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§4　事件的独立性
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示“第一次摸得白球”，A2表示“第二次摸得白球”，则A1与A2是(　　)
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
2.(2025·上海)已知事件A，B相互独立，事件A发生的概率为P(A)=，事件B发生的概率为P(B)=，则事件AB发生的概率P(AB)为(　　)
A. B. C. D.0
3.种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为(　　)
A.pq B.p+q
C.p+q-pq D.p+q-2pq
4.某篮球队队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为(　　)
A. B. C. D.
5.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.(多选)设A，B为两个随机事件，则下列命题正确的是(　　)
A.若A与B对立，则P(AB)=1
B.若A与B互斥，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)=
C.若P()=，P()=，且P(AB)=，则A与B相互独立
D.若A与B相互独立，P(A)=，P(B)=，则P(A)=
7.(多选)将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各掷一次，记事件A=“第一个四面体向下的一面为偶数”；事件B=“第二个四面体向下的一面为奇数”；事件C=“两个四面体向下的一面均为奇数或者均为偶数”.则下列结论正确的是(　　)
A.P(A)= B.P(AB)=
C.P(ABC)= D.P(B)=
8.假设P(A)=0.3，P(B)=0.4，且A与B相互独立，则P(AB)=　　　　　　，P(A∪B)=　　　　　　.
9.三人破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为　　　　.
10.(12分)为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为，乙教师晋级决赛的概率为a.若甲、乙能进入决赛，在决赛中甲、乙两人能胜出的概率分别为和.假设甲、乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.
(1)若甲、乙有且只有一人能晋级决赛的概率为，求a的值；(6分)
(2)在(1)的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.(6分)
11.(多选)在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是(　　)
A.A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为
12.事件A，B，C相互独立，如果P(AB)=，P(C)=，P(AB)=，则P(B)=　　　，P(B)=　　　.
13.甲、乙两名同学为了参加某体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为0.6，0.5，0.7，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为(　　)
A.0.44 B.0.45 C.0.46 D.0.47
14.(14分)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响.
(1)分别计算乙、丙投篮一次各自命中的概率；(4分)
(2)求甲、乙、丙三人各投篮一次且恰有两人命中的概率；(5分)
(3)若乙想命中的概率不低于0.999 9，则乙至少需要投篮多少次？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(5分)
15.(多选)已知某数据库有视频a个，图片b张(a，b∈N且a>b>1).从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是(　　)
A.P(A)=P(B)+P(C)
B.P(A)=P(B)P(C)
C.P()>P(C)+P(B)
D.P(C)16.甲、乙两人玩“剪子包袱锤”游戏，若每局游戏甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7局游戏后停止游戏的概率为(　　)
A. B. C. D.
§4　事件的独立性
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示“第一次摸得白球”，A2表示“第二次摸得白球”，则A1与A2是(　　)
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
答案　A
解析　事件A1是否发生对事件A2的概率没有影响，故A1与A2是相互独立事件.
2.(2025·上海)已知事件A，B相互独立，事件A发生的概率为P(A)=，事件B发生的概率为P(B)=，则事件AB发生的概率P(AB)为(　　)
A. B. C. D.0
答案　B
解析　因为A，B相互独立，故P(AB)=P(A)P(B)=×=.
3.种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为(　　)
A.pq B.p+q
C.p+q-pq D.p+q-2pq
答案　D
解析　恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.
4.某篮球队队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设该队员每次罚球的命中率为p，
则1-p2=，所以p=.
5.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则M与N相互独立，P(M)==，
P(N)==，
则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P(MN)=P(M)P(N)=×=.
6.(多选)设A，B为两个随机事件，则下列命题正确的是(　　)
A.若A与B对立，则P(AB)=1
B.若A与B互斥，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)=
C.若P()=，P()=，且P(AB)=，则A与B相互独立
D.若A与B相互独立，P(A)=，P(B)=，则P(A)=
答案　BD
解析　若A与B对立，则P(AB)=0，故A错误；
若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=，故B正确；
因为P()=，P()=，故P(A)=，P(B)=，故P(A)P(B)=≠P(AB)，故A与B不相互独立，故C错误；
因为P(B)=，所以P()=，而A与B相互独立，故A与相互独立，故P(A)=×=，故D正确.
7.(多选)将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各掷一次，记事件A=“第一个四面体向下的一面为偶数”；事件B=“第二个四面体向下的一面为奇数”；事件C=“两个四面体向下的一面均为奇数或者均为偶数”.则下列结论正确的是(　　)
A.P(A)= B.P(AB)=
C.P(ABC)= D.P(B)=
答案　AB
解析　由题意知P(A)==，故A正确；
∵P(B)==，事件A与B相互独立，
∴P(AB)=×=，故B正确，D错误；
∵事件AB与事件C为互斥事件，
∴P(ABC)=0，故C错误.
8.假设P(A)=0.3，P(B)=0.4，且A与B相互独立，则P(AB)=　　　　　　，P(A∪B)=　　　　　　.
答案　0.12　0.58
解析　P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12.
