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第2章
2.1 认识有理数
题型1 正数和负数 题型2 有理数
题型3 数轴 题型4 相反数
题型5 绝对值 题型6 非负数的性质：绝对值
题型7 有理数大小比较
题型1 正数和负数
解｜题｜知｜识 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
【答案】B
【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
【变式1】手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　）
A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元
【答案】C
【解答】解：+50+（﹣18）＝+32（元），
即小陈当天微信收支的最终结果是收入32元，
故选：C．
【变式2】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　）
A．支出80元 B．收入80元
C．支出1080元 D．收入1080元
【答案】D
【解答】解：∵支出1000元记作﹣1000元，
∴+1080元表示表示收入1080元，
故选：D．
【变式3】通常，12岁男孩正常身高标准为“156±9cm”，则下列身高不符合标准的是（　　）
A．150cm B．158cm C．165cm D．170cm
【答案】D
【解答】解：∵通常，12岁男孩正常身高标准为“156±9cm”，
∴156+9＝165，156﹣9＝147，
∴12岁男孩正常身高标准范围是147cm～165cm，
∴身高170cm的不符合标准，D符合题意，其他选项符合题意，
故选：D．
题型2 有理数
解｜题｜知｜识 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如，，，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1，﹣0.5，0.，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数．
【典例1】在3.14，，，0，0.2020020002中，有理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：在所给出的数中，有理数有在3.14，，0，0.2020020002，共4个，
故选：D．
【变式1】在﹣1，+3.5，0，，π，15中，整数共有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：﹣1是整数，+3.5是分数，0是整数，是分数，π不是有理数，15是整数，
综上所述，整数有﹣1，0，15，共3个．
故选：B．
【变式2】在﹣3，5，π，0，，﹣0.2中，正有理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解答】解：在﹣3，5，π，0，，﹣0.2中，正有理数有5，，共2个．
故选：A．
【变式3】下列说法正确的是（　　）
①在+3和+4之间没有正数；
②在0与﹣1之间没有负数；
③在+1和+2之间有很多个正分数；
④在0.1和0.2之间没有正分数．
A．③ B．④ C．①②③ D．③④
【答案】A
【解答】解：∵在+3和+4之间有正数，例如+3.5，+3.6，3.7…，
∴①不正确，不符合题意，
∵在0与﹣1之间有负数，例如﹣0.5，
∴②不正确，不符合题意，
∵在+1和+2之间有很多个正分数，
∴③正确，符合题意，
∵在0.1和0.2之间有正分数，例如0.15，
∴④不正确，不符合题意．
故选：A．
题型3 数轴
解｜题｜知｜识 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
【典例1】数轴上表示﹣1的点到原点的距离是（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解答】解：|0﹣（﹣1）|＝|0+1|＝1，
故选：B．
【变式1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　）
A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5
【答案】C
【解答】解：在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是﹣1.5，
故选：C．
【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．|a|＜|b| B．ab＞0 C．﹣b＞a D．﹣a＜b
【答案】C
【解答】解：由数轴图可知，a＜0＜b，|a|＞b，
∴|a|＞|b|，ab＜0，﹣b＞a，﹣a＞b，
∴只有C选项正确，符合题意．
故选：C．
【变式3】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数12，且AB＝18，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，PB的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①B对应的数是﹣6；
②点P到达点B时，t＝9；
③BP＝2时，t＝8；
④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且AB＝18，
∴B对应的数为12﹣18＝﹣6，故①正确；
∵18÷2＝9，
∴点P到达点B时，t＝9，故②是正确的；
当点P在点B右边时，
∵BP＝2，
∴AP＝16，
∴t＝16÷2＝8；
当点P在点B左边时，
∵BP＝2，
∴AP＝18+2＝20，
∴t＝20÷2＝10，
∴BP＝2时，t＝8或10，故③错误；
在点P的运动过程中，当点P在点B右边时，
；
在点P的运动过程中，当点P在点B左边时，
；
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不会发生变化，故④错误；
∴正确结论有①②，
故选：A．
题型4 相反数
解｜题｜知｜识 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
【典例1】﹣6的相反数是（　　）
A．﹣6 B． C．6 D．
【答案】C
【解答】解：﹣6的相反数是6，
故选：C．
【变式1】如果a与﹣2025互为相反数，那么a的值是（　　）
A．﹣2025 B． C． D．2025
【答案】D
【解答】解：根据相反数的定义得a＝2025，
故选：D．
【变式2】下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（+2）与+（﹣2） B．与0.5
C．与 D．+（﹣0.1）与+10
【答案】C
【解答】解：A．∵﹣（+2）＝﹣2，+（﹣2）＝﹣2，两个数相等，
∴A选项不符合题意；
B．∵，﹣0.2与0.5不是互为相反数，
∴B选项不符合题意；
C．∵，，与是互为相反数，
∴C选项符合题意；
D．+（﹣0.1）＝﹣0.1，﹣0.1与+10不是互为相反数，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【变式3】小宇同学在数轴上表示﹣3时，由于粗心，将﹣3画在了它相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（　　）
A．向左移6个单位 B．向右移6个单位
C．向左移3个单位 D．向右移3个单位
【答案】B
【解答】解：∵﹣3的相反数是3，﹣3与3到原点的距离相等，
∴要想把数轴画正确，原点应向右移6个单位．
故选：B．
题型5 绝对值
解｜题｜知｜识 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A．﹣3.5 B．+2.5
C．﹣0.6 D．+0.7
【答案】C
【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，
∴﹣0.6最接近标准，
故选：C．
【变式1】下列说法不正确的是（　　）
A．一个数的绝对值一定不小于它本身
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．任何数的绝对值都不是负数
