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第6章
6.2 直线、射线、线段
题型1 直线、射线、线段 题型2 直线的性质：两点确定一条直线
题型3 线段的性质：两点之间线段最短 题型4 两点间的距离
题型5 比较线段的长短 题型6 线段的和差
题型7 作图—尺规作图的定义
题型1 直线、射线、线段
解｜题｜知｜识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
【典例1】如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：cm）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（　　）
A．3个 B．6个 C．8个 D．10个
【变式1】如图，下列说法正确的是（　　）
A．直线OB和直线BO不是同一条直线
B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OA和射线OB不是同一条射线
D．点A在线段OB上
【变式2】下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　）
A．延长线段AB到C
B．射线BC经过点A
C．点P既在直线a上，也在直线b上
D．射线CD与线段AB没有交点
【变式3】如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线AC；
（2）作直线BD与射线AC相交于点O；
（3）分别连接AB、AD；
（4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 ，理由是 　 　 ．
题型2 直线的性质：两点确定一条直线
解｜题｜知｜识 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
【典例1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【变式1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．以上都不是
【变式2】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是 　 　 ．
【变式3】在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，使得课桌排成整齐一行，体现的数学基本事实是：　 ．
题型3 线段的性质：两点之间线段最短
解｜题｜知｜识 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短．
【典例1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（　　）
A．两点之间直线最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段最短
【变式1】金秋十月，我校校园内色彩斑斓．小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．直线没有端点，向两端无限延伸
B．两点之间，线段最短
C．经过一点有无数条直线
D．两点确定一条直线
【变式2】为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．射线只有一个端点
D．两直线相交只有一个交点
【变式3】黄伯云院士说：“所谓失败，就是做事过程中的一种状态我们做事，就要遇山打洞，逢水架桥，不要轻言放弃．”你能用学过的数学知识，来解释“遇山打洞，逢水架桥”的原因吗？　 　 ．
题型4 两点间的距离
解｜题｜知｜识 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
【典例1】下列说法错误的是（　　）
A．过两点有且只有一条直线
B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离
C．两点之间，线段最短
D．射线AB和射线BA是同一条射线
【变式1】延长线段AB到C，使BCAB，若AC＝15，点D为线段AC的中点，则BD的长为（　　）
A．4.5 B．3.5 C．2.5 D．1.5
【变式2】如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（　　）
A．CD＝AD﹣BC B．CD＝AC﹣DB
C．CDAB D．CDAB﹣DB
【变式3】【新知理解】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”．
【问题解决】如图2，若AB＝18cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ 　 　 cm．
题型5 比较线段的长短
解｜题｜知｜识 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
【典例1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　）
A．OF的长 B．OE的长 C．OD的长 D．OC的长
【变式1】如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　）
A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm
【变式2】用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
①若AM＝16cm，则CD＝　 　 cm；
②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD＝　 　 度．
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
（3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，k，用含有k的式子表示∠COD的度数．（直接写出计算结果）
题型6 线段的和差
解｜题｜知｜识 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，
【典例1】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　）
A．105cm B．20cm
C．105cm或25cm D．105cm或20cm
【变式1】题目：“如图，有公共端点P的两条线段PM，PN组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝2，CE＝5，求线段BC的长．”甲答BC＝6，乙答BC＝12，丙答BC＝14，下列判断正确的是（　　）
A．只有甲的答案正确
B．甲、乙的答案合在一起才正确