P(A∪B)=1-P()P()=1-0.7×0.6=0.58.
9.三人破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为　　　　.
答案　
解析　设该填空题被破解为事件A，则未被破解为，
因为三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，
由题知P()=××=××=，
所以P(A)=1-P()=1-=，即该填空题被破解的概率为.
10.(12分)为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为，乙教师晋级决赛的概率为a.若甲、乙能进入决赛，在决赛中甲、乙两人能胜出的概率分别为和.假设甲、乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.
(1)若甲、乙有且只有一人能晋级决赛的概率为，求a的值；(6分)
(2)在(1)的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.(6分)
解　(1)设事件A表示“甲教师晋级决赛”，事件B表示“乙教师晋级决赛”，
由题意可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)=(1-a)+a=，
解得a=.
(2)设事件C为“甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，事件D为“甲能参加市级比赛”，事件E为“乙能参加市级比赛”，
则P(D)=×=，P(E)=×=，
所以P(C)=×+×=.
11.(多选)在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是(　　)
A.A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为
答案　ACD
解析　由题意知，P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=，P(E)=，所以A，B两个盒子串联后畅通的概率为×=，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1-×=1-=，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1-×=1-=，因此C正确；当开关合上时，整个电路畅通的概率为×=，因此D正确.
12.事件A，B，C相互独立，如果P(AB)=，P(C)=，P(AB)=，则P(B)=　　　，P(B)=　　　.
答案　　
解析　∵P(AB)=P(AB)P()=P()=，∴P()=，即P(C)=.
又P(C)=P()·P(C)=，
∴P()=，P(B)=.
又P(AB)=，则P(A)=，
∴P(B)=P()·P(B)=×=.
13.甲、乙两名同学为了参加某体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为0.6，0.5，0.7，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为(　　)
A.0.44 B.0.45 C.0.46 D.0.47
答案　A
解析　记三个项目中，甲获胜分别是事件A，B，C，
则P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(C)=0.7，
所以P()=1-0.6=0.4，P()=1-0.5=0.5，P()=1-0.7=0.3.
由题意知事件“甲恰好在两个项目中战胜乙”为BC∪AC∪AB，
因为BC，AC，AB两两互斥，
所以P(BC∪AC∪AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB).
又各项目的对抗练习结果相互独立，即A，B，C相互独立，
所以P(BC)=P()P(B)P(C)=0.4×0.5×0.7=0.14，P(AC)=P(A)P()P(C)=0.6×0.5×0.7=0.21，
P(AB)=P(A)P(B)P()=0.6×0.5×0.3=0.09，
所以P(BC∪AC∪AB)=0.14+0.21+0.09=0.44.
14.(14分)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响.
(1)分别计算乙、丙投篮一次各自命中的概率；(4分)
(2)求甲、乙、丙三人各投篮一次且恰有两人命中的概率；(5分)
(3)若乙想命中的概率不低于0.999 9，则乙至少需要投篮多少次？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(5分)
解　(1)记甲投篮一次命中为事件A，乙投篮一次命中为事件B，丙投篮一次命中为事件C，
依题意，P(A)=，P(AB)=P(A)P(B)=，
则P(B)=，
又P(BC)=P(B)P(C)=，
则P(C)=，
所以乙投篮一次命中的概率为，丙投篮一次命中的概率为.
(2)记甲、乙、丙三人各投篮一次恰有两人命中为事件D，
则D=AB∪AC∪BC，
则P(D)=P(AB∪AC∪BC)
=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=，
所以甲、乙、丙三人各投篮一次恰有两人命中的概率为.
(3)由题意知，若乙投篮n(n∈N+)次，则至少有一次命中的概率为1-[P()]n=1-，
由1-≥0.999 9，
得≤，
两边取对数得n(lg 2-lg 3)≤-4，
因此n≥≈≈22.7，
则nmin=23，
所以乙至少要投篮23次.
15.(多选)已知某数据库有视频a个，图片b张(a，b∈N且a>b>1).从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是(　　)
A.P(A)=P(B)+P(C)
B.P(A)=P(B)P(C)
C.P()>P(C)+P(B)
D.P(C)答案　BC
解析　显然事件B，C相互独立，且A=BC，
于是P(A)=P(B)P(C)，A错误，B正确；
事件包含“视频甲未入选，图片乙入选”“视频甲入选，图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况，
因此P()=P(C)+P(B)+P( )，
则P()>P(C)+P(B)，C正确；
依题意，P(C)=P()P(C)=·=，P(B)=P(B)P()=·=，而a，b∈N且a>b>1，因此>，即P(C)>P(B)，D错误.
16.甲、乙两人玩“剪子包袱锤”游戏，若每局游戏甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7局游戏后停止游戏的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　记第i局游戏是平局为事件Ai(i=1，2，3，…，7)，
则P(Ai)=1--=，
记第7局游戏后停止游戏为事件A，
则事件A为前3局不是连续平局，第4局不是平局，后3局是连续平局，
即A= A5A6A7，
所以P(A)=××=.

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