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2.2　古典概型的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，则P(A∪B)等于(　　)
A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.8
2.某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是(　　)
A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60
3.从集合{2，4，6，8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
B.若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1
C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1
D.已知事件A发生的概率P(A)=0.3，则它的对立事件发生的概率P()=0.7
对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有P(A)+P(B)=1，但互斥事件不一定对立，故C错误；
对于D，因为事件A发生的概率P(A)=0.3，所以它的对立事件发生的概率P()=1-0.3=0.7，故D正确.
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A. B. C. D.
6.(多选)高一某数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则(　　)
A.恰有一名参赛学生是男生的概率为
B.至少有一名参赛学生是男生的概率为
C.至多有一名参赛学生是男生的概率为
D.两名参赛学生都是男生的概率为
7.在某联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张奖券，分为一等奖、二等奖、三等奖、未中奖四种.从中任取一张，未中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.若中一等奖或二等奖的概率是，则任取一张奖券，中三等奖的概率为(　　)
A. B. C. D.
8.小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为　　　　　.
9.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为.事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件表示事件B的对立事件)发生的概率为　　　　，事件A∪发生的概率为　　　　.
10.(12分)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色.则
(1)求3个矩形颜色都相同的概率；(6分)
(2)求3个矩形颜色都不同的概率.(6分)
11.(多选)口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的2球同色”，事件B=“取出的2球中至少有一个黄球”，事件C=“取出的2球中至少有一个白球”，事件D=“取出的2球不同色”，事件E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列结论不正确的是(　　)
A.P(A)= B.P(B∩C)=
C.P(C∪E)=1 D.P(D)=
12.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率是(　　)
A. B. C. D.
13.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有　　　　人.
14.(14分)抽取某车床生产的8个零件，编号分别为A1，A2，…，A8，测得其直径(单位：cm)分别为1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品.
(1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率；(6分)
(2)从上述一等品的零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.(8分)
15.设一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a，b，c中有两个数字的和等于第三个数字时，称该三位数为“有缘数”，如156，178.若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是　　　　.
16.(多选)素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p，p+2k).其中当k=1时，称(p，p+2)为“孪生素数”，当k=2时，称(p，p+4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p，q(pA.P(A)P(B)=P(C)
B.P(A)+P(B)=P(C)
C.P(A)+P(B)>P(C)
D.P(A)+P(B)2.2　古典概型的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，则P(A∪B)等于(　　)
A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.8
答案　C
解析　因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)=1-P(C)=0.4，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7.
2.某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是(　　)
A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60
答案　A
解析　由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1--0.4=0.14.
3.从集合{2，4，6，8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　从集合{2，4，6，8}中任取两个不同元素的取法有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2，4)，(4，6)，(6，8)，共3种，故这两个元素相差2的概率为.
4.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
B.若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1
C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1
D.已知事件A发生的概率P(A)=0.3，则它的对立事件发生的概率P()=0.7
答案　BD
解析　对于A，甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同学被抽到的概率都是，故A错误；
对于B，由概率的性质可知，0≤P(A)≤1，故B正确；
对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有P(A)+P(B)=1，但互斥事件不一定对立，故C错误；
对于D，因为事件A发生的概率P(A)=0.3，所以它的对立事件发生的概率P()=1-0.3=0.7，故D正确.
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　画出树状图.
由树状图可知共有24个样本点，其中事件“丙不在排头，且甲或乙在排尾”包含8个样本点，所以所求概率为=.
6.(多选)高一某数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则(　　)
A.恰有一名参赛学生是男生的概率为
B.至少有一名参赛学生是男生的概率为
C.至多有一名参赛学生是男生的概率为
D.两名参赛学生都是男生的概率为
答案　AC
解析　3名男生分别记为a，b，c，3名女生分别记为d，e，f，从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，所有样本点为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个.“恰有一名参赛学生是男生”的样本点有ad，ae，af，bd，be，bf，cd，ce，cf，共9个，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为=，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，样本点有de，df，ef，共3个，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1-=，B错；“两名参赛学生都是男生”的样本点有ab，ac，bc，共3个，其概率为=，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1-=，C对.
7.在某联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张奖券，分为一等奖、二等奖、三等奖、未中奖四种.从中任取一张，未中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.若中一等奖或二等奖的概率是，则任取一张奖券，中三等奖的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设任取一张奖券，中一等奖、中二等奖、中三等奖、未中奖分别为事件A，B，C，D，则它们均为互斥事件.由条件可得P(D)=，
则易知P(A)+P(B)+P(C)=，
又P(B∪C)=P(B)+P(C)=，
P(A∪B)=P(A)+P(B)=，
所以P(A)=，P(B)=，P(C)=，
所以任取一张奖券，中三等奖的概率为.
8.小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为　　　　　.
答案　
解析　记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A，B，C，D，则从这四个项目中任选两项的样本点为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个，其中没有选择冰壶的样本点有BC，BD，CD，共3个，所以所求概率为=.
