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第5章
5.2 一元一次方程的解法
题型1 等式的性质 题型2 解一元一次方程
题型3 同解方程
题型1 等式的性质
解｜题｜知｜识 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的。
【典例1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么
D．如果，那么a＝b
【变式1】下列等式变形中，不正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝y，则x﹣2＝y﹣2
C．若x＝y，则﹣3x＝﹣3y D．若ax＝ay，则x＝y
【变式2】已知等式3y+4＝2x﹣2，依据等式的性质进行变形，可以得到的是（　　）
A．2x＝3y﹣6 B．3y＝2x+6 C．x3 D．yx﹣3
【变式3】设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
题型2 解一元一次方程
解｜题｜知｜识 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
【典例1】如果单项式﹣xyb+1与是同类项，那么关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【变式1】现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　）
A．5 B．10 C．21 D．5或21
【变式2】解方程时，去分母正确的是（　　）
A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6
C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1
【变式3】下列四组变形属于移项的是（　　）
A．由，得x﹣2＝12
B．由2x＝3，得
C．由4x＝2x﹣3，得4x﹣2x＝﹣3
D．由3y﹣y+2＝3，得2y+2＝3
题型3 同解方程
解｜题｜知｜识 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
【典例1】如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x＝6和x﹣3＝0为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程2x+1＝x﹣2为“美好方程”，则ab的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．20 D．﹣20
【变式1】已知关于x的方程和3（2﹣x）＝2x+1的解相同，求m的值．
【变式2】已知关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．求a、b的值．
【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程x+2＝4和3x+6＝0为互为“友好方程”．
（1）若关于x的方程2x+m＝1与方程5x+2＝2x+14互为“友好方程”，求m的值；
（2）若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为2n+1，求n的值；
（3）若无论m取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与关于y的方程y+1＝2y﹣2都互为“友好方程”，求a+b的值．
1．下列说法一定正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则
C．若|x|＝|y|，则x＝y D．若，则x＝y
2．根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a、b应满足的条件是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a＝0，b≠0
3．下列结论错误的是（　　）
A．若a＝b，则a﹣c＝b﹣c
B．若x＝2，则x2＝2x
C．若a＝b，则
D．若ax＝bx，则a＝b
4．已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．x+m＝y+m B．y﹣n＝x﹣n C．px＝py D．
5．有下列说法：①若m＝n，则|m|＝|n|；②若m＝﹣n，则|m|＝|n|；③若|m|＝|n|，则m＝n；④若|m|＝|n|，则m＝±n；⑤﹣|a|定是负数；⑥|a|+1一定是正数．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．由方程3x﹣5＝2x﹣4变形，得3x﹣2x＝﹣4+5，这是根据什么变形的（　　）
A．合并同类项法则 B．分配律
C．等式的基本性质1 D．等式的基本性质2
7．若等式ac＝bc成立，则下列等式中不成立的是（　　）
A．a＝b B．ac+3＝bc+3 C．ac2＝bc2 D．
8．已知二元一次方程组，则2a﹣b的值为　 　 ．
9．已知多项式ax2+2x﹣3与x2+bx+c是恒等的，则a+b+c＝ 　 　 ．
10．已知，且b+d＝6，则a+c＝　 ．
11．如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值是　 　 ．
12．观察下列两个等式：221，551，给出定义如下：
我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是　 　
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为　 　
（3）若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”
13．按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．1或﹣2
14．关于x的一元一次方程的解（　　）
A．是一个大于0小于1的数
B．是一个大于2020的数
C．是一个大于0小于2020的数
D．不存在
15．小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究：
小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如，无限循环小数呢？小深通过查阅资料发现无限循环小数0.化为分数，可用如下方法：
令S＝0.，则100S＝36.； 100S﹣S＝36.0. 99S＝36 所以，0.
