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第6章
6.3 角
题型1 角的概念 题型2 钟面角
题型3 方向角 题型4 度分秒的换算
题型5 角平分线的定义 题型6 角的计算
题型7 余角和补角 题型8 角的大小比较
题型1 角的概念
解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
【典例1】下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
【变式1】下列说法与如图所示的几何图形相符的是（　　）
A．点D在线段CB的延长线上
B．∠1可以表示成∠C
C．射线BD与射线CD表示同一条射线
D．∠1+∠ACD＝180°
【答案】D
【解答】解：A、点D在线段BC的延长线上，所以原说法错误，故此选项不符合题意；
B、∠1不可以表示成∠C，所以原说法错误，故此选项不符合题意；
C、射线BD与射线CD是两条射线，所以原说法错误，故此选项不符合题意；
D、∠1+∠ACD＝180°，所以原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式2】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种表示方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图中的∠1不能用∠O表示，但可以用∠AOB表示，故本选项不符合题意；
B、图中的∠1不可以用∠AOB和∠O表示，故本选项不符合题意；
C、图中的∠1不可以用∠AOB和∠O表示，故本选项不符合题意；
D、图中的∠1可以用∠AOB和∠O表示，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式3】如图，∠AOB的度数可能为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：
∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝125°﹣65°＝60°，
故选：C．
题型2 钟面角
解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
【典例1】如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（　　）
A．75° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【解答】解：10点（10分），再过20分钟就是10点3（0分），
30°×（4）＝135°，
故选：C．
【变式1】当时钟指向9点30分时，时针与分针的夹角度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【解答】解：9：30时，时针与分针所夹角度是30°105°．
故选：D．
【变式2】钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（　　）
A．110° B．75° C．105° D．90°
【答案】B
【解答】解：由题意得：
2×30°30°
＝60°+15°
＝75°，
∴钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为75°．
故选：B．
【变式3】下列说法中正确的是（　　）
A．3时30分，时针与分针的夹角是90°
B．6时30分，时针与分针重合
C．8时45分，时针与分针的夹角是30°
D．9时整，时针与分针的夹角是90°
【答案】D
【解答】解：A、3时30分，时针与分针的夹角是75°，故A不符合题意；
B、6时30分，时针与分针不重合，故B不符合题意；
C、8时45分，时针与分针的夹角是7.5°，故C不符合题意；
D、9时整，时针与分针的夹角是90°，故D符合题意；
故选：D．
题型3 方向角
解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
【典例1】如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（　　）方向．
A．南偏东47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．北偏西47°
【答案】D
【解答】解：由题意得：
90°﹣43°＝47°，
∴B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的北偏西47°方向，
故选：D．
【变式1】如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是（　　）
A．92° B．98° C．68° D．82°
【答案】D
【解答】解：∵OA与y轴正半轴夹角为60°，OB与y轴负半轴夹角为38°，南北方向可看作是平角，
∴∠AOB＝180°﹣60°﹣38°＝82°；
故选：D．
【变式2】如图，一艘轮船在大海中航行，在点O处发现灯塔A在北偏西60°方向，灯塔B在南偏东30°的方向，则下列结论错误的是（　　）
A．∠POB与∠AOM互为补角
B．OC平分∠AOB
C．图中以OA为边的角有5个
D．∠BOM＞∠COQ＞∠AON
【答案】C
【解答】解：由题意可知：∠POB＝120°，∠AOM＝60°，
∴∠POB与∠AOM互为补角，故选项A正确，不符合题意；
由题意可知：∠AOC＝75°，∠BOC＝75°，
∴OC平分∠AOB，故选项B正确，不符合题意；
∵图中以OA为边的角（小于180度）有6个，故选项C错误，符合题意；
由题意可知：∠BOM＝150°，∠COQ＝135°，∠AON＝120°，
∴∠BOM＞∠COQ＞∠AON，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【变式3】如图是学校O、小敏家A、小凯家B的位置示意图，下列表述正确的是（　　）
A．小敏家A在学校O北偏东60°的方向，距离2km处