C．甲、丙的答案合在一起才正确
D．三人的答案合在一起才正确
【变式2】已知线段AB＝18，点C是AB的中点，点D是直线AB上一点，且，则CD的长为（　　）
A．12 B．6 C．6或12 D．9或12
【变式3】综合与实践
在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．
定义：点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段．
（1）观察判断
如图1，点C为线段AB的“优点”．
①若AC＝6，AC＜BC，则AB＝　 　 ；
②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　 　 BD（填“＝”或“≠”）；
（2）性质探究
如图2，在原点为O的数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4．若点M在点N的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，请直接写出点G表示的数．
题型7 作图—尺规作图的定义
解｜题｜知｜识 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
【典例1】下列作图语句中，正确的是（　　）
A．画直线AB＝6cm
B．延长线段AB到C
C．延长射线OA到B
D．作直线使之经过A，B，C三点
【变式1】下列作图语句正确的是（　　）
A．延长线段AB到C，使AB＝BC
B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF
D．作∠AOB的平分线OC
【变式2】下列语句中表述正确的是（　　）
A．延长直线AB B．延长线段AB
C．作直线AB＝BC D．延长射线OC
如图，下列说法正确的是（　　）
A．点O在线段AB上
B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OB和射线AB是同一条射线
D．图中共有3条线段
如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票．
A．10 B．11 C．20 D．22
下列说法不正确的有（　　）
①绝对值是本身的数是正数；
②符号不同的两个数互为相反数；
③两数相加，和一定大于任何一个加数；
④线段AB和线段BA表示的是同一条线段．
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 　20　 种车票．
画图，平面上有四点，A、B、C、D，根据语句画图．
（1）画直线AB，CD交于点E；
（2）画线段AC、BD相交于F点；
（3）画射线BC．
下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”句中，雨“像细丝”说明（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
下列四个生活中的现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（　　）
A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 　 　 ．
生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　）
A．均用两点之间线段最短来解释
B．均用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　）
A．过一点可以画多条直线
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．连接两点间线段的长度是两点间的距离
如图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 　 　 ．
如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A、B的距离之和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是　 　 ．
下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；
③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有 　 　 ．（填序号）
已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　）
A．ACAB B．AC＝CB C．AB＝2CB D．AC+CB＝AB
如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　）
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．无法确定
下列说法正确的是（　　）
A．连接两点的线段叫做这两点的距离
B．过一点有且只有一条直线
C．若AP＝BP，则点P为线段为AB的中点
D．反向延长射线AB
如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝5，CE＝7，则线段BC的长为 　 　 ．
如图1，OP为一条拉直的细线，长为7cm，A，B两点在OP上，若先握住点B，将OB折向BP，使得OB重叠在BP上，如图2．再从图2的A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段．若这三段的长度由短到长之比为1：2：4，其中以点P为一端的那段细线最长，则OB的长为　 　 cm．
已知线段AB和点P，如果PA+PB＝AB，那么（　　）
A．点P为AB中点
B．点P在线段AB上
C．点P在线段AB外
D．点P在线段AB的延长线上
如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 　 　 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC　 　 BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
综合与探究
【背景知识】
如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
【知识探究】
（1）若AC＝6cm，则EF＝　 　 cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】
（3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
①若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，则∠EOF＝　 　 ．