参照他的方法，0.6可以化为分数（　　）
A． B． C． D．
16．在解关于x的方程x﹣6m＝3+5x时，小佳错把“﹣6m”看成了“+6m”，解得x＝﹣2，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
17．若x的2倍与3的差等于x的一半，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1.2 D．﹣1.2
18．小明在解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处的数字看错了，解得x＝﹣4，该同学把□看成了（　　）
A．6 B．﹣8 C．8 D．﹣3
19．若代数式7﹣2x和5﹣x的值互为相反数，则x的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
20．满足|m﹣6|+m﹣6＝0的m的值的个数为（　　）
A．5个 B．6个 C．无数个 D．不存在
21．整式mx﹣2n（m，n为常数）的值随x的取值的不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2n﹣mx＝8的解为（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
mx﹣2n 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 ﹣8
A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝﹣2
22．定义一种新运算：a b＝a﹣2b，若3 （x+1）＝5，则x的值为　 　 ．
23．在实数范围内定义运算“ ”：a b＝2a+3b﹣1，例如：2 3＝2×2+3×3﹣1＝12．如果，则x的值为　 ．
24．小红在计算31+a的值时，误将“+”号看成“﹣”号，结果得12，那么31+a的值应为 　 　 ．
25．解方程：
（1）3x﹣2＝1﹣2（x+1）；
（2）x1．
26．当x为何值时，代数式3（2x﹣1）的值比2（5x+1）的值小1？
27．我们规定：若有理数a，b满足a+b＝ab，则称a与b是“相伴数对”，记作（a，b），例如：2+2＝2×2，则（2，2）是“相伴数对”．
请解答下列问题：
（1）下列数对中，是“相伴数对”的是　 　 （填序号）．
①（3，1.5）
②（﹣1，0.5）
③（0，0）
（2）若（m，4）是“相伴数对”，求m的值．
（3）若（a，b）是“相伴数对”，化简代数式M＝3a﹣2ab+3b．
（4）若（x，y）是“相伴数对”，且xy﹣2（x+y）＝5，利用整体思想直接求3（x+y）﹣5xy的值．第5章
5.2 一元一次方程的解法
题型1 等式的性质 题型2 解一元一次方程
题型3 同解方程
题型1 等式的性质
解｜题｜知｜识 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的。
【典例1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么
D．如果，那么a＝b
【答案】D
【解答】解：（A）当a＝b时，a+c＝b+c，故A错误；
（B）当a＝0时，此时a≠3，故B错误；
（C）当c＝0时，此时与无意义，故C错误；
故选：D．
【变式1】下列等式变形中，不正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝y，则x﹣2＝y﹣2
C．若x＝y，则﹣3x＝﹣3y D．若ax＝ay，则x＝y
【答案】D
【解答】解：A、如果x＝y，那么等式两边同时加上1得：x+1＝y+1仍然成立，正确，不符合题意；
B、如果x＝y，那么等式两边同时减去2得：x﹣2＝y﹣2仍然成立，正确，不符合题意；
C、已知x＝y，那么等式两边同时乘以﹣3得：﹣3x＝﹣3y仍然成立，正确，不符合题意；
D、如果ax＝ay，那么等式两边除以a（0除外）得：x＝y，原式未说明a≠0，当a＝0时，变形无意义，则原式不成立，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】已知等式3y+4＝2x﹣2，依据等式的性质进行变形，可以得到的是（　　）
A．2x＝3y﹣6 B．3y＝2x+6 C．x3 D．yx﹣3
【答案】C
【解答】解：A．∵3y+4＝2x﹣2，
∴2x﹣2＝3y+4，
方程两边加2得：2x＝3y+6，故本选项不符合题意；
B．3y+4＝2x﹣2，
等式两边减4，得3y＝2x﹣2﹣4，
即3y＝2x﹣6，故本选项不符合题意；
C．∵3y+4＝2x﹣2，
∴2x＝3y+6，
等式两边都除以2，得x3，故本选项符合题意；
D．3y+4＝2x﹣2，
等式的两边都减4，得3y＝2x﹣6，
等式两边都除以3，得yx﹣2，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式3】设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据图示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
故选：A．
题型2 解一元一次方程
