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1.4　随机事件的运算
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分
1.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件A=“点数为奇数”，事件B=“点数大于4”，则事件A∩B为(　　)
A.点数为3 B.点数为4
C.点数为5 D.点数为6
2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
3.(多选)下列各组事件中是互斥事件的是(　　)
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
4.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是(　　)
A.至多有2个红球 B.至少有2个黄球
C.都是黄球 D.至多有1个红球
5.某同学参加跳远测试，共有3次机会.用事件Ji(i=1，2，3)表示随机事件“第i(i=1，2，3)次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为(　　)
A.J1∩J2 B.
C.J1∩J2∩ D.∩∩
6.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示“两次点数之和小于10”，事件B表示“两次点数之和能被5整除”，则事件B用样本点表示为(　　)
A.{(5，5)}
B.{(4，6)，(5，5)}
C.{(6，5)，(5，5)}
D.{(4，6)，(6，4)，(5，5)}
7.从装有10个红球和10个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　)
A.至少有一个红球；至少有一个白球
B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球
D.至多有一个红球；都是红球
8.向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“点数为2或4”，事件B=“点数为2或6”，则事件A∪B=“　　　　”.
9.小明在书店随机地选一本书，设事件A=“小明选的书是数学书”，事件B=“小明选的书是中文版的书”，事件C=“小明选的书是2025年或2025年以后出版的书”，则事件“选到一本2025年前出版的中文版的数学书”可记为　　　　.
10.(12分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak表示“甲组有k名女生”，k=0，1，2.
(1)事件A1含有多少个样本点？(4分)
(2)若事件B表示“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？(4分)
(3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系？(4分)
11.(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
下列选项正确的是(　　)
A.A∪B=C B.B∪D是必然事件
C.A∩B=C D.A∩D=C
12.如果事件M与事件N是互斥事件，那么(　　)
A.M∪N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.∪是必然事件
13.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件“取出的是数学或物理或化学书”可记为　　　　.
14.(15分)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C；(3分)
(2)B与E；(4分)
(3)B与D；(4分)
(4)B与C.(4分)
15.设A，B为两事件，则(A∪B)∩(∪)表示(　　)
A.必然事件
B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生
D.A与B不同时发生
16.(多选)如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设A=“甲元件故障”，B=“乙元件故障”，C=“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是(　　)
A.∩ B.∪
C.∩(∪) D. ∪
1.4　随机事件的运算
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分
1.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件A=“点数为奇数”，事件B=“点数大于4”，则事件A∩B为(　　)
A.点数为3 B.点数为4
C.点数为5 D.点数为6
答案　C
解析　由题意，可知A={1，3，5}，B={5，6}，A∩B={5}，即A∩B=“点数为5”.
2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
答案　B
解析　至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.
3.(多选)下列各组事件中是互斥事件的是(　　)
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
答案　ACD
解析　对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，
则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件.
4.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是(　　)
A.至多有2个红球 B.至少有2个黄球
C.都是黄球 D.至多有1个红球
答案　C
解析　由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为1，2，3，得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，即取到的都是黄球，故C正确.
5.某同学参加跳远测试，共有3次机会.用事件Ji(i=1，2，3)表示随机事件“第i(i=1，2，3)次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为(　　)
A.J1∩J2 B.
C.J1∩J2∩ D.∩∩
答案　C
解析　J1∩J2表示前两次测试成绩均及格，故A错误；
表示后两次测试成绩均不及格，故B错误；
J1∩J2∩表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确；
∩∩表示三次测试成绩均不及格，故D错误.
6.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示“两次点数之和小于10”，事件B表示“两次点数之和能被5整除”，则事件B用样本点表示为(　　)
A.{(5，5)}
B.{(4，6)，(5，5)}
C.{(6，5)，(5，5)}
D.{(4，6)，(6，4)，(5，5)}
答案　D
解析　事件用样本点表示的集合为{(5，5)，(6，6)，(4，6)，(6，4)，(5，6)，(6，5)}；
事件B用样本点表示的集合为{(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(4，6)，(6，4)}，
所以B={(4，6)，(6，4)，(5，5)}.