②试判断∠EOF的大小是否发生变化？如果不变，请确定∠EOF的大小，如果变化，请说明理由．
（1）特例感知：如图1，已知线段MN＝20，AB＝2，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
①若AM＝8，则CD＝　 　 ：（直接填写答案）
②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD．
如图，已知线段AB上有两点C、D，且AC＝BD，M、N分别是线段AC、AD的中点，若AB＝acm，AC＝BD＝bcm，且a、b满足．
（1）求AB、AC的长度．
（2）求线段MN的长度．
有两根木条，一根AB长为60cm，另一根CD长为90cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　）
A．15cm B．75cm
C．15cm或75cm D．以上都不对
已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，M是线段AC的中点，则线段AM的长为　 　 cm．
如图，点C、D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点．求线段CD的长，补全下面过程
（1）求线段CD的长，补全下面过程：
∵AB＝12，AC＝2，
∴BC＝AB﹣AC ＝　 　 ，
∵D为线段BC的中点，
∴BC ＝　 　 ．
（2）若点E是直线AB上一点，且AE＝CD，则线段EB的长为　 　 ．
【概念学习】点C在直线AB上，若a，则称a是点C在直线AB上的“求真值”，记作QZ（A，B）C＝a．
例如，如图，若，则点M在直线AB上的“求真值”是，记作QZ（A，B）M；若，则，故点D在直线AB上的“求真值”是，记作QZ（A，B）D．
【理解与应用】
（1）已知点M在线段AB上，若AB＝5，AM＝2.5，则QZ（A，B）M＝ 　 ；若BM＝7，QZ（A，B）M，则AB＝ 　 ．
（2）如图，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求QZ（A，B）M的值；
②若N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求QZ（A，B）N的值．第6章
6.2 直线、射线、线段
题型1 直线、射线、线段 题型2 直线的性质：两点确定一条直线
题型3 线段的性质：两点之间线段最短 题型4 两点间的距离
题型5 比较线段的长短 题型6 线段的和差
题型7 作图—尺规作图的定义
题型1 直线、射线、线段
解｜题｜知｜识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
【典例1】如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：cm）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（　　）
A．3个 B．6个 C．8个 D．10个
【答案】B
【解答】解：∵图中共有3+2+1＝6条线段，
∴能直接量出6个长度，分别是：1cm，3cm，7cm，2cm，6cm，4cm．
∴用这把直尺能直接量出的不同长度有6个．
故选：B．
【变式1】如图，下列说法正确的是（　　）
A．直线OB和直线BO不是同一条直线
B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OA和射线OB不是同一条射线
D．点A在线段OB上
【答案】D
【解答】解：A．直线OB和直线BO是同一条直线，选项说法错误，不符合题意；
B．直线AB没有端点，选项说法错误，不符合题意；
C．射线OA和射线OB是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；
D．点A在线段OB上，选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【变式2】下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　）
A．延长线段AB到C
B．射线BC经过点A
C．点P既在直线a上，也在直线b上
D．射线CD与线段AB没有交点
【答案】C
【解答】解：A．选项A中的图形用语言描述为延长线段BA到C，因此选项A不符合题意；
B．选项B中的图形用语言描述为点A在射线BC外，即射线BC不过点A，因此选项B不符合题意；
C．选项C中的图形用语言描述为直线a与直线b相交于点P，即点P既在直线a上，也在直线b上，因此选项C符合题意；
D．选项D中的图形用语言描述为射线CD与线段AB相交，因此选项D不符合题意．
故选：C．
【变式3】如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线AC；
（2）作直线BD与射线AC相交于点O；
（3）分别连接AB、AD；
（4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 AB+AD＞BD ，理由是 　两点之间，线段最短　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2）（3）如图所示：
（4）AB+AD＞BD，理由是：两点之间，线段最短．
故答案为：AB+AD＞BD，两点之间线段最短．
题型2 直线的性质：两点确定一条直线
解｜题｜知｜识 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
【典例1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
故选：C．
【变式1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．以上都不是
【答案】B
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：B．
【变式2】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是 　两点确定一条直线　 ．
【答案】两点确定一条直线
【解答】解：∵甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合，
∴甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的，
判断依据是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【变式3】在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，使得课桌排成整齐一行，体现的数学基本事实是：　两点确定一条直线　 ．
【答案】两点确定一条直线．
【解答】解：体现的数学基本事实是：两点确定一条直线的道理．
故答案为：两点确定一条直线．
题型3 线段的性质：两点之间线段最短
