＝AD·DC sin ∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4.在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos ∠ADB＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝，sin B＝＝＝，所以tanB＝＝.
方法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1，所以S△ADC＝AD·DC sin ∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4.在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC，即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，则AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝.如图，过点A作AE⊥BC于点E，于是CE＝AC cos C＝，AE＝AC sin C＝，BE＝，所以tan B＝＝.
　(例1答)
(2) 若b2＋c2＝8，求b，c.
【解答】 方法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2.因为S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝，所以sin ∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2.
方法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，所以2＝＋，又＝－，所以42＋2＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2.因为S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝，所以sin ∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2.
(1) 中线长定理(几何形式)：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
(2) 中线长定理(向量形式)：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则2＝(b2＋c2＋2bc cos A).
变式1　(2025·石家庄三模) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋c cos B＝a.
(1) 求角C的大小；
【解答】 由题及正弦定理得sin B sin C＋sin Ccos B＝sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin B sin C＝sin Bcos C．因为B，C∈(0，π)，所以sin B>0，即sin C＝cos C>0，可得tan C＝，故C＝.
(2) 若AB＝2，且sin A sin B＝，求AB边上中线CT的长．
【解答】 在△ABC中，由正弦定理可得＝＝＝＝，所以ab＝sin A sin B·＝4.在△ABC中，由余弦定理可得c2＝8＝a2＋b2－2ab cosC＝a2＋b2－ab＝a2＋b2－4，所以a2＋b2＝12.因为CT为AB边上的中线，所以＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(a2＋b2＋2ab cos C)＝(a2＋b2＋ab)＝×(12＋4)＝4，故||＝2，因此，AB边上的中线CT的长为2.
三角形的角平分线问题
例2　(2023·全国甲卷理)在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝__2__．(请同学们尝试用多种方法解决)
【解析】 如图，记AB＝c，AC＝b，BC＝a.
(例2答)
方法一：由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，解得b＝1＋(舍负).由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，可得×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，解得AD＝＝＝2.
方法二：由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，解得b＝1＋(舍负).由正弦定理可得＝＝，解得sin B＝，sin C＝.因为1＋>>，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°.又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°＝B，则AD＝AB＝2.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC且交BC于点D.
(1) 角度关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD.
(2) 内角平分线定理：＝＝.
(3) 角平分线长度公式：由等面积法，即S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，得AD＝.
变式2　(2025·宣城期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1) 求角A的大小；
【解答】 由已知及正弦定理有＝，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理有cos A＝＝，又0(2) 若a＝3，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值．
【解答】 由(1)可知b2＋c2－18＝bc，则(b＋c)2＝3bc＋18①.由基本不等式有bc≤2，可得b＋c≤6.又b＋c>a＝3，则3三角形的高线问题
例3　(2025·蚌埠二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C).
(1) 求角A的大小；
【解答】 因为2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C)，所以2a cos A＋b cos C＝－c cos B，由正弦定理得2sin A cos A＋sin B cos C＝－sin C cos B，所以2sin A cos A＝－sin C cos B－sin B cos C＝－sin (B＋C)＝－sin A．又sin A≠0，所以cos A＝－，又A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 若a＝，BC边上的高为，求△ABC的周长．
【解答】 如图，因为a＝，BC边上的高为AD＝，所以△ABC的面积S＝××＝.由△ABC的面积S＝bc sin A＝bc sin ＝，解得bc＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc，即()2＝(b＋c)2－4，解得b＋c＝5.所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
(例3答)
(1) 设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶.
(2) 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．
变式3　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1) 求sin A；
【解答】 因为A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，所以4C＝π，则C＝.因为2sin (A－C)＝sin B＝sin (π－A－C)＝sin (A＋C)，所以2sin A cos C－2cos Asin C＝sin A cos C＋cos A sin C，则sin A·cos C＝3cos A sin C，所以sin A＝3cos A＞0.又sin2A＋cos2A＝1，所以sinA＝.
(2) 设AB＝5，求AB边上的高．
【解答】 设AB边上的高为h，由(1)易得cos A＝，则sin B＝sin (A＋C)＝sin ＝cos A＋sin A＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2.因为S△ABC＝AC·AB·sin A＝·AB·h，所以h＝AC sin A＝2×＝6，即AB边上的高为6.
配套精练
1．(2025·烟台、东营一模)在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，则||＝(　C　)
A． B．
C． D．2
【解析】 由题知＝＋，则||＝＝
＝＝.