B．小凯家B在学校O北偏东20°的方向，距离3km处
C．学校O在小凯家B南偏西20°的方向，距离3km处
D．学校O在小敏家A南偏西30°的方向，距离2km处
【答案】D
【解答】解：A．小敏家A在学校O北偏东30°的方向，距离2km处，故不正确；
B．小凯家B在学校O北偏东70°的方向，距离3km处，故不正确；
C．学校O在小凯家B南偏西70°的方向，距离3km处，故不正确；
D．学校O在小敏家A南偏西30°的方向，距离2km处，故正确；
故选：D．
题型4 度分秒的换算
解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
【典例1】某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题数是（　　）
3.8963（精确到百分位）≈3.90 的系数是，次数是4 比较大小：38°15′＝38.15° 3a2b与﹣ab2是同类项
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
【答案】B
【解答】解：3.8963（精确到百分位）≈3.90，故正确；
的系数是，次数是1+3＝4，故正确；
38°15′＝38.25°≠38.15°，故错误；
3a2b中a指数为2，b指数为1，﹣ab2中a指数为1，b指数为2，指数不同，不是同类项，故错误；
综上，做对题数为2道．
故选：B．
【变式1】计算：2400'＝（　　）
A．24° B．40° C．400° D．144000°
【答案】B
【解答】解：2400′＝（）°＝40°．
故选：B．
【变式2】如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（　　）
A．27°40′ B．62°20′ C．57°40′ D．58°20
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；
故选：C．
【变式3】已知∠A＝30°45′，∠B＝30.45°，则∠A　＞　 ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＞
【解答】解：∵∠A＝30°45′＝30.75°，∠B＝30.45°，
30.75°＞30.45°，
∴∠A＞∠B．
故答案为：＞．
题型5 角平分线的定义
解｜题｜知｜识 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
【典例1】定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如：∠α＝100°，∠β＝40°，|∠α﹣∠β|＝60°，则∠α和∠β互为“优角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“优角”的共有（　　）
A．6对 B．7对 C．8对 D．9对
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝60°，
∴∠AOB﹣∠AOC＝60°，∠AOB﹣∠BOC＝60°，
∴∠AOB与∠AOC互为“优角”，∠AOB与∠BOC互为“优角”，
又∵∠EOF＝60°，
∴∠AOB﹣∠EOF＝60°，
∴∠AOB与∠EOF互为“优角”，
∵∠AOC＝∠EOF＝60°，
∴∠AOF﹣∠AOE＝∠EOF＝60°，∠AOF﹣∠COF＝∠AOC＝60°，
∴∠AOF与∠AOE互为“优角”，∠AOF与∠COF互为“优角”，
∵∠BOC＝∠EOF＝60°，
∴∠BOE﹣∠COE＝∠BOC＝60°，∠BOE﹣∠BOF＝∠EOF＝60°，
∴∠BOE与∠COE互为“优角”，∠BOE与∠BOF互为“优角”，
综上所述：图中互为“优角”的共有7对．
故选：B．
【变式1】下列说法：其中正确的说法是（　　）
①单项式的次数是6；
②已知∠AOB为锐角，如果∠AOP∠AOB，那么射线OP是∠AOB的平分线；
③2时40分，时针与分针的夹角为160°；
④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【解答】解：单项式的次数是2+3＝5，故①不符合题意；
∵∠AOB为锐角，，且OP在∠AOB的内部，
∴射线OP是∠AOB的平分线；故②不符合题意；
∵2时4（0分），时针与分针的夹角为：，故③符合题意；
∵从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得：1+2+3+4+5+6＝21（个）锐角，故④符合题意；
故选：B．
【变式2】对于如图所示的角，描述错误的是（　　）
A．∠α与∠AOB表示同一个角
B．若OB是∠AOC的平分线，则
C．∠BOC＝∠AOC﹣∠α
D．∠AOC可以用∠O表示
【答案】D
【解答】解：A、由图可知：∠α与∠AOB表示同一个角，说法正确，故A不符合题意；
B、由角平分线的定义可得：若OB是∠AOC的平分线，则，说法正确，故B不符合题意；
C、由图可知：∠BOC＝∠AOC﹣∠α，说法正确，故C不符合题意；
D、当一个顶点处有两个或两个以上角时，不能用顶点的大写字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，说法错误，故D符合题意．
故选：D．
【变式3】如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON平分∠BOC，已知∠AOC＝82°，那么∠MON的大小等于　41　 °．
【答案】41．
【解答】解：∵ON平分∠BOC，
∴∠CON＝∠BON，
∴∠MOB＝∠MOC+∠BOC＝2∠CON+∠MOC，
∵M是∠AOB的平分线，
∴∠AOM＝∠BOM＝2∠CON+∠MOC，
∴2∠CON+∠MOC+∠MOC＝2（∠CON+∠MOC）＝∠AOC＝∠AOM+∠MOC，
∴2（∠CON+∠MOC）＝82°，
∴∠CON+∠MOC＝41°，
∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝41°，
故答案为：41．
题型6 角的计算