解｜题｜知｜识 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短．
【典例1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（　　）
A．两点之间直线最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段最短
【答案】D
【解答】解：能解释这一现象的数学道理是两点之间线段最短．
故选：D．
【变式1】金秋十月，我校校园内色彩斑斓．小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．直线没有端点，向两端无限延伸
B．两点之间，线段最短
C．经过一点有无数条直线
D．两点确定一条直线
【答案】B
【解答】解：数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：B．
【变式2】为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．射线只有一个端点
D．两直线相交只有一个交点
【答案】A
【解答】解：由题意可知：两点确定一条直线，
故选：A．
【变式3】黄伯云院士说：“所谓失败，就是做事过程中的一种状态我们做事，就要遇山打洞，逢水架桥，不要轻言放弃．”你能用学过的数学知识，来解释“遇山打洞，逢水架桥”的原因吗？　两点之间，线段最短　 ．
【答案】两点之间，线段最短．
【解答】解：“遇山打洞，逢水架桥”反映了最短路径，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
题型4 两点间的距离
解｜题｜知｜识 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
【典例1】下列说法错误的是（　　）
A．过两点有且只有一条直线
B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离
C．两点之间，线段最短
D．射线AB和射线BA是同一条射线
【答案】D
【解答】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意；
B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意；
C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意；
D、射线AB与射线BA不是同一条射线，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式1】延长线段AB到C，使BCAB，若AC＝15，点D为线段AC的中点，则BD的长为（　　）
A．4.5 B．3.5 C．2.5 D．1.5
【答案】A
【解答】解：设CB＝x，则AB＝4x，
∴AC＝AB+BC＝x+4x＝5x，
∵AC＝15，
∴x＝3，
∴AB＝12，
∵D是AC的中点，
∴ADAC15＝7.5，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣7.5＝4.5．
故选：A．
【变式2】如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（　　）
A．CD＝AD﹣BC B．CD＝AC﹣DB
C．CDAB D．CDAB﹣DB
【答案】C
【解答】解：∵C是AB的中点，D是BC的中点
∴AC＝BCAB，CD＝BDBC
∵CD＝AD﹣AC
∴CD＝AD﹣BC
故A正确
∵CD＝BC﹣DB
∴CD＝AC﹣DB
故B正确
∵AC＝BCAB，CD＝BDBC
∴CDAB
故C错误
∵CD＝BC﹣DB
∴CDAB﹣DB
故D正确
故选：C．
【变式3】【新知理解】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”．
【问题解决】如图2，若AB＝18cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ 　6或9或12　 cm．
【答案】6或9或12
【解答】解：∵点C在线段AB上，
∴根据“巧点”的定义可知有以下三种情况：
①当点C靠近点A，且BC＝2AC时，如图1所示：
∴点C是线段的“巧点”，
∴AC+BC＝AB＝18cm，
∴3AC＝18cm，
∴AC＝6cm；
②当点C是线段AB的中点时，则AB＝2AC或AB＝2BC，如图2所示：
∴点C是线段的“巧点”，
∴ACAB＝9cm；
③当点C靠近点B，且AC＝2BC时，如图3所示：
∴点C是线段的“巧点”，
∵AC+BC＝AB＝18cm，
∴3BC＝18cm，
∴BC＝6cm，
∴AC＝AB﹣BC＝12cm，
综上所述：当点C是线段AB的巧点，则AC的长为6或9或12cm．
故答案为：6或9或12．
题型5 比较线段的长短
解｜题｜知｜识 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
【典例1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　）
A．OF的长 B．OE的长 C．OD的长 D．OC的长
【答案】A
【解答】解：如图，连接OD，OF，OC，OE，
易知，OF＞OE＞OD＞OC，
∴该同学投掷铅球最好的成绩是OF的长．
故选：A．
【变式1】如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　）
A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm
【答案】C
【解答】解：∵水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．
∴水笔的长度为20.6﹣5.6＝15，水笔的一半＝15÷2＝7.5，
∴水笔的中点位置的刻度约为5.6+7.5＝13.1．
故选：C．
【变式2】用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据用“叠合法”比较两条线段的方法以及各个选项所表达的操作过程可知，
选项C的方法是正确的，
故选：C．
【变式3】（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
①若AM＝16cm，则CD＝　16　 cm；
②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD＝　90　 度．
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
（3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，k，用含有k的式子表示∠COD的度数．（直接写出计算结果）
【答案】（1）①16；②不变，理由详见解答部分；