解｜题｜知｜识 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
【典例1】如果单项式﹣xyb+1与是同类项，那么关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】C
【解答】解：根据题意得：
a+2＝1，
解得：a＝﹣1，
b+1＝3，
解得：b＝2，
把a＝﹣1，b＝2代入方程ax+b＝0得：
﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
故选：C．
【变式1】现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　）
A．5 B．10 C．21 D．5或21
【答案】A
【解答】解：当x≥3时，x*3＝3x﹣3＝12，
∴3x＝15，
解得x＝5，符合x≥3；
当x＜3时，原式＝x﹣9＝12，
∴x＝21（舍去）；
故选：A．
【变式2】解方程时，去分母正确的是（　　）
A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6
C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1
【答案】C
【解答】解：原方程两边同乘6得：，
即3（x+1）﹣（x+2）＝6，
故选：C．
【变式3】下列四组变形属于移项的是（　　）
A．由，得x﹣2＝12
B．由2x＝3，得
C．由4x＝2x﹣3，得4x﹣2x＝﹣3
D．由3y﹣y+2＝3，得2y+2＝3
【答案】C
【解答】解：A、由得x﹣2＝12是去分母，不符合移项，不符合题意；
B、2x＝3得是系数化为1，不符合移项，不符合题意；
C、4x＝2x﹣3得4x﹣2x＝﹣3是将2x移项并变号，符合移项，符合题意；
D、3y﹣y+2＝3得2y+2＝3是合并同类项，不符合移项，不符合题意．
故选：C．
题型3 同解方程
解｜题｜知｜识 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
【典例1】如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x＝6和x﹣3＝0为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程2x+1＝x﹣2为“美好方程”，则ab的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．20 D．﹣20
【答案】B
【解答】解：解方程（a、b为常数）得x，
解方程2x+1＝x﹣2得，x＝﹣3，
∵关于x的方程（a、b为常数）与方程2x+1＝x﹣2为“美好方程”，
∴把x＝﹣3代入得，k，
整理得，（2a﹣6）k﹣12﹣3b＝0，
∵无论k取任何有理数都成立，
∴2a﹣6＝0，
解得a＝3，
∴3b＝﹣12，
解得b＝﹣4，
∴ab＝3×（﹣4）＝﹣12．
故选：B．
【变式1】已知关于x的方程和3（2﹣x）＝2x+1的解相同，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由3（2﹣x）＝2x+1可得x＝1，
∵关于x的方程和3（2﹣x）＝2x+1的解相同，
∴1，
解得m＝3，
即m的值为3．
【变式2】已知关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．求a、b的值．
【答案】a＝﹣2，b＝1．
【解答】解：，
2（2x+1）﹣3（x﹣1）＝6，
4x+2﹣3x+3＝6，
4x﹣3x＝6﹣2﹣3，
x＝1，
∵关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，
∴|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
∴方程为﹣4x+4b＝0，
∵关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同，
∴方程﹣4x+4b＝0的解是x＝1，
∴﹣4×1+4b＝0，
∴b＝1．
【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程x+2＝4和3x+6＝0为互为“友好方程”．
（1）若关于x的方程2x+m＝1与方程5x+2＝2x+14互为“友好方程”，求m的值；
（2）若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为2n+1，求n的值；
（3）若无论m取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与关于y的方程y+1＝2y﹣2都互为“友好方程”，求a+b的值．
【答案】（1）﹣7或9；
（2）2或﹣3；
（3）﹣1或7．
【解答】解：（1）因为关于x的方程2x+m＝1与方程5x+2＝2x+14互为“友好方程”，
且方程2x+m＝1的解为，方程5x+2＝2x+14的解为x＝4，
所以，
所以有或，
解得m＝﹣7或m＝9，
所以m的值为﹣7或9；
（2）因为互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，