解｜题｜知｜识 1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
【典例1】如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是（　　）
A．18° B．30° C．36° D．20°
【答案】A
【解答】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG＝∠GDF，
∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，
∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，
∴∠EDF＝∠GDF＝18°．
故选：A．
【变式1】借助一副三角尺不能画出的角是（　　）
A．95° B．105° C．120° D．135°
【答案】A
【解答】解：∵一副三角板的度数分别是：30°，60°，90°和45°，45°，90°，
∴60°+45°＝105°，30°+90°＝120°，45°+90＝135°，
因此可以拼出105°，120°，135°的角，
故选：A．
【变式2】已知∠AOB＝120°，OC为∠AOB的角平分线，过点O作射线OD，若∠AOD＝3∠BOD，则∠COD的角度是（　　）
A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°
【答案】C
【解答】解：如图1所示，当OD在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝120°，∠AOD＝3∠BOD，
∴，
∵OC为∠AOB的角平分线，
∴，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝30°；
如图2所示，当OD在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝120°，∠AOD＝3∠BOD，
∴，
∵OC为∠AOB的角平分线，
∴，
∴∠COD＝∠BOC+∠BOD＝120°；
综上所述，∠COD的角度是30度或120度，
故选C．
【变式3】已知直线AB上有一点O，射线OC和射线OD在直线AB的同侧．若∠BOC＝56°，∠COD＝100°，则∠BOC与∠AOD的平分线的夹角的度数为　50°或140°　 ．
【答案】50°或140°．
【解答】点O在线段AB之间时，设OE平分∠BOC，OF平分∠AOD，
如下图：
∵∠AOB是平角，即∠AOB＝180°，
∠BOC＝56°，∠COD＝100°，
∠BOD＝∠BOC+∠COD＝56°+100°＝156°，
∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝180°﹣156°＝24°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵OF平分∠AOD，
∴，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOE＝180°﹣12°﹣28°＝140°；
点O在线段AB外部时，
设OE平分∠BOC，OF平分∠AOD，
如下图：
∵∠BOC＝56°，∠COD＝100°，
∴∠AOD＝∠BOC+∠COD＝56°+100°＝156°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵OF平分∠AOD，
∴，
结合图形的角度关系，可知，
∠EOF＝∠AOF﹣∠BOE＝78°﹣28°＝50°；
故答案为：∠BOC与∠AOD的平分线的夹角的度数为50°或140°．
题型7 余角和补角
解｜题｜知｜识 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
【典例1】如图，已知∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一条直线上，则∠2的度数为（　　）
A．102° B．118° C．122° D．62°
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝28°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣28°＝62°，
∵点B、O、D在同一条直线上，
∴∠2＝180°﹣62°＝118°，
故选：B．
【变式1】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则∠BOC等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160°
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣160°＝20°．
故选：A．
【变式2】如图，∠AOB，∠COD都是以O为顶点的直角，能解释∠AOC＝∠BOD的理由是（　　）
A．同角的余角相等 B．角平分线的定义
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOC和∠BOD都是∠BOC的余角，
∴∠AOC＝∠BOD．
故选：A．
【变式3】如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项符合题意；
B、∠α＝∠β，但∠α与∠β不一定互余，故本选项不合题意；
C、∠α＝∠β，但∠α与∠β不互余，故本选项不合题意；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项不合题意；
故选：A．
题型8 角的大小比较
解｜题｜知｜识 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′．
【典例1】如图，利用带60°角的三角板比较∠A和∠B的大小，下列结论正确的是（　　）
A．∠A＞∠B B．∠A＝∠B C．∠A＜∠B D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵利用带60°角的三角板比较∠A和∠B的大小，