（2）①90；②∠COD（∠MON+AOB）．理由详见解答部分；
（3）∠COD30°．
【解答】解：（1）①∵MN＝30cm，AB＝2cm，AM＝16cm，
∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝12（cm），
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴ACAM＝8cm，BDBN＝6cm．
∴AC+BD＝14（cm）．
∴CD＝AC+AB+BD＝14+2＝16（cm）．
故答案为：16．
②不变，理由如下：
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴ACAM，BDBN，．
∴AC+BDAMBN（AM+BN）．
又∵MN＝30cm，AB＝2cm，
∴AM+BN＝MN﹣AB＝30﹣2＝28（cm）．
∴AC+BD（AM+BN）＝14（cm）．
∴CD＝AC+AB+BD＝14+2＝16（cm）．
（2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON．
∴∠AOC+∠BOD∠AOM∠BON（∠AOM+∠BON）．
又∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
∴∠AOM+∠BON＝∠MON﹣∠AOB＝120°．
∴∠AOC+∠BOD＝60°．
∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝60°+30°＝90°．
故答案为：90．
②∠COD（∠MON+AOB）．理由如下：
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON．
∴∠AOC+∠BOD∠AOM∠BON（∠AOM+∠BON）．
∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB
（∠AOM+∠BON）+∠AOB
（∠MON﹣∠AOB）+∠AOB．
（∠MON+AOB）．
（3）∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
∴∠AOM+∠BON＝120°，
∵k，
∴∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，
∴∠AOM＝∠MOC+∠AOC＝（1+k）∠AOC，
∠BON＝∠NOD+∠BOD＝（1+k）∠BOD，
∴∠AOC+∠BOD，
∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB30°．
题型6 线段的和差
解｜题｜知｜识 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，
【典例1】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　）
A．105cm B．20cm
C．105cm或25cm D．105cm或20cm
【答案】C
【解答】解：由题知，
①如图所示，
∵M，N分别为AB和CD的中点，
∴AM，AN，
∴MN＝AN﹣AM＝65﹣40＝25（cm）；
②如图所示，
∵M，N分别为AB和CD的中点，
∴BM，BN，
∴MN＝BM+BN＝40+65＝105（cm），
综上所述，MN的长为25cm或105cm．
故选：C．
【变式1】题目：“如图，有公共端点P的两条线段PM，PN组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝2，CE＝5，求线段BC的长．”甲答BC＝6，乙答BC＝12，丙答BC＝14，下列判断正确的是（　　）
A．只有甲的答案正确
B．甲、乙的答案合在一起才正确
C．甲、丙的答案合在一起才正确
D．三人的答案合在一起才正确
【答案】C
【解答】解：∵点E为线段AC的中点，CE＝5，
∴，
∴AC＝10，
如图，当“折中点”D在BC上时，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴BD＝DC+CA，
∵CD＝2，
∴BD＝AC+DC＝10+2＝12，
∴BC＝BD+DC＝12+2＝14；
如图，当“折中点”D在AC上时，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴AD＝DC+CB，
∵CD＝2，
∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2＝8，
∴DC+CB＝8，
∴BC＝8﹣2＝6；
综上所述，BC的长为6或14，
即甲、丙的答案合在一起才正确，
故选：C．
【变式2】已知线段AB＝18，点C是AB的中点，点D是直线AB上一点，且，则CD的长为（　　）
A．12 B．6 C．6或12 D．9或12
【答案】C
【解答】解：∵点C是AB的中点，
∴BC＝AB＝×18＝9，
∵且，
∴BD＝9÷3＝3，
①点D在线段AB上时，CD＝BC﹣BD＝9﹣3＝6，
②点D不在线段AB上时，CD＝BC+BD＝9+3＝12，
故选：C．
【变式3】综合与实践
在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．
定义：点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段．
（1）观察判断
如图1，点C为线段AB的“优点”．
①若AC＝6，AC＜BC，则AB＝　18　 ；
②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　＝　 BD（填“＝”或“≠”）；
（2）性质探究
如图2，在原点为O的数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4．若点M在点N的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，请直接写出点G表示的数．
【答案】（1）①18；②＝；
（2）；
（3）5.5或10．
【解答】解：（1）①∵点C为线段AB的“优点”，AC＜BC，AC＝6，
∴BC＝2AC＝12，
∴AB＝AC+BC＝18，
故答案为：18；
②如图，
∵点D是线段AB的“优点”（不同于点C），
∴AD＝2BD，
∴AB＝AD+BD＝2BD+BD＝3BD＝18，
∴BD＝6，
∴AC＝BD，
故答案为：＝；
（2）由条件可知OF＝4，
当点M在点N左侧时，则MF＝2OM，ON＝2NF，
∴，
∵OF＝OM+MN+NF，
∴；
（3）由条件可知EF＝4﹣1＝3，
线段EF，GF互为“优点”伴侣线段时，有EF＝2GF或GF＝2EF，
当EF＝2GF时，GF＝1.5，
∴点G表示的数为5.5，
当GF＝2EF时，GF＝6，
∴点G表示的数为10，
综上，点G表示的数为5.5或10．
题型7 作图—尺规作图的定义