又互为“友好方程”的两个方程的两个解的绝对值相同，
所以互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且一个为5，另一个为﹣5，
因为其中一个解为2n+1，
所以有2n+1＝5或2n+1＝﹣5，
解得n＝2或n＝﹣3，
综上所述，n的值为2或﹣3；
（3）方程y+1＝2y﹣2解得y＝3，
因为关于x的方程（a、b为常数）与关于y的方程y+1＝2y﹣2都互为“友好方程”，
所以当x＝﹣3时，有，
整理得（2a﹣6）m＝3b+12，
因为m取任何有理数，
所以2a﹣6＝0，3b+12＝0，
解得a＝3，b＝﹣4，
所以a+b＝3+（﹣4）＝﹣1；
当x＝3时，有，
整理得（2a﹣6）m＝3b﹣12，
因为m取任何有理数，
所以2a﹣6＝0，3b﹣12＝0，
解得a＝3，b＝4，
所以a+b＝3+4＝7；
综上所述，a+b的值为﹣1或7．
1．下列说法一定正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则
C．若|x|＝|y|，则x＝y D．若，则x＝y
【答案】D
【解答】解：A．若x＝y，则x+c＝y+c，故选项A错误；
B．若x＝y，则，故选项B错误；
C．若|x|＝|y|，则x＝±y，故选项C错误；
D．若，则x＝y，故选项D正确．
故选：D．
2．根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a、b应满足的条件是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a＝0，b≠0
【答案】A
【解答】解：根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a＝﹣b，
∴a+b＝0，
∴a与b互为相反数．
故选：A．
3．下列结论错误的是（　　）
A．若a＝b，则a﹣c＝b﹣c
B．若x＝2，则x2＝2x
C．若a＝b，则
D．若ax＝bx，则a＝b
【答案】D
【解答】解：A、根据等式性质1，等式两边都减c，即可得到a﹣c＝b﹣c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、根据等式性质2，等式两边都乘x，即可得到x2＝2x，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、根据等式性质2，等式两边都除以不等于0的数（c2+1），即可得到，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、根据等式性质2，两边都除以x时，需x≠0才可得到a＝b，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
4．已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．x+m＝y+m B．y﹣n＝x﹣n C．px＝py D．
【答案】D
【解答】解：A、等式两边同时加上m，依据等式的基本性质1，选项等式成立，不符合题意；
B、等式两边同时减去n，依据等式的基本性质1，选项等式成立，不符合题意；
C、等式两边同时乘以p，依据等式的基本性质2，选项等式成立，不符合题意；
D、等式两边同时除以a，当a＝0时，选项等式不成立，符合题意．
故选：D．
5．有下列说法：①若m＝n，则|m|＝|n|；②若m＝﹣n，则|m|＝|n|；③若|m|＝|n|，则m＝n；④若|m|＝|n|，则m＝±n；⑤﹣|a|定是负数；⑥|a|+1一定是正数．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：在①若m＝n，则|m|＝|n|；②若m＝﹣n，则|m|＝|n|；③若|m|＝|n|，则m＝n；④若|m|＝|n|，则m＝±n；⑤﹣|a|定是负数；⑥|a|+1一定是正数中．
当m＝n时，|m|＝|n|，说法①正确；
当m＝﹣n时，|m|＝|n|，说法②正确；
当|m|＝|n|时，可能是m＝n，也可能是m＝﹣n，说法③错误，说法④正确；
当a＝0时，﹣|a|＝0，0既不是正数也不是负数，说法⑤错误；
|a|≥0，|a|+1≥1一定是正数，说法⑥正确．
故选：D．
6．由方程3x﹣5＝2x﹣4变形，得3x﹣2x＝﹣4+5，这是根据什么变形的（　　）
A．合并同类项法则 B．分配律
C．等式的基本性质1 D．等式的基本性质2
【答案】C
【解答】解：3x﹣5＝2x﹣4，
3x﹣5+5＝2x﹣4+5，
3x＝2x+1，
3x﹣2x＝1，
∴变形的根据是等式的性质1，
故选：C．
7．若等式ac＝bc成立，则下列等式中不成立的是（　　）
A．a＝b B．ac+3＝bc+3 C．ac2＝bc2 D．
【答案】A
【解答】解：根据等式性质可知c（a﹣b）＝0，即c＝0或a＝b，
A：当c＝0时，a与b可能不相等，
∴a＝b不一定成立，符合题意；
B：∵ac＝bc，两边同时加3，得ac+3＝bc+3，
∴成立，不符合题意；
C：若c＝0，则ac2＝0，bc2＝0，等式成立；若c≠0，由ac＝bc得a＝b，则ac2＝bc2成立，
∴总是成立，不符合题意；
D：∵ac＝bc，两边同时除以3，得，
∴成立，不符合题意；
故选：A．