∴∠B＜60°，∠A＞60°，
∴∠A＞∠B．
故选：A．
【变式1】如图，一副三角尺按如下四种不同的方式摆放，其中，∠α≠∠β的图形的选项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于选项A，∠α＝180°﹣45°＝135°，∠β＝180°﹣45°＝135°，
∴∠α＝∠β，
故选项A不符合题意；
对于选项B，∠α＝45°，∠β＝45°，
∴∠α＝∠β，
故选项B不符合题意；
对于选项C，∠α＝120°，∠α＝60°，
∴∠α≠∠β
故选项C符合题意；
对于选项D，如图所示：
∵∠α+∠1＝90°，∠β+∠1＝90°，
∴∠α＝∠β，
故选项D不符合题意．
故选：C．
【变式2】比较∠CAB与∠DAB的大小，把它们的顶点A和边AB重合，把它们的另一边AC和AD放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则（　　）
A．AD落在∠CAB的内部 B．AD落在∠CAB的外部
C．AC和AD重合 D．不能确定AD的位置
【答案】A
【解答】解：根据题意得，AD落在∠CAB的内部，
故选：A．
【变式3】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠COD　＜　 ∠AOB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜．
【解答】解：如图所示，取格点E，作射线OE，则∠AOB＝∠COE，
由图可得，∠COE＞∠COD，
∴∠COD＜∠AOB．
故答案为：＜．
下列说法正确的是（　　）
A．联结两点的线段，叫做两点间的距离
B．将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点
C．两条射线组成的图形叫做角
D．若AO＝BO，则O是AB的中点
【答案】B
【解答】解：A．联结两点的线段长度叫做两点间的距离，故A说法错误，那么A不符合题意．
B．根据线段中点的定义，将一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点，故B正确，那么B符合题意．
C．根据角的定义，两条具有公共顶点的射线组成的图形叫做角，故C错误，那么C不符合题意．
D．根据线段中点的定义，只有当O在线段AB上时，O才是AB的中点，故D错误，那么D不符合题意．
故选：B．
如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝23°，则∠2的度数为（　　）
A．67° B．107° C．110° D．113°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠1＝23°，
∴∠BOC＝90°﹣23°＝67°，
∵点B，O，D在同一直线上，
∴∠BOD＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣67°＝113°．
故选：D．
10点15分时，时针和分针的较小夹角是 　142.5°　 ．
【答案】142.5°．
【解答】解：由题意得：5×30°﹣15×0.5°
＝150°﹣7.5°
＝142.5°，
∴10点15分时，时针和分针的较小夹角是142.5°，
故答案为：142.5°．
河南登封“观星台”是我国最古老的天文台．在观星台的顶上可以看到一件日晷，石制的圆盘南高北低，平行于赤道面，由铜制的指针垂直穿过圆盘中心．圆盘等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰．表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为　30　 °．
【答案】30．
【解答】解：表示每个时辰扇形对应的圆心角度数为360°÷12＝30°．
故答案为：30．
在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）
A．69° B．111° C．141° D．159°
【答案】C
【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣54°＝36°，
∠AOB＝36°+90°+15°＝141°，
故选：C．
如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东16°方向，C处在B处的北偏东72°的方向，求从C观测A、B两处的视角∠ACB的度数是（　　）
A．72° B．82° C．88° D．92°
【答案】D
【解答】解：由题意得：∠BAM＝42°，∠MAC＝16°，∠NBC＝72°，
∵AM∥BN，
∴∠NBA＝∠BAM＝42°，
∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣16°﹣42°＝92°，
故选：D．
人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为AB，BC．若∠2＝53°17′，则∠1的度数为　36°43′　 ．
【答案】36°43′．
【解答】解：∠1＝90°﹣∠2
＝90°﹣53°17′
＝36°43′．
故答案为：36°43′．
比较大小：52°15′　＞　 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【解答】解：∵52.15°＝52°+0.15×60'＝52°9'，
∴52°15'＞52°9'，
∴52°15'＞52.15°．
故答案为：＞．
如图，点O为直线AB上一点，∠COD为直角，OE平分∠AOC，OF平分∠COB，OG平分∠BOD，则∠EOG是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】D
【解答】解：∵O在直线AB上，
∴∠AOC+∠COB＝180°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠COB，
∴，
