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第一节　集合
新课标要求 真题分布
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集． 3．理解集合间的交、并、补的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 2025年 全国Ⅰ卷T2， 全国Ⅱ卷T3
2024年 新高考Ⅰ卷T1
2023年 新高考Ⅰ卷T1， 新高考Ⅱ卷T2
必备知识·助学教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识清单
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：________、________、________．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为________；②不属于，记为 .
(3)集合的表示方法：________、________、Venn图法．
(4)常见数集的记法
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ________ ________ ______ ________ ________
2.集合间的基本关系
关系 文字语言 符号语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) ________
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 ________
相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 ________
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
运算 运算表示法
集合语言 图形语言 记法
并集 ________ ________
交集 ________ ________
补集 ________ ________
【常用结论】
1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
2．A B，A＝A，A＝B， UB UA以及 U A∩( UB)＝ 两两等价．
自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){0，2，1}和{0，1，2}是同一个集合．(　　)
(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}．(　　)
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)
(4){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
2．已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则(　　)
A．1 M B．－1 M
C．{－1，1} M D．{－1，1}∈M
3．(人教A版必修一P14T4改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|24．(人教A版必修一P14T6改编)已知全集U＝＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩
( UB)＝{1，3，5，7}，则集合B＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢”
命题点一　集合的含义与表示
例1 (1)(2026·宣城期末)已知集合A＝{0，4，a2}，B＝{0，4，3a－2}，若A＝B，则a的值是(　　)
A．1或2 B．－1或0
C．1 D．－1
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面利用互异性能顺利地找到解题的切入点；另一方面当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确．
　跟踪训练　(1)(2026·沧州模拟)已知集合A＝{x|x3－8<0}，则(　　)
A．1∈A B．2∈A
C．0 A D．{0，1，2} A
(2)已知集合A＝{1，|a－1|，a＋2}，且2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．3 D．－1或3
命题点二　集合间的基本关系
例2 (链接·2023年新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
C． D．－1
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　真题探源　(源自人教A版必修一P9T5(2))已知集合A＝{x|0学霸笔记：
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合的关系．
(2)根据集合间的关系求参数值(或范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法求解．
易错提醒：在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性．
命题点三　集合的基本运算
考向1　集合的运算
例3 (1)(链接·2025年全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则 UA中元素个数为(　　)
A．0 B．3
C．5 D．8
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
(3)(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}
C．{x|－3[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　真题探源　(1)(源自人教A版必修一P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA， UB.
(2)(源自人教A版必修一P14T1)集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A
学霸笔记：(1)集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可以使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
考向2　利用集合运算求参数
例4 (2026·新余模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A＝B，则实数a＝(　　)
A．0或1或2 B．1或2
C．0或1 D．1
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：利用结论A B A＝A A＝B对两个集合间的关系进行转化是解题的关键．
　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P35T9)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a，使得A＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
提示：请完成课时作业1
第一节　集合
必备知识·助学教材
知识清单
1．(1)确定性　互异性　无序性　(2)①∈　(3)列举法　描述法　(4)N　N*(或N＋)　Z　Q　R
2．A B或B A　AB或BA　A＝B
3．{x|x∈A，或x∈B}　A∪B　{x|x∈A，且x∈B}　A∩B　
{x|x∈U，且x A}　 UA
自主诊断
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，故A错误；－1∈M，元素与集合之间不能用符号 ，故B错误；根据子集的定义，有{－1，1} M，故C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用符号∈，故D错误．故选C.
答案：C
3．解析：∵A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，( RA)∩B＝{x|2答案：{x|x≤2，或x≥10}　{x|24．解析：∵全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，
∴A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
∵A∩( UB)＝{1，3，5，7}，
∴集合A中含有元素1，3，5，7，集合B中不含元素1，3，5，7，
∴B＝{0，2，4，6，8，9，10}．
答案：{0，2，4，6，8，9，10}
考教衔接·活用教材
例1　解析：(1)由题设a2＝3a－2 (a－1)(a－2)＝0，可得a＝1或a＝2，当a＝1时，a2＝3a－2＝1，满足题设；当a＝2时，a2＝3a－2＝4，不符合集合元素的互异性，所以a＝1.故选C.
(2)因为集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则当a＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝，即集合A＝，则a＝0；当a≠0时，由Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1，方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即集合A＝{1}，则a＝1.综上所述，a＝0或a＝1.
答案：(1)C　(2)0或1
跟踪训练　解析：(1)由题可知集合A＝{x|x3－8<0}＝{x|x<2}，所以0∈A，1∈A，2 A，故A正确，BC错误；集合{0，1，2}不是集合A的子集，故D错误．故选A.
(2)因为2∈A，所以分为以下两种情况讨论．①|a－1|＝2 a＝3或－1，当a＝3时，集合A＝{1，2，5}，满足题意；当a＝－1时，集合A＝{1，2，1}，不满足集合的互异性，故舍去．②a＋2＝2 a＝0，此时集合A＝{1，1，2}，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，a＝3.故选C.
答案：(1)A　(2)C
例2　解析：因为A B，则有若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述a＝1.
答案：B
真题探源　解析：如图，
由图可知a≥2.
答案：[2，＋∞)
例3　解析：(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{2，4，6，7，8}， UA中的元素个数为5.故选C.
解析：(2)因为A＝{x解析：(3)由题意得M∪N＝{x|－3答案：(1)C　
答案：(2)A　
答案：(3)C
真题探源　答案：(1)根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}．
(2)因为A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3≤x<4}．
例4　解析：由A∩B＝B，可得B A.若B＝ ，则a＝0成立；若B≠ ，又A＝{1，2}，则＝1或＝2，则a＝2或1.综上可得a＝0或1或2.故选A.
答案：A
跟踪训练　解析：若A∪B＝A，则B A，
∴a＋2＝3或a＋2＝a2，解得a＝－1或1或2.
∵a＝－1或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去，
∴a＝2，
∴存在实数a＝2使得A∪B＝A.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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