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第5章
5.1 认识方程
题型1 方程的定义 题型2 方程的解
题型3 一元一次方程的定义
题型1 方程的定义
解｜题｜知｜识 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立．
【典例1】下列各式中，是方程的是（　　）
A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5
【变式1】下列式子中，方程的个数是（　　）
①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z；
A．2 B．3 C．4 D．5
题型2 方程的解
解｜题｜知｜识 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
【典例1】若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【变式1】小马虎在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2（x﹣3）﹣●＝x+1，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是x＝9，那么这个被污染的常数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】下列结论：
①若x＝1是关于x的方程a+bx+c＝0的一个解，则a+b+c＝0；
②若a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b；
③若b＝2a，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x；
④若﹣a+b+c＝1，且a≠0，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解．
其中结论正确个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 　 　 ．
题型3 一元一次方程的定义
解｜题｜知｜识 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． ．
【典例1】下列是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x+y＝5 C．1 D．x＝﹣1
【变式1】下列方程：①x＝3；②x+2y＝1；③2＝0；④1＝x；⑤x2﹣4＝3x．其中是一元一次方程的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】下列各式中，一元一次方程的个数有（　　）
①；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】下列方程中属于一元一次方程的是（　　）
A．y2＝4 B．26 C．x2+x+1＝0 D．x﹣2y＝1
1．7．已知方程y3﹣7y+6＝0，则在y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3中， 　 是方程的解．
2．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 ．
3．已知方程mx|m﹣1|+4＝7是关于x的一元一次方程，则m的值（　　）
A．2或0 B．0 C．2或﹣2 D．2
4．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．3x﹣1 B． C．x+2y＝1 D．x2﹣4x＝3
5．已知（3﹣m）x|m|﹣2﹣2＝3是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　 ．
6．若关于x的方程是一元一次方程，则k的倒数是　 　 ．
7．关于x的方程（a2﹣4）x2+ax+2x﹣1＝0是一元一次方程，则a＝　 　 ．
8．如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求a+b＝　 　 ．
9．已知关于x的方程（a2﹣9）x2+ax﹣3x+4＝0是一元一次方程，则多项式：﹣4a2+7﹣3a+2a+1的值是　 　 ．
10．关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程，则a＝　 ．第5章
5.1 认识方程
题型1 方程的定义 题型2 方程的解
题型3 一元一次方程的定义
题型1 方程的定义
解｜题｜知｜识 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立．
【典例1】下列各式中，是方程的是（　　）
A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5
【答案】D
【解答】解：A、3﹣2＝1中不含有未知数，不是方程，不符合题意；
B、y﹣5不是等式所以不是方程，不符合题意；
C、3m＞2不是等式所以不是方程，不符合题意；
D、x＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【变式1】下列式子中，方程的个数是（　　）
①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：①3×3+1＝5×2中不含有未知数，不是方程；
②（y﹣2）2≥0不是等式，不是方程；
③3x+1＝5y、④符合方程的定义；
⑤x+y+z是代数式，不是等式，不是方程．
故选：A．
题型2 方程的解
解｜题｜知｜识 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
【典例1】若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【答案】D
【解答】解：
把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0
可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0，
解得：m＝8，
故选：D．
【变式1】小马虎在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2（x﹣3）﹣●＝x+1，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是x＝9，那么这个被污染的常数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：设被污染的常数是a，
则被污染的方程是2（x﹣3）﹣a＝x+1，
2x﹣6﹣a＝x+1，
2x﹣x＝1+6+a，
x＝7+a，
∵方程的解是x＝9，
∴7+a＝9，
∴a＝2，
故选：B．
【变式2】下列结论：
①若x＝1是关于x的方程a+bx+c＝0的一个解，则a+b+c＝0；
②若a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b；
③若b＝2a，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x；
④若﹣a+b+c＝1，且a≠0，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解．
其中结论正确个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：①把x＝1代入a+bx+c＝0得：a+b+c＝0，故结论正确；
②a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解是x＝1，结论正确；
③b＝2a，则2，方程移项，得：ax＝﹣b，则x2，则结论错误；