∴∠EOF＝90°，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°﹣∠AOC，
∴，
∴∠EOG＝∠EOF+∠FOG＝90°+45°＝135°．
故选：D．
下列说法中正确的有（　　）
①绝对值相等的两个有理数相等；
②若a，b互为相反数，则1；
⑧有理数分为正数和负数；
④若∠AOC＝2∠BOC，则OB是∠AOC的平分线．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】D
【解答】解：①绝对值相等的两个有理数不一定相等，故原说法错误；
②若a，b互为相反数，a＝b＝0，则没有意义，故原说法错误；
③有理数分为正数、负数和0，故原说法错误；
④若∠AOC＝2∠BOC，则OB不一定是∠AOC的平分线，故原说法错误．
说法中正确的有0个．
故选：D．
将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠B'AD'＝4°，则∠EAF的度数为 　43°　 ．
【答案】43°．
【解答】解：由翻折的性质可知，∠DAF＝∠FAD'，∠BAE＝∠B'AE，
设∠DAF＝x°，
∵∠B'AD'＝4°，
∴∠FAB'＝x°﹣4°，
即∠DAB'＝2x°﹣4°，
∴∠EAB'＝[90°﹣（2x﹣4）°]÷2＝45°﹣x°+2°，
∵∠FAB'+∠EAB'＝∠EAF，
∴∠EAF＝45°﹣x°+2+x°﹣4°＝43°．
故答案为：43°．
如图，一束光线AO照射到玻璃表面DE时，发生了折射和反射现象，已知∠AOK＝∠BOK＝45°，∠KOE＝90°，∠EOC＝70°，则反射光线与折射光线形成的∠BOC的度数为　115°　 ．
【答案】115°．
【解答】解：∵∠AOK＝∠BOK＝45°，∠KOE＝90°，∴∠BOE＝∠KOE﹣∠BOK＝45°，
∵∠EOC＝70°，
∴∠BOC＝∠BOE+∠EOC＝45°+70°＝115°，
∴反射光线与折射光线形成的∠BOC的度数为115°．
故答案为：115°．
如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝180°﹣∠3
C．∠1＝90°+∠3 D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°
∴∠1＝180°﹣∠2
又∵∠2+∠3＝90°
∴∠3＝90°﹣∠2
∴∠1﹣∠3＝90°，即∠1＝90°+∠3．
故选：C．
如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝25°20′，则∠2＝　55°20′　 ．
【答案】55°20′
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝25°20'，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠1
＝60°﹣25°20′
＝59°60′﹣25°20′
＝34°40′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝∠EAD﹣∠EAC
＝90°﹣34°40′
＝89°60′﹣34°40′
＝55°20′，
故答案为：55°20′．
如图，在同一平面内有任意四个点A、B、C、D．
（1）按要求补充图形：画出直线AB、射线BC、BD，连接DC；
（2）若小明在（1）的基础上测量∠ABD＝61°42′15″，∠CBD＝15°30'，求∠ABC的度数；
（3）若（1）（2）基础上，小亮又测量∠BDC＝15.5°，比较∠BDC与∠CBD的大小关系．
【答案】（1）见解答过程；
（2）77°12′15″；
（3）∠BDC＝∠CBD．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵∠ABD＝61°42′15″，∠CBD＝15°30'，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝61°42′15″+15°30'＝77°12′15″．
（3）∵∠CBD＝15°30'＝15.5°，
又∵∠BDC＝15.5°，
∴∠BDC＝∠CBD
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 　145　 ；
（2）若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为 　35°18′　 ；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）145°；
（2）35°18′；
（3）∠ACB与∠DCE互补，理由见解答．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝145°，
故答案为：145；
（2）∵∠ACD＝90°，∠ACB＝144°42′，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝144°42′﹣90°＝54°42′，
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣54°42′＝35°18′，
故答案为：35°18′；
（3）∠ACB与∠DCE互补，
理由是：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补．第6章
6.3 角
题型1 角的概念 题型2 钟面角
题型3 方向角 题型4 度分秒的换算
题型5 角平分线的定义 题型6 角的计算
题型7 余角和补角 题型8 角的大小比较
题型1 角的概念
解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
【典例1】下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】下列说法与如图所示的几何图形相符的是（　　）
A．点D在线段CB的延长线上
B．∠1可以表示成∠C
C．射线BD与射线CD表示同一条射线
D．∠1+∠ACD＝180°