解｜题｜知｜识 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
【典例1】下列作图语句中，正确的是（　　）
A．画直线AB＝6cm
B．延长线段AB到C
C．延长射线OA到B
D．作直线使之经过A，B，C三点
【答案】B
【解答】解：∵直线无法测量，故选项A错误；
延长线段AB到C是正确的，故选项B正确；
射线OA本身是以点O为端点，向着OA方向延伸，故选项C错误；
如果点A、B、C三点不在同一直线上，则直线不能同时经过这三个点，故选项D错误；
故选：B．
【变式1】下列作图语句正确的是（　　）
A．延长线段AB到C，使AB＝BC
B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF
D．作∠AOB的平分线OC
【答案】D
【解答】解：A、应为：延长线段AB到C，BC＝AB，故本选项错误；
B、射线本身是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；
C、过点A作只能作CD或EF的平行线，CD不一定平行于EF，故本选项错误；
D、作∠AOB的平分线OC，正确．
故选：D．
【变式2】下列语句中表述正确的是（　　）
A．延长直线AB B．延长线段AB
C．作直线AB＝BC D．延长射线OC
【答案】B
【解答】解：A．直线向无穷远延伸，故此选项错误；
B．线段不能延伸，故可以说延长线段AB，故此选项正确；
C．根据直线向无穷远延伸没有长度，故不能说作直线AB＝BC，故此选项错误；
D．根据射线向一端无穷远延伸，故此选项错误．
故选：B．
如图，下列说法正确的是（　　）
A．点O在线段AB上
B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OB和射线AB是同一条射线
D．图中共有3条线段
【答案】D
【解答】解：A、点O在线段AB外，选项说法错误，不符合题意；
B、点B是直线AB的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意；
C、射线OB和射线AB不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；
D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票．
A．10 B．11 C．20 D．22
【答案】C
【解答】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20，
故选：C．
下列说法不正确的有（　　）
①绝对值是本身的数是正数；
②符号不同的两个数互为相反数；
③两数相加，和一定大于任何一个加数；
④线段AB和线段BA表示的是同一条线段．
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【解答】解：①绝对值是本身的数是非负数，故①符合题意；
②符号不同的两个数不一定是互为相反数，故②符合题意；
③两数相加，和不一定大于任何一个加数，故③符合题意；
④线段AB和线段BA表示的是同一条线段，故④不符合题意，
故选：C．
如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 　20　 种车票．
【答案】20
【解答】解：根据题意，这段路线有10条线段，
∴在这段路线上往返行车，需印制10×2＝20种车票，
故答案为：20．
画图，平面上有四点，A、B、C、D，根据语句画图．
（1）画直线AB，CD交于点E；
（2）画线段AC、BD相交于F点；
（3）画射线BC．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）
（2）
（3）
下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧可以利用“两点确定一条直线”来解释，而弯曲公路改直，则可以利用“两点之间线段最短”来解释，所以可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有3个，
故选：C．
“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”句中，雨“像细丝”说明（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
【答案】A
【解答】解：“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”句中，
雨“像细丝”说明了：点动成线．
故选：A．
下列四个生活中的现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】A
【解答】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是“两点确定一条直线”，符合题意；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线，根据是“两点确定一条直线”，符合题意；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设，根据是“两点之间线段最短”，不符合题意；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是“两点之间线段最短”，不符合题意．
故选：A．
如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（　　）
A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】C
【解答】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，
这样做的依据是：两点确定一条直线．
故选：C．
如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 　两点确定一条直线　 ．
【答案】两点确定一条直线
【解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　）
A．均用两点之间线段最短来解释
B．均用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
【答案】D
【解答】解：现象1：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释；
现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，
故选：D．
毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　）
A．过一点可以画多条直线
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．连接两点间线段的长度是两点间的距离