④把x＝﹣1代入ax+b+c＝﹣a+b+c＝1，方程一定成立，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解，结论正确．
故选：B．
【变式3】若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 　2021　 ．
【答案】2021
【解答】解：∵x＝3是方程ax2﹣bx＝6的解，
∴a×32﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
∴2025﹣6a+2b
＝2025﹣2（3a﹣b）
＝2025﹣2×2
＝2025﹣4
＝2021．
故答案为：2021．
题型3 一元一次方程的定义
解｜题｜知｜识 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． ．
【典例1】下列是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x+y＝5 C．1 D．x＝﹣1
【答案】D
【解答】解：A．x2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程，不符合题意；
B．2x+y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C．1，分母中含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
D．x＝﹣1是一元一次方程，符合题意．
故选：D．
【变式1】下列方程：①x＝3；②x+2y＝1；③2＝0；④1＝x；⑤x2﹣4＝3x．其中是一元一次方程的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解答】解：①x＝3；④1＝x是一元一次方程，
故选：A．
【变式2】下列各式中，一元一次方程的个数有（　　）
①；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①，分母含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
②3x＝5，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，是一元一次方程，符合题意；
③x+y＝1，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
④，化简得11＝x，是一元一次方程，符合题意；
⑤x2﹣2x+3＝0，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
【变式3】下列方程中属于一元一次方程的是（　　）
A．y2＝4 B．26 C．x2+x+1＝0 D．x﹣2y＝1
【答案】B
【解答】解：A、不是一元一次方程，故此选项错误；
B、是一元一次方程，故此选项正确；
C、不是一元一次方程，故此选项错误；
D、不是一元一次方程，故此选项错误；
故选：B．
1．7．已知方程y3﹣7y+6＝0，则在y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3中，y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3　 是方程的解．
【答案】y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3．
【解答】解：当y＝1时，
y3﹣7y+6＝1﹣7+6＝0，等式成立，
所以y1＝1是方程的解，
当y＝2时，
23﹣7 2+6＝8﹣14+6＝0，等式同样成立，
所以y2＝2也是方程的解，
当y＝﹣3时，
（﹣3）3﹣7 （﹣3）+6＝﹣27+21+6＝0，等式成立，
所以y3＝﹣3同样是方程的解．
故答案为：y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3．
2．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 x＝﹣3　 ．
【答案】x＝﹣3
【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，
∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，
解得：a＝3，
即原方程为6﹣5x＝21，
解得x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
3．已知方程mx|m﹣1|+4＝7是关于x的一元一次方程，则m的值（　　）
A．2或0 B．0 C．2或﹣2 D．2
【答案】D
【解答】解：由题意得，|m﹣1|＝1，且m≠0，
∴m＝2，
故选：D．
4．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．3x﹣1 B． C．x+2y＝1 D．x2﹣4x＝3
【答案】A
【解答】解：A．3x﹣1是一元一次方程，故本选项符合题意；
B．，不是整式方程，故本选项不合题意；
C．x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
D．x2﹣4x＝3，未知数的最高次数2次，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：A．
5．已知（3﹣m）x|m|﹣2﹣2＝3是关于x的一元一次方程，则m的值为　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：根据题意得|m|﹣2＝1且3﹣m≠0，
即m＝±3且m≠3，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
6．若关于x的方程是一元一次方程，则k的倒数是　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可知，，
由|k|﹣1＝1，
得|k|＝2，
∴k＝2或k＝﹣2，
又∵k﹣2≠0，即k≠2，
∴k＝﹣2，
∴k的倒数为．
故答案为：．
7．关于x的方程（a2﹣4）x2+ax+2x﹣1＝0是一元一次方程，则a＝　2　 ．
【答案】2
【解答】解：∵关于x的方程（a2﹣4）x2+ax+2x﹣1＝0是一元一次方程，
∴a2﹣4＝0，且a+2≠0，
解得：a＝2，
故答案为：2
8．如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求a+b＝　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意可得：a+1＝0，b﹣2＝1，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴a+b＝﹣1+3＝2．
故答案为：2．
9．已知关于x的方程（a2﹣9）x2+ax﹣3x+4＝0是一元一次方程，则多项式：﹣4a2+7﹣3a+2a+1的值是　﹣25　 ．
【答案】﹣25．
【解答】解：根据题意可知，方程的二次项系数a2﹣9＝0，且一次项系数a﹣3≠0，
∴a＝﹣3，
∴﹣4a2+7﹣3a+2a+1＝﹣4a2﹣a+8
＝﹣4×（﹣3）2﹣（﹣3）+8
＝﹣36+3+8
＝﹣25．
故答案为：﹣25．
10．关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程，则a＝　﹣2　 ．
【答案】﹣2
【解答】解：∵关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程，
∴a2﹣4＝0，且a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．

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