【变式2】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种表示方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】如图，∠AOB的度数可能为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
题型2 钟面角
解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
【典例1】如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（　　）
A．75° B．120° C．135° D．150°
【变式1】当时钟指向9点30分时，时针与分针的夹角度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【变式2】钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（　　）
A．110° B．75° C．105° D．90°
【变式3】下列说法中正确的是（　　）
A．3时30分，时针与分针的夹角是90°
B．6时30分，时针与分针重合
C．8时45分，时针与分针的夹角是30°
D．9时整，时针与分针的夹角是90°
题型3 方向角
解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
【典例1】如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（　　）方向．
A．南偏东47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．北偏西47°
【变式1】如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是（　　）
A．92° B．98° C．68° D．82°
【变式2】如图，一艘轮船在大海中航行，在点O处发现灯塔A在北偏西60°方向，灯塔B在南偏东30°的方向，则下列结论错误的是（　　）
A．∠POB与∠AOM互为补角
B．OC平分∠AOB
C．图中以OA为边的角有5个
D．∠BOM＞∠COQ＞∠AON
【变式3】如图是学校O、小敏家A、小凯家B的位置示意图，下列表述正确的是（　　）
A．小敏家A在学校O北偏东60°的方向，距离2km处
B．小凯家B在学校O北偏东20°的方向，距离3km处
C．学校O在小凯家B南偏西20°的方向，距离3km处
D．学校O在小敏家A南偏西30°的方向，距离2km处
题型4 度分秒的换算
解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
【典例1】某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题数是（　　）
3.8963（精确到百分位）≈3.90 的系数是，次数是4 比较大小：38°15′＝38.15° 3a2b与﹣ab2是同类项
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
【变式1】计算：2400'＝（　　）
A．24° B．40° C．400° D．144000°
【变式2】如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（　　）
A．27°40′ B．62°20′ C．57°40′ D．58°20
【变式3】已知∠A＝30°45′，∠B＝30.45°，则∠A　 　 ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）
题型5 角平分线的定义
解｜题｜知｜识 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
【典例1】定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如：∠α＝100°，∠β＝40°，|∠α﹣∠β|＝60°，则∠α和∠β互为“优角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“优角”的共有（　　）
A．6对 B．7对 C．8对 D．9对
【变式1】下列说法：其中正确的说法是（　　）
①单项式的次数是6；
②已知∠AOB为锐角，如果∠AOP∠AOB，那么射线OP是∠AOB的平分线；
③2时40分，时针与分针的夹角为160°；
④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【变式2】对于如图所示的角，描述错误的是（　　）
A．∠α与∠AOB表示同一个角
B．若OB是∠AOC的平分线，则
C．∠BOC＝∠AOC﹣∠α
D．∠AOC可以用∠O表示
【变式3】如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON平分∠BOC，已知∠AOC＝82°，那么∠MON的大小等于　 　 °．
题型6 角的计算
解｜题｜知｜识 1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
【典例1】如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是（　　）
A．18° B．30° C．36° D．20°
【变式1】借助一副三角尺不能画出的角是（　　）
A．95° B．105° C．120° D．135°
【变式2】已知∠AOB＝120°，OC为∠AOB的角平分线，过点O作射线OD，若∠AOD＝3∠BOD，则∠COD的角度是（　　）
A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°
【变式3】已知直线AB上有一点O，射线OC和射线OD在直线AB的同侧．若∠BOC＝56°，∠COD＝100°，则∠BOC与∠AOD的平分线的夹角的度数为　 　 ．
题型7 余角和补角
解｜题｜知｜识 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