8．已知二元一次方程组，则2a﹣b的值为　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：，
①+②得，2a﹣b＝5．
故答案为：5．
9．已知多项式ax2+2x﹣3与x2+bx+c是恒等的，则a+b+c＝ 　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：由题意得，
ax2+2x﹣3＝x2+bx+c，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴a+b+c＝1+2﹣3＝0，
故答案为：0．
10．已知，且b+d＝6，则a+c＝　　 ．
【答案】
【解答】解：∵，
∴ab，cd，
∴a+c（b+d）6，
故答案为：．
11．如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值是　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：设□为x，△为y，〇为z，
由图1可得：3x+2y＝3z+2x①，
由图2可得：3z+2y＝x+2z②，
①﹣②，得3x﹣3z＝z+x，
∴2x＝4z，即x＝2z，
即1个□＝2个〇，
∵1个“□”与n个“〇”的质量相等，
∴n＝2．
故答案为：2．
12．观察下列两个等式：221，551，给出定义如下：
我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是　（3，）　
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为　﹣2　
（3）若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1，
∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
∵32.5，31＝2.5，
∴331，
∴（3，）是“共生有理数对”．
故答案为：（3，）；
（2）∵（a，3）是“共生有理数对”，
∴a﹣3＝3a+1，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（3）∵4是“共生有理数对”中的一个有理数，
∴①当“共生有理数对”是（x，4）时，则有：
x﹣4＝4x+1，
解得：x，
∴“共生有理数对”是（，4）；
②当“共生有理数对”是（4，y）时，则有：
4﹣y＝4y+1，
解得：y，
∴“共生有理数对”是（4，）．
13．按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．1或﹣2
【答案】A
【解答】解：由题意，当m≥0时，由2m﹣1＝1，
解得：m＝1，符合题意；
当m＜0时，由﹣2m+3＝1，
解得：m＝1，不符合题意，舍去．
∴m的值是1．
故选：A．
14．关于x的一元一次方程的解（　　）
A．是一个大于0小于1的数
B．是一个大于2020的数
C．是一个大于0小于2020的数
D．不存在
【答案】C
【解答】解：∵，，
∴左边，
∵，，
∴右边，
∵，，
∴原方程可化为，
移项得，
∵
，
∵分子相同，分母2019×2021＜2023×2025，
∴，
即，
∴1﹣x＝0，
解得x＝1，
∵0＜1＜2020，
∴关于x的一元一次方程的解是一个大于0小于2020的数，
故选：C．
15．小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究：
小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如，无限循环小数呢？小深通过查阅资料发现无限循环小数0.化为分数，可用如下方法：
令S＝0.，则100S＝36.； 100S﹣S＝36.0. 99S＝36 所以，0.
参照他的方法，0.6可以化为分数（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设x＝0.6，则1000x＝369.6，
那么1000x﹣x＝369.60.6369，
解得：x．
即0.6．
故选：D．
16．在解关于x的方程x﹣6m＝3+5x时，小佳错把“﹣6m”看成了“+6m”，解得x＝﹣2，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵小佳错把“﹣6m”看成了“+6m”，则看错后的方程为x+6m＝3+5x且解得x＝﹣2，
∴把x＝﹣2代入方程得，﹣2+6m＝3+5×（﹣2），
﹣2+6m＝3﹣10，
﹣2+6m＝﹣7，
6m＝﹣5，
解得：．
故选：C．
17．若x的2倍与3的差等于x的一半，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1.2 D．﹣1.2
【答案】A
【解答】解：x的2倍与3的差等于x的一半，即，
去分母，得4x﹣6＝x，
移项，得4x﹣x＝6，
合并同类项，得3x＝6，
解得x＝2，
故选：A．
18．小明在解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处的数字看错了，解得x＝﹣4，该同学把□看成了（　　）