7.从装有10个红球和10个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　)
A.至少有一个红球；至少有一个白球
B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球
D.至多有一个红球；都是红球
答案　B
解析　对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
8.向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“点数为2或4”，事件B=“点数为2或6”，则事件A∪B=“　　　　”.
答案　点数为偶数
解析　事件A=“点数为2或4”，事件B=“点数为2或6”，事件A∪B=“点数为2或4或6”=“点数为偶数”.
9.小明在书店随机地选一本书，设事件A=“小明选的书是数学书”，事件B=“小明选的书是中文版的书”，事件C=“小明选的书是2025年或2025年以后出版的书”，则事件“选到一本2025年前出版的中文版的数学书”可记为　　　　.
答案　A∩B∩
解析　因为A=“选到一本数学书”，B=“选到一本中文版的书”，C=“选到一本2025年或2025年以后出版的书”，所以事件“选到一本2025年前出版的中文版的数学书”可记为A∩B∩.
10.(12分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak表示“甲组有k名女生”，k=0，1，2.
(1)事件A1含有多少个样本点？(4分)
(2)若事件B表示“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？(4分)
(3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系？(4分)
解　(1)用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1表示“甲组有1名女生”，
所以A1={(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含12个样本点.
(2)事件B表示“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，
所以B=A1∪A2.
(3)因为A2与(A0∪A1)是对立事件，
所以=A0∪A1，
所以∪A0=A0∪A1，
所以事件A2与事件∪A0是对立事件.
11.(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
下列选项正确的是(　　)
A.A∪B=C B.B∪D是必然事件
C.A∩B=C D.A∩D=C
答案　AB
解析　对于A选项，事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确；
对于B选项，事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；
对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即A∩B= ，故C错误；
对于D选项，事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不相等，故D错误.
12.如果事件M与事件N是互斥事件，那么(　　)
A.M∪N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.∪是必然事件
答案　D
解析　因为M，N为互斥事件，则有如图所示的两种情况.
无论哪种情况，∪都是必然事件.
13.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件“取出的是数学或物理或化学书”可记为　　　　.
答案　B∪D∪E
解析　由题意可知事件“取出的是数学或物理或化学书”可记为B∪D∪E.
14.(15分)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C；(3分)
(2)B与E；(4分)
(3)B与D；(4分)
(4)B与C.(4分)
解　(1)事件C为“至多订一种报”，故可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与事件E是互斥事件.由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故事件B与事件E是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”有三种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件D“不订甲报”有两种可能：“只订乙报”“一种报也不订”.所以事件B和事件D可能同时发生，故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报”有三种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”有三种可能：“甲、乙两种报都不订”“只订甲报”“只订乙报”.所以事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
15.设A，B为两事件，则(A∪B)∩(∪)表示(　　)
A.必然事件
B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生
D.A与B不同时发生
答案　C
解析　A∪B表示事件A，B至少有1个发生，
∪表示事件A，B至少有一个不发生，
∴(A∪B)∩(∪)表示A与B恰有一个发生.
16.(多选)如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设A=“甲元件故障”，B=“乙元件故障”，C=“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是(　　)
A.∩ B.∪
C.∩(∪) D. ∪
答案　ACD
解析　由题意得，=“甲元件正常”，BC=“乙、丙元件同时故障”，=“乙元件和丙元件至少有一个正常”，故∩表示电路是通路，A正确；
AB=“甲、乙元件同时故障”，=“甲元件和乙元件至少有一个正常”，AC=“甲、丙元件同时故障”，=“甲元件和丙元件至少有一个正常”，∪不能得到甲元件一定正常，故不能表示电路是通路，B错误；
= “甲元件正常”，= “乙元件正常”，= “丙元件正常”，∪=“乙元件和丙元件至少有一个正常”，故∩(∪)表示电路是通路，C正确；
=“甲、乙元件均正常”， =“甲、丙元件均正常”，故 ∪ 表示电路是通路，D正确.

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