【答案】C
【解答】解：用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短．
故选：C．
如图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 　两点之间，线段最短　 ．
【答案】两点之间，线段最短
【解答】解：小聪设计的理由是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A、B的距离之和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是　两点之间，线段最短　 ．
【答案】两点之间，线段最短
【解答】解：这里用到的数学基本事实是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；
③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有 　③④　 ．（填序号）
【答案】③④
【解答】解：①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释；
③④现象可以用两点之间，线段最短来解释．
故答案为：③④．
已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　）
A．ACAB B．AC＝CB C．AB＝2CB D．AC+CB＝AB
【答案】D
【解答】解：A、ACAB，则点C是线段AB中点；
B、AC＝CB，则点C是线段AB中点；
C、AB＝2CB，则C是线段AB中点；
D、AC+CB＝AB，点C可以是线段AB上任意一点．
故选：D．
如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　）
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．无法确定
【答案】C
【解答】解：由题意可知，C点分两种情况，
①C点在线段AB延长线上，如图1，
AC＝AB+BC＝3+2＝5（cm）；
②C点在线段AB上，如图2，
AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1（cm）．
综合①②A、C两点之间的距离为1cm或5cm．
故选：C．
下列说法正确的是（　　）
A．连接两点的线段叫做这两点的距离
B．过一点有且只有一条直线
C．若AP＝BP，则点P为线段为AB的中点
D．反向延长射线AB
【答案】D
【解答】解：对于选项A，
∵连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，
∴该选项不正确，不符合题意；
对于选项B，
∵过两点有且只有一条直线，过一点可以画无数条直线，
∴该选项不正确，不符合题意；
对于选项C，
∵AP＝BP，
∴当点P在线段AB上时，则点P是线段为AB的中点，当点P不在线段AB上时，则点P不是线段为AB的中点，
∴该选项不正确，不符合题意；
对于选项D，
∵反向延长射线AB 正确，
∴该选项符合题意．
故选：D．
如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝5，CE＝7，则线段BC的长为 　24或4　 ．
【答案】24或4
【解答】解：根据题意分以下两种情况：
①
此时BC＝CD+BD＝CD+（AC+CD）＝CD+（2CE+CD）＝24；
②
此时BC＝（BC+CD）﹣CD＝AD﹣CD＝CE+CE﹣CD﹣CD＝4；
故答案为：24或4．
如图1，OP为一条拉直的细线，长为7cm，A，B两点在OP上，若先握住点B，将OB折向BP，使得OB重叠在BP上，如图2．再从图2的A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段．若这三段的长度由短到长之比为1：2：4，其中以点P为一端的那段细线最长，则OB的长为　2或2.5　 cm．
【答案】2或2.5
【解答】解：由题意可知剪断后的三段可以表示为OA、2AB、PB﹣AB，
而这三段的长度由短到长之比为1：2：4，于是可设三段分别为m，2m，4m
∵OA+2AB+PB﹣AB＝OP＝7
即m+2m+4m＝7
∴m＝1
∴剪断后的三条线段的长分别为1cm，2cm，4cm
又∵以点P为一端的那段细线最长
∴PB﹣AB＝4，于是分类
①若OA＝1，则2AB＝2，PB﹣AB＝4
∴OA＝AB＝1，PB＝5
此时OB＝2
②若2AB＝1，则OA＝2，PB﹣AB＝4
∴OA＝2，AB＝0.5，PB＝4.5
此时OB＝2.5
故答案为2或2.5．
已知线段AB和点P，如果PA+PB＝AB，那么（　　）
A．点P为AB中点
B．点P在线段AB上
C．点P在线段AB外
D．点P在线段AB的延长线上
【答案】B
【解答】解：如图：
∵PA+PB＝AB，
∴点P在线段AB上．
故选：B．
如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 　6　 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC　＝　 BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
【答案】（1）6；（2）①＝，②20．
【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，
故答案为：6．
（2）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
故答案为：＝．
②∵BD＝4AB，AB＝CD，
∴BC＝3AB，
∵BC＝12，
∴AB＝4，
∴AD＝AB+BD
＝4+4×4
＝20（cm），
综合与探究
【背景知识】
如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
【知识探究】
（1）若AC＝6cm，则EF＝　12　 cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】
（3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
①若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，则∠EOF＝　90°　 ．
②试判断∠EOF的大小是否发生变化？如果不变，请确定∠EOF的大小，如果变化，请说明理由．
【答案】（1）12；
（2）EF的长度不变，EF＝12cm，EF的长度不变，EF＝12cm，
∵，．
∴EF＝EC+CD+DF
＝12（cm）；
（3）①90°；②∠EOF的大小不会变化，．
【解答】解：（1）∵AC＝6cm，AB＝20cm，CD＝4cm，
∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝10（cm），