2．(2025·武汉调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C＝，c＝6，△ABC的面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的平分线，则CD＝(　B　)
A．　 B．1　　
C． D．
【解析】 在△ABC中，∠ACB＝，c＝6，由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2ba cos ∠ACB，所以62＝b2＋a2－2ba cos ，所以36＝b2＋a2－ba.又△ABC的面积为，所以ba sin ＝，所以ba＝4，所以36＝b2＋a2－ba＝(a＋b)2－3×4，所以a＋b＝4.因为CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝，所以∠ACD＝∠DCB＝.因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，即AC·CD·sin ∠ACD＋BC·CD sin ∠BCD＝，即b·CD·sin ＋a·CD sin ＝，所以b·CD＋a·CD＝4，所以(b＋a)CD＝4，所以CD＝1.
3．(2025·杭州期末)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，若b＋2a cos B＝2c，且a＝，b＝3，则下列结论中错误的是(　D　)
A．A＝ B．AD＝
C．S△ABC＝ D．c＝1
【解析】 由题及正弦定理得sin B＋2sin A cos B＝2sin C＝2sin A cos B＋2cos A sin B．因为sin B>0，所以cos A＝，又A∈，所以A＝，故A正确．由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即9＋c2－2×3c×＝7，即c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，cos B＝<0，B为钝角，舍去，经检验c＝2符合题意，故D错误．S△ABC＝bc sin A＝×3×2×＝，故C正确．由S△ABC＝ × 2×AD×＋×3×AD×＝ ，得AD＝，故B正确．
4．(2025·张家口期末)已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足2b(sin B cos C＋cos A)＋c sin 2B＝0，D为BC的中点．
(1) 求角A的大小；
【解答】 由2b(sin B cos C＋cos A)＋c sin 2B＝0及正弦定理得2sin B(sin B cos C＋cos A)＋2sin C sin B cos B＝0，因为sin B≠0，所以sin Bcos C＋cos A＋sin C cos B＝0，所以sin (B＋C)＋cos A＝0.因为sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－.因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 若·＝－，a＝7，求 AD 的长．
【解答】 因为·＝||||cos ＝－bc＝－，所以bc＝15.又因为a＝7，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即b2＋c2＝34.由平面向量加法的平行四边形法则可得2＝＋，所以42＝(＋)2＝2＋2·＋2＝c2＋b2＋2·＝34－15＝19，所以||＝，即AD的长为.
5．(2025·漳州一检)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________．
请在①(a－b)sin (A＋C)＝(a－c)(sin A＋sin C)；②sin cos ＝，这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在横线上，并解答问题．
(1) 求角C的大小；
【解答】 若选择条件①：(a－b)sin (A＋C)＝(a－c)·(sin A＋sin C)，则(a－b)sin B＝(a－c)(sin A＋sin C)，由正弦定理可得(a－b)b＝(a－c)(a＋c)，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.又C∈(0，π)，所以C＝.
若选择条件②：sin cos ＝，则sin cos ＝，所以cos2＝.由C∈(0，π)，得(2) 若△ABC的面积为5，D为AC的中点，求BD的最小值．
【解答】 方法一：由S＝ab sin C＝ab×＝5，解得ab＝20.又＝＋，所以2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝a2＋2a×b×＋＝a2＋－ab≥ab－ab＝ab＝10，所以||≥，当且仅当a＝，b＝2时等号成立，所以BD的最小值是.
方法二：因为S△ABC＝5，D为AC的中点，所以S△BDC＝S△ABC＝＝·a·b·sin ，得ab＝20.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos C＝a2＋b2－ab≥2a·b－ab＝ab＝10，所以BD≥，当且仅当a＝，b＝2时等号成立，所以BD的最小值是.
6．(2025·郑州一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝bc，2sin (C－A)＝sin B.
(1) 求sin C；
【解答】 在△ABC中，因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝，而A为三角形内角，所以A＝.因为2sin (C－A)＝sin B，所以2sin ＝sin ，整理得(sin C－cos C)＝(cos C＋sin C)，得sin C＝3cos C，又sin2C＋cos2C＝1，且sinC>0，所以sin C＝.
(2) 设BC＝10，求BC边上的高．
【解答】 由正弦定理得＝，得AB＝×sin C＝×＝6.由(1)得sin C＝>，所以C为锐角，cos C＝，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos Asin C＝.设BC边上的高为h，则h＝AB sin B＝6×＝12，所以BC边上的高为12.
7．(2025·唐山期初)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin 2A＋cos 2A＝2，b＝a.
(1) 求角B的大小；
【解答】 由题知sin 2A＋cos 2A＝2sin ＝2，则sin ＝1，所以2A＋＝＋2kπ，k∈Z，A＝＋kπ(k∈Z).因为在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，所以A＝.由b＝a，得sin B＝sin A＝，则B＝或B＝.
(2) 若B为锐角，AC边上的高为＋，求△ABC的周长．
【解答】 由题意及(1)可知A＝，B＝，则C＝π－－＝.如图，作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，则BD＝＋，∠BCD＝，∠CBD＝，所以sin A＝＝，则AB＝2＋2，cos ∠CBD＝cos ＝×＋×＝＝，则BC＝4.由正弦定理得AC＝＝4，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝2＋2＋4＋4＝6＋2＋4.
