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2.1　古典概型的概率计算公式
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共71分
1.下列试验不是古典概型的是(　　)
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B.同时掷两枚骰子，点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
2.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.用2，3，4中的任意一个数作分子，4，6，8中的任意一个数作分母，则可构成不同的数的个数为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
5.古代“五行”学说认为，物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.一个三位数，它的个、十、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{5，6，7，8}中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
02　93　12　25　85　69　68　34　31　45
73　93　28　75　56　35　87　30　11　07
据此估计，该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率为(　　)
A.0.5 B.0.45 C.0.4 D.0.35
8.从1，2，3，4四个整数中依次不放回地随机抽取2个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的数的概率为　　　　　.
9.若非空集合A满足： a∈A，都有6-a∈A，则称集合A具有“对称特征”.已知集合S={1，2，3，4，5}，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为　　　　.
10.(14分)“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出的玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子时，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费.某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置结果互相不受影响.
(1)共有多少种不同的放法？请列举出来；(7分)
(2)求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率.(7分)
11.(多选)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列说法正确的是(　　)
A.事件“a+b=7”发生的概率为
B.事件“a+b=6”发生的概率为
C.事件“a≥2b”发生的概率为
D.事件“a+b是3的倍数”发生的概率为
12.如图，在A，B两点间有6条网线并联，它们通过的信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取3条网线，则选取的3条网线由A到B可通过的信息总量为6的概率是(　　)
A. B. C. D.
13.设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+mx+n=0有实根的概率为　　　　.
14.(15分)一个盒子中有3个绿球，m个红球，这些球除颜色外完全相同.
(1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求m；(6分)
(2)若m=2，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率.(9分)
15.长度分别为1，3，7，9，x(0A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
16.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右跳和向下跳的可能性相等，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.1　古典概型的概率计算公式
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共71分
1.下列试验不是古典概型的是(　　)
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B.同时掷两枚骰子，点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案　C
解析　ABD是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.
2.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为.
3.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　样本点有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个.甲站在中间的样本点包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率P==.
4.用2，3，4中的任意一个数作分子，4，6，8中的任意一个数作分母，则可构成不同的数的个数为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
答案　B
解析　当分子为2时，可构成的数为，，，
当分子为3时，可构成的数为，，，
当分子为4时，可构成的数为1，，，
所以可构成不同的数为，，，，，1，，共7个.
5.古代“五行”学说认为，物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　试验的样本空间Ω={(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}，共10个样本点，由题意可知事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点，故其概率P==.
6.一个三位数，它的个、十、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{5，6，7，8}中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　从集合{5，6，7，8}中取出3个不同的数组成一个三位数共有24个样本点：567，576，657，675，756，765，568，586，658，685，856，865，578，587，758，785，857，875，678，687，768，786，867，876，其中是“凸数”的是576，675，586，685，587，785，687，786，共8个样本点，∴这个三位数是“凸数”的概率为=.
7.某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
02　93　12　25　85　69　68　34　31　45
73　93　28　75　56　35　87　30　11　07
据此估计，该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率为(　　)
A.0.5 B.0.45 C.0.4 D.0.35
答案　B
解析　因为1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心，
所以两次投掷飞镖恰有一次命中靶心表示随机数组中有且只有一个数为1，2，3，4中的一个，
它们分别是02，93，25，45，73，93，28，35，30，共9个，
即满足条件的样本点个数为9，总的样本点个数为20，
所以该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率为=0.45.
8.从1，2，3，4四个整数中依次不放回地随机抽取2个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的数的概率为　　　　　.
答案　
解析　由题意知，设第一次与第二次抽取的数即为(x，y)，
则所有的样本点为
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(4，1)，(3，1)，(2，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)，共12个，
满足x所以满足题意的概率为P==.
9.若非空集合A满足： a∈A，都有6-a∈A，则称集合A具有“对称特征”.已知集合S={1，2，3，4，5}，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为　　　　.
答案　
解析　由集合S={1，2，3，4，5}，可得集合S的非空子集有25-1=31(个)，
其非空子集中，具有“对称特征”的子集有{1，5}，{2，4}，{3}，{1，5，2，4}，{1，5，3}，{2，4，3}，{1，5，2，4，3}，共有7个，
所以选取的集合具有“对称特征”的概率为P=.
10.(14分)“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出的玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子时，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费.某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置结果互相不受影响.
(1)共有多少种不同的放法？请列举出来；(7分)
(2)求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率.(7分)
解　(1)共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶包含的样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1).
(2)设所求事件为A，则A包含有(2，3，1)，(3，1，2)两个样本点，并且每个样本点的发生是等可能的，故P(A)==.
11.(多选)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列说法正确的是(　　)
A.事件“a+b=7”发生的概率为
B.事件“a+b=6”发生的概率为
C.事件“a≥2b”发生的概率为
D.事件“a+b是3的倍数”发生的概率为
答案　AD
解析　由题可知样本空间中样本点的总数为36.
对于A，事件“a+b=7”包含的样本点有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个，
∴事件“a+b=7”发生的概率为=，故A正确；
对于B，事件“a+b=6”包含的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个，
∴事件“a+b=6”发生的概率为，故B错误；
对于C，事件“a≥2b”包含的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，共9个，
∴事件“a≥2b”发生的概率为=，故C错误；
对于D，事件“a+b是3的倍数”包含的样本点有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12个，
∴事件“a+b是3的倍数”发生的概率为=，故D正确.
12.如图，在A，B两点间有6条网线并联，它们通过的信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取3条网线，则选取的3条网线由A到B可通过的信息总量为6的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设这6条网线从上到下分别是a，b，c，d，e，f，任取3条的所有样本点为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20个，“选取的3条网线由A到B可通过的信息总量为6”的样本点为(a，b，f)，(a，c，e)，(a，d，e)，(b，c，e)，(b，d，e)，共5个，所以“选取的3条网线由A到B可通过的信息总量为6”的概率是=.
13.设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+mx+n=0有实根的概率为　　　　.
答案　
解析　先后两次出现的点数中有5的样本点有(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11个，其中使方程x2+mx+n=0有实根的样本点有(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7个.故所求事件的概率为P=.
14.(15分)一个盒子中有3个绿球，m个红球，这些球除颜色外完全相同.
(1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求m；(6分)
(2)若m=2，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率.(9分)
解　(1)从盒子中随机抽取1个球，
抽到红球的概率为=，解得m=6.
(2)设3个绿球分别为A，B，C，2个红球分别为d，e，
采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，
所有的样本点为AB，AC，Ad，Ae，BA，BC，Bd，Be，CA，CB，Cd，Ce，dA，dB，dC，de，eA，eB，eC，ed，共20个，
其中第二次抽到的球为绿球的样本点共有12个，
故第二次抽到的球是绿球的概率为=.
15.长度分别为1，3，7，9，x(0A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案　B
解析　∵1，3，7，9，x的平均数为=，0它们的平均数与中位数相同，
∴当0∵0当3∵3当7≤x<10时，中位数为7，则=7，解得x=15，
∵7≤x<10，∴x=15不符合题意；
综上可得，x=5，
∴这5条线段的长度分别为1，3，5，7，9.
现从中任取3条线段，所有的样本点为(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)，共10个，
其中这3条线段能构成一个三角形的样本点有(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，共3个，
故这3条线段能构成一个三角形的概率为=0.3.
16.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右跳和向下跳的可能性相等，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则所有的样本点为(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(右，下，下)，(下，右，右)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8个，事件“3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”包含的样本点为(下，下，右)，共1个，故所求概率为.

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