∵，．
∴EF＝EC+DF+CD＝3+5+4＝12（cm），
故答案为：12；
（2）EF的长度不变，EF＝12cm，
∵，．
∴EF＝EC+CD+DF
＝12（cm）；
（3）①，．
∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF
∵∠COD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠BOD
∴
＝90°，
故答案为：90°；
②∠EOF的大小不会变化，
由①知，
∴∠EOF的大小不会变化，且．
（1）特例感知：如图1，已知线段MN＝20，AB＝2，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
①若AM＝8，则CD＝　11　 ：（直接填写答案）
②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD．
【答案】（1）11；
（2）不变，CD＝11，理由详见解答；
（3）90°．
【解答】解：（1）∵MN＝20，AB＝2，AM＝8，
∴BN＝20﹣8﹣2＝10，
∵点D是BD的中点，点C是AM的中点，
∴BD＝DNBN＝5，MC＝ACAM＝4，
∴CD＝CA+AB+BD＝4+2+5＝11，
故答案为：11；
（2）CD的长不会发生改变，CD＝11，
∵点D是BD的中点，点C是AM的中点，
∴BD＝DNBN，MC＝ACAM，
∴CD＝CA+AB+BD
AMBN+AB
（AM+BN）+AB
（MN﹣AB）+AB
（MN+AB）
（20+2）
＝11；
（3）∵OC是∠AOM的平分线，OD是∠BON的平分线，
∴∠COM＝∠AOC∠AOM，∠BOD＝∠DON∠BON，
∴∠COD＝∠COA+∠AOB+∠BOD
∠AOM∠BON+∠AOB
（∠AOM+∠BON）+∠AOB
（∠MON﹣∠AOB）+∠AOB
（∠MON+∠AOB）
（150°+30°）
＝90°．
如图，已知线段AB上有两点C、D，且AC＝BD，M、N分别是线段AC、AD的中点，若AB＝acm，AC＝BD＝bcm，且a、b满足．
（1）求AB、AC的长度．
（2）求线段MN的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可知：
（a﹣10）2＝0，|4|＝0，
∴a＝10，b＝8，
∴AB＝10cm，AC＝8cm；
（2）∵BD＝AC＝8cm，
∴AD＝AB﹣BD＝2cm，
又∵M、N是AC、AD的中点，
∴AM＝4cm，AN＝1cm．
∴MN＝AM﹣AN＝3cm．
有两根木条，一根AB长为60cm，另一根CD长为90cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　）
A．15cm B．75cm
C．15cm或75cm D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：由题意，∵M，N分别是AB、CD的中点，AB＝60cm，CD＝90cm，
∴，，
当点A与点C重合时，
∴MN＝CN﹣AM＝45﹣30＝15（cm）；
当点A与点D重合时，
∴MN＝DN+AM＝45+30＝75（cm），
故选：C．
已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，M是线段AC的中点，则线段AM的长为　3或7　 cm．
【答案】3或7．
【解答】解：①当点C在线段AB上时，如图，
∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6（cm）．
∵点M是AC的中点，
∴AMAC＝3（cm）；
②当点C在线段AB的延长线时，如图，
∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB+BC＝10+4＝14（cm），
∵点M是AC的中点，
∴AMAC＝7（cm）．
综上，线段AM的长是3cm或7cm．
故答案为：3或cm．
如图，点C、D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点．求线段CD的长，补全下面过程
（1）求线段CD的长，补全下面过程：
∵AB＝12，AC＝2，
∴BC＝AB﹣AC ＝　10　 ，
∵D为线段BC的中点，
∴BC ＝　5　 ．
（2）若点E是直线AB上一点，且AE＝CD，则线段EB的长为　17或7　 ．
【答案】（1）AC，10，BC，5；
（2）17或7．
【解答】解：（1）∵AB＝12，AC＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝10，
∵D为线段BC的中点，
∴；
故答案为：AC，10，BC，5；
（2）∵AE＝CD，CD＝5，
∴AE＝5，
当点E在点A左边时，
BE＝AB+AE＝12+5＝17；
当点E在点A右边时，
BE＝AB﹣AE＝12﹣5＝7，
综上所述，BE的长为17或7．
故答案为：17或7．
【概念学习】点C在直线AB上，若a，则称a是点C在直线AB上的“求真值”，记作QZ（A，B）C＝a．
例如，如图，若，则点M在直线AB上的“求真值”是，记作QZ（A，B）M；若，则，故点D在直线AB上的“求真值”是，记作QZ（A，B）D．
【理解与应用】
（1）已知点M在线段AB上，若AB＝5，AM＝2.5，则QZ（A，B）M＝　　 ；若BM＝7，QZ（A，B）M，则AB＝　　 ．
（2）如图，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求QZ（A，B）M的值；
②若N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求QZ（A，B）N的值．
【答案】（1），；
（2）①；②或．
【解答】解：（1）点C在直线AB上，若，则称a是点C在直线AB上的“求真值”，记作QZ（A，B）C＝a．则：
∵AB＝5，AM＝2.5，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）①设运动时间为t秒，
∴CM＝t，DB＝3t，
∴MD＝BM﹣DB＝BM﹣3t，AC＝AM﹣CM＝AM﹣t，
∵MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3（AM﹣t），
∴BM＝3AM，
∴AB＝AM+BM＝4AM，
∴，
∴．
②若N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，
当点N在线段AB上时，如图：
∵AN﹣BN＝MN，
∴
∴，
∴，
当点N在线段AB的延长线上时，如图：
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB，
∴MN＝AB，
∴，
∴，
∴．
综上：或．

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