【典例1】如图，已知∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一条直线上，则∠2的度数为（　　）
A．102° B．118° C．122° D．62°
【变式1】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则∠BOC等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【变式2】如图，∠AOB，∠COD都是以O为顶点的直角，能解释∠AOC＝∠BOD的理由是（　　）
A．同角的余角相等 B．角平分线的定义
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
【变式3】如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是（　　）
A． B．
C． D．
题型8 角的大小比较
解｜题｜知｜识 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′．
【典例1】如图，利用带60°角的三角板比较∠A和∠B的大小，下列结论正确的是（　　）
A．∠A＞∠B B．∠A＝∠B C．∠A＜∠B D．无法判断
【变式1】如图，一副三角尺按如下四种不同的方式摆放，其中，∠α≠∠β的图形的选项是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】比较∠CAB与∠DAB的大小，把它们的顶点A和边AB重合，把它们的另一边AC和AD放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则（　　）
A．AD落在∠CAB的内部 B．AD落在∠CAB的外部
C．AC和AD重合 D．不能确定AD的位置
【变式3】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么 ∠COD　 　 ∠AOB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
下列说法正确的是（　　）
A．联结两点的线段，叫做两点间的距离
B．将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点
C．两条射线组成的图形叫做角
D．若AO＝BO，则O是AB的中点
如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝23°，则∠2的度数为（　　）
A．67° B．107° C．110° D．113°
10点15分时，时针和分针的较小夹角是 　 　 ．
河南登封“观星台”是我国最古老的天文台．在观星台的顶上可以看到一件日晷，石制的圆盘南高北低，平行于赤道面，由铜制的指针垂直穿过圆盘中心．圆盘等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰．表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为　 　 °．
在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）
A．69° B．111° C．141° D．159°
如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东16°方向，C处在B处的北偏东72°的方向，求从C观测A、B两处的视角∠ACB的度数是（　　）
A．72° B．82° C．88° D．92°
人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为AB，BC．若∠2＝53°17′，则∠1的度数为　 　 ．
比较大小：52°15′　 　 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”）
如图，点O为直线AB上一点，∠COD为直角，OE平分∠AOC，OF平分∠COB，OG平分∠BOD，则∠EOG是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
下列说法中正确的有（　　）
①绝对值相等的两个有理数相等；
②若a，b互为相反数，则1；
⑧有理数分为正数和负数；
④若∠AOC＝2∠BOC，则OB是∠AOC的平分线．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠B'AD'＝4°，则∠EAF的度数为 　 　 ．
如图，一束光线AO照射到玻璃表面DE时，发生了折射和反射现象，已知∠AOK＝∠BOK＝45°，∠KOE＝90°，∠EOC＝70°，则反射光线与折射光线形成的∠BOC的度数为　 　 ．
如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝180°﹣∠3
C．∠1＝90°+∠3 D．以上都不对
如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝25°20′，则∠2＝ 　 ．
如图，在同一平面内有任意四个点A、B、C、D．
（1）按要求补充图形：画出直线AB、射线BC、BD，连接DC；
（2）若小明在（1）的基础上测量∠ABD＝61°42′15″，∠CBD＝15°30'，求∠ABC的度数；
（3）若（1）（2）基础上，小亮又测量∠BDC＝15.5°，比较∠BDC与∠CBD的大小关系．
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 　 　 ；
（2）若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为 　 　 ；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．

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