9.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为.事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件表示事件B的对立事件)发生的概率为　　　　，事件A∪发生的概率为　　　　.
答案　　
解析　由题意知，表示“出现大于或等于5的点数”，则P()==，
又P(A)==，
且事件A与事件互斥，故由互斥事件的概率加法公式，
可得P(A∪)=P(A)+P()=+=.
10.(12分)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色.则
(1)求3个矩形颜色都相同的概率；(6分)
(2)求3个矩形颜色都不同的概率.(6分)
解　该事件是古典概型，所有样本点共有27个，如图所示.
(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A所包含的样本点有3个，故P(A)==.
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B所包含的样本点有6个，故P(B)==.
11.(多选)口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的2球同色”，事件B=“取出的2球中至少有一个黄球”，事件C=“取出的2球中至少有一个白球”，事件D=“取出的2球不同色”，事件E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列结论不正确的是(　　)
A.P(A)= B.P(B∩C)=
C.P(C∪E)=1 D.P(D)=
答案　ABD
解析　设红球为a1，白球分别为b1，b2，黄球分别为c1，c2，c3，
其中任取2球的所有样本点有a1b1，a1b2，a1c1，a1c2，a1c3，b1b2，b1c1，b1c2，b1c3，b2c1，b2c2，b2c3，c1c2，c1c3，c2c3，共15个，
事件A所包含的样本点为b1b2，c1c2，c1c3，c2c3，共4个，
所以P(A)=，故A错误；
事件B∩C表示“取到的2球为一个黄球一个白球”，包含的样本点有b1c1，b1c2，b1c3，b2c1，b2c2，b2c3，共6个，所以P(B∩C)==，故B错误；
事件C是取出的2球中含有1个白球或含有2个白球，事件E是取出的2球中含有1个白球或不含有白球，则事件C∪E是必然事件，因此P(C∪E)=1，故C正确；
事件A与D是对立事件，所以P(D)=1-P(A)=，故D错误.
12.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，
∴共含有12个样本点.
函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增，
①当a=0时，f(x)=-2bx，需要满足-2b>0，即b<0，符合条件的只有(0，-1)，即a=0，b=-1，共1个样本点；
②当a≠0时，a>0，需要满足≤1，即b≤a，符合条件的有(1，-1)，(1，1)，(2，-1)，(2，1)，共4个样本点.
∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率P=.
13.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有　　　　人.
答案　120
解析　设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1-=.再由题意，知n-n=12，解得n=120.
14.(14分)抽取某车床生产的8个零件，编号分别为A1，A2，…，A8，测得其直径(单位：cm)分别为1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品.
(1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率；(6分)
(2)从上述一等品的零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.(8分)
解　(1)由所给数据可知，一等品零件共有5个，非一等品零件有3个，直径分别为1.48，1.47，1.53，编号分别为A6，A7，A8，
则从中有放回地依次随机抽取2个，样本空间M={(A6，A6)，(A6，A7)，(A6，A8)，(A7，A6)，(A7，A7)，(A7，A8)，(A8，A6)，(A8，A7)，(A8，A8)}，共9个样本点，
其中不包含A6的样本点有4个，故至少包含一个直径为1.48的零件的概率为1-=.
(2)一等品零件的编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，从这5个一等品零件中不放回地依次随机抽取2个，
样本空间Ω={(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A1)，(A4，A2)，(A4，A3)，(A4，A5)，(A5，A1)，(A5，A2)，(A5，A3)，(A5，A4)}，共20个样本点.
设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B，则B={(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A2)，(A3，A5)，(A4，A1)，(A5，A2)，(A5，A3)}，共8个样本点.
所以P(B)==.
15.设一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a，b，c中有两个数字的和等于第三个数字时，称该三位数为“有缘数”，如156，178.若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是　　　　.
答案　
解析　由题意得，由1，2，3组成的三位数为123，132，213，231，312，321，共6个.
同理，由1，2，4组成的三位数有6个，由1，3，4组成的三位数有6个，由2，3，4组成的三位数有6个，则共可以组成24个三位数.
由题意知，由1，2，3或1，3，4组成的三位数为“有缘数”，共12个，
所以这个三位数为“有缘数”的概率为=.
16.(多选)素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p，p+2k).其中当k=1时，称(p，p+2)为“孪生素数”，当k=2时，称(p，p+4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p，q(pA.P(A)P(B)=P(C)
B.P(A)+P(B)=P(C)
C.P(A)+P(B)>P(C)
D.P(A)+P(B)答案　ABC
解析　由题设，不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，
从中任意取两个不同的素数p，q(p所以共有9+8+7+6+5+4+3+2+1
=45(个)样本点；
A={(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)}，共4个样本点；
B={(3，7)，(7，11)，(13，17)，(19，23)}，共4个样本点；
C={(2，3)，(2，5)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，(7，11)，(11，13)，(13，17)，(17，19)，(19，23)}，共10个样本点，
所以P(A)=P(B)=，P(C)=，
显然P(A)P(B)≠P(C)，P(A)+P(B)

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