(第7题答)
8．(2026·潍坊期初)在△ABC中，sin2A＋sin＝.
(1) 求角A的大小；
【解答】 由sin2A＋sin＝，可得1－cos2A＋cosA＝，即4cos2A－4cosA－3＝0，解得cos A＝－或cos A＝.因为A∈(0，π)，可得cos A∈(－1，1)，所以cos A＝－，所以A＝.
(2) 若∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D，且AD＝2，CD＝，求△ABC的面积．
【解答】 由(1)知A＝，因为AD为∠BAC的平分线，且AD＝2，CD＝，可得∠BAD＝∠CAD＝.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos ∠CAD，即()2＝22＋AC2－2×2AC×，整理得AC2－2AC－3＝0，解得AC＝3或AC＝－1(舍去).设AB＝m，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，可得AC·AB sin ∠BAC＝AB·AD sin ∠BAD＋AC·AD sin ∠CAD，即×3m×＝m×2×＋×3×2×，解得m＝6，即AB＝6，所以S△ABC＝AC·AB sin ∠BAC＝×3×6×＝.(共37张PPT)
第四章
微专题6　三角形中特殊线段的研究
三角函数与解三角形
视角
1
三角形的中线问题
1
【解答】
1
【解答】
(1) 中线长定理(几何形式)：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
【解答】
【解答】
视角
2
三角形的角平分线问题
2
【解析】
　　　　如图，记AB＝c，AC＝b，BC＝a.
【答案】2
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC且交BC于点D.
(1) 角度关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD.
【解答】
【解答】
视角
3
三角形的高线问题
　　　(2025·蚌埠二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C).
(1) 求角A的大小；
3
【解答】
　　　(2025·蚌埠二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C).
3
【解答】
变式3　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1) 求sin A；
【解答】
变式3　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(2) 设AB＝5，求AB边上的高．
【解答】
配套精练
【解析】
C
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】D
(1) 求角A的大小；
【解答】
【解答】
(1) 求角C的大小；
【解答】
【解答】
(1) 求sin C；
【解答】
(2) 设BC＝10，求BC边上的高．
【解答】
(1) 求角B的大小；
【解答】
【解答】
(1) 求角A的大小；
【解答】
【解答】三角形中特殊线段的研究
三角形的中线问题
例1　(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1) 若∠ADC＝，求tan B；
(2) 若b2＋c2＝8，求b，c.
(1) 中线长定理(几何形式)：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
(2) 中线长定理(向量形式)：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则2＝(b2＋c2＋2bc cos A).
变式1　(2025·石家庄三模) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋c cos B＝a.
(1) 求角C的大小；
(2) 若AB＝2，且sin A sin B＝，求AB边上中线CT的长．
三角形的角平分线问题
例2　(2023·全国甲卷理)在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝ ．(请同学们尝试用多种方法解决)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC且交BC于点D.
(1) 角度关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD.
(2) 内角平分线定理：＝＝.
(3) 角平分线长度公式：由等面积法，即S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，得AD＝.
变式2　(2025·宣城期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝3，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值．
三角形的高线问题
例3　(2025·蚌埠二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C).
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝，BC边上的高为，求△ABC的周长．
(1) 设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶.
(2) 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．
变式3　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1) 求sin A；
(2) 设AB＝5，求AB边上的高．
配套精练
1．(2025·烟台、东营一模)在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，则||＝(　 　)
A． B．
C． D．2
2．(2025·武汉调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C＝，c＝6，△ABC的面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的平分线，则CD＝(　 　)
A．　 B．1　　
C． D．
3．(2025·杭州期末)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，若b＋2a cos B＝2c，且a＝，b＝3，则下列结论中错误的是(　 　)
A．A＝ B．AD＝
C．S△ABC＝ D．c＝1
4．(2025·张家口期末)已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足2b(sin B cos C＋cos A)＋c sin 2B＝0，D为BC的中点．
(1) 求角A的大小；
(2) 若·＝－，a＝7，求 AD 的长．
5．(2025·漳州一检)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________．
请在①(a－b)sin (A＋C)＝(a－c)(sin A＋sin C)；②sin cos ＝，这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在横线上，并解答问题．
(1) 求角C的大小；
(2) 若△ABC的面积为5，D为AC的中点，求BD的最小值．
6．(2025·郑州一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝bc，2sin (C－A)＝sin B.
(1) 求sin C；
(2) 设BC＝10，求BC边上的高．
7．(2025·唐山期初)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin 2A＋cos 2A＝2，b＝a.
(1) 求角B的大小；
(2) 若B为锐角，AC边上的高为＋，求△ABC的周长．
8．(2026·潍坊期初)在△ABC中，sin2A＋sin＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 若∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D，且AD＝2，CD＝，求△ABC的面积．

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