A．6 B．﹣8 C．8 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：设□为y，
把x＝﹣4代入5x﹣1＝yx+3得：5×（﹣4）﹣1＝y×（﹣4）+3，
解得：y＝6．
故选：A．
19．若代数式7﹣2x和5﹣x的值互为相反数，则x的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：根据相反数的意义可得：（7﹣2x）+（5﹣x）＝0，
解得：x＝4；
故选：A．
20．满足|m﹣6|+m﹣6＝0的m的值的个数为（　　）
A．5个 B．6个 C．无数个 D．不存在
【答案】C
【解答】解：|m﹣6|+m﹣6＝0，
当m≥6时，可得方程：m﹣6+m﹣6＝0，
解得：m＝6；
当m＜6时，可得6﹣m+m﹣6＝0，
可得0×m＝0，
∴此方程有无数个解，
综上所述：方程|m﹣6|+m﹣6＝0的解的个数为无数个．
故选：C．
21．整式mx﹣2n（m，n为常数）的值随x的取值的不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2n﹣mx＝8的解为（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
mx﹣2n 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 ﹣8
A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：由条件可得﹣2n＝﹣4，
解得：n＝2，
由条件可得﹣2m﹣4＝0，
解得：m＝﹣2，
∴2n﹣mx＝8为4+2x＝8，
解得x＝2．
故选：A．
22．定义一种新运算：a b＝a﹣2b，若3 （x+1）＝5，则x的值为　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：由原题可知：
∵a b＝a﹣2b，3 （x+1）＝5，
∴3﹣2（x+1）＝5
3﹣2x﹣2＝5
∴﹣2x+1＝5，
∴x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
23．在实数范围内定义运算“ ”：a b＝2a+3b﹣1，例如：2 3＝2×2+3×3﹣1＝12．如果，则x的值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴，
∴2x+1﹣1＝1，
∴2x＝1，
∴x，
故答案为：．
24．小红在计算31+a的值时，误将“+”号看成“﹣”号，结果得12，那么31+a的值应为 　50　 ．
【答案】50
【解答】解：依题意得
31﹣a＝12，
∴a＝19，
∴31+a＝50．
故答案为：50．
25．解方程：
（1）3x﹣2＝1﹣2（x+1）；
（2）x1．
【答案】（1）x；
（2）x＝﹣17．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣2＝1﹣2x﹣2，
移项得：3x+2x＝1﹣2+2，
合并同类项得：5x＝1，
解得：x；
（2）去分母得：15x﹣3（x+2）＝5（2x﹣5）﹣15，
去括号得：15x﹣3x﹣6＝10x﹣25﹣15，
移项得：15x﹣3x﹣10x＝﹣25﹣15+6，
合并同类项得：2x＝﹣34，
解得：x＝﹣17．
26．当x为何值时，代数式3（2x﹣1）的值比2（5x+1）的值小1？
【答案】x＝﹣1
【解答】解：由题意，得3（2x﹣1）＝2（5x+1）﹣1，
去括号，得6x﹣3＝10x+2﹣1，
移项、合并同类项，得﹣4x＝4，
解得：x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，代数式3（2x﹣1）的值比2（5x+1）的值小1．
27．我们规定：若有理数a，b满足a+b＝ab，则称a与b是“相伴数对”，记作（a，b），例如：2+2＝2×2，则（2，2）是“相伴数对”．
请解答下列问题：
（1）下列数对中，是“相伴数对”的是　①②③　 （填序号）．
①（3，1.5）
②（﹣1，0.5）
③（0，0）
（2）若（m，4）是“相伴数对”，求m的值．
（3）若（a，b）是“相伴数对”，化简代数式M＝3a﹣2ab+3b．
（4）若（x，y）是“相伴数对”，且xy﹣2（x+y）＝5，利用整体思想直接求3（x+y）﹣5xy的值．
【答案】（1）①②③；
（2）；
（3）ab；
（4）10．
【解答】解：（1）∵3+1.5＝4.5，3×1.5＝4.5，
∴3+1.5＝3×1.5，
∴①符合题意．
∵﹣1+0.5＝﹣0.5，﹣1×0.5＝﹣0.5，
∴﹣1+0.5＝﹣1×0.5，
∴②符合题意．
∵0+0＝0，0×0＝0，
∴0+0＝0×0，
∴③符合题意．
故答案为：①②③；
（2）根据题意得：4m＝m+4，解得m；
（3）根据题意得：a+b＝ab，
∴M＝3a﹣2ab+3b
＝3（a+b）﹣2ab
＝3ab﹣2ab
＝ab；
（4）根据题意得：x+y＝xy，
∵xy﹣2（x+y）＝5，
∴xy﹣2xy＝5，
即：xy＝﹣5．
∴3（x+y）﹣5xy
＝3xy﹣5xy
＝﹣2xy
＝﹣2×（﹣5）
＝10．

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