D．任何有理数的绝对值都是正数
【答案】D
【解答】解：A、一个数的绝对值一定不小于它本身，正确，故本选项错误；
B、互为相反数的两个数的绝对值相等，正确，故本选项错误；
C、任何数的绝对值都不是负数，正确，故本选项错误；
D、任何有理数的绝对值都是正数，错误，0的绝对值是0，0既不是正数也不是负数，故本选项正确．
故选：D．
【变式2】已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：由于|a|＝﹣a，|b|＝b，即a为非正数，b为非负数，
又∵|a|＞|b|＞0，
∴a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
在数轴上表示a、b大致如下：
故选：C．
【变式3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中，正确的个数是（　　）①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴，
∴①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④．四个说法求正确．
故选：A．
题型6 非负数的性质：绝对值
解｜题｜知｜识 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
【典例1】如果|x﹣1|+|y+2|＝0，那么x﹣y的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
【答案】B．
【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝3．
故选：B．
【变式1】对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　）
A．|a|是正数 B．﹣a是负数
C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数
【答案】D
【解答】解：A、a＝0时|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
B、a是负数时，﹣a是正数，故本选项错误；
C、a＝0时，﹣|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、﹣|a|不是正数，故本选项正确．
故选：D．
【变式2】若|3x﹣1|与|y+1|互为相反数，则xy＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵|3x﹣1|和|y+1|互为相反数，
∴|3x﹣1|+|y+1|＝0，
∴3x﹣1＝0，y+1＝0，
∴x，y＝﹣1，
∴xy．
故答案为：．
【变式3】式子|﹣a+2023|﹣1的最小值是 　﹣1　 ．
【答案】﹣1
【解答】解：∵|﹣a+2023|≥0，
∴|﹣a+2023|﹣1≥﹣1，
∴|﹣a+2023|﹣1的最小值是﹣1．
故答案为：﹣1．
题型7 有理数大小比较
解｜题｜知｜识 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b．
【典例1】数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）
A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a
【答案】C
【解答】解：在数轴上表示a，﹣a，b，﹣b，如图：
，
由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣b＜a＜﹣a＜b，
故选：C．
【变式1】在﹣1，0，1，这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【答案】A
【解答】解：∵，
∴在﹣1，0，1，这四个数中，最小的数是﹣1，
故选：A．
【变式2】比较大小： 　＜　 （用“＞或＝或＜”填空）．
【答案】＜
【解答】解：∵，
∴；
故答案为：＜．
【变式3】大于﹣1.5且小于3.5整数共有 　5　 个．
【答案】5．
【解答】解：大于﹣1.5而小于3.5的整数﹣1，0，1，2，3，共5个，
故答案为：5．
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（　　）
A．进三个球和输三场比赛
B．浪费1t水和节约1t水
C．盈利400元和亏损400元
D．上升50m和下降50m
【答案】A
【解答】解：A．进三个球和输三场比赛不具有相反意义的量，故本选项符合题意；
B．浪费1t水和节约1t水具有相反意义的量，故本选项不符合题意；
C．盈利400元和亏损400元具有相反意义的量，故本选项不符合题意；
D．上升50m和下降50m具有相反意义的量，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．在1、﹣2、﹣5.6、、、π中负数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A．
【解答】解：1＞0，是正数；
﹣2＜0，是负数；
﹣5.6＜0，是负数；
0，是正数；
0，是负数；
π＞0，是正数；
∴负数有﹣2，﹣5.6，，共3个．
故选：A．
3．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为﹣248，则算筹“”表示的数为（　　）
A．6037 B．﹣6037 C．637 D．﹣637
【答案】B
【解答】解：由条件可知这个数是负数，
根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为﹣6037．
故选：B．
4．在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00m，小明跳出了2.12m，记为+0.12m；小敏跳出了1.96m，记为 　﹣0.04　 m．
【答案】﹣0.04
【解答】解：“正”和“负”相对，所以小明跳出了2.12m，比标准多0.12m，记为+12m，小敏跳出了1.96m，比标准少0.04m，应记作﹣0.04m．
故答案为：﹣0.04．
5．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12
（1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　22　 单；
（2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
（3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）送餐最多的一天比送餐最少的一天多送14﹣（﹣8）＝22（单）．
故答案为：22；
（2）由题意，得：
50+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7
＝50+3
＝53（单），
答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单；
（3）由题意，得：
（50×7﹣3﹣5﹣8）×2+（4+7+10×2）×4+（4+2）×6+60×7
＝668+124+36+420
＝1248（元），
答：该外卖小哥这一周工资收入1248元．
6．在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：在（每两个3之间依次增加一个2）中，
有理数为：，共有6个．
故选：B．
7．下面各数，一个“零”也不读的数是（　　）
A．500600 B．630681 C．40002400 D．7030
【答案】C
【解答】解：500600读作：五十万零六百；
630681读作：六十三万零六百八十一；
40002400读作：四千万两千四百；
7030读作：七千零三十．
所以一个“零”也不读的数是7030．
故选：C．
8．下列说法错误的是（　　）
A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数
C．有最小的正整数 D．有最大的负有理数
【答案】D
【解答】解：A．没有最大的有理数，说法正确，故本选项不符合题意；
B．没有最小的有理数，说法正确，故本选项不符合题意；
C．最小的正整数为1，说法正确，故本选项不符合题意；
D．没有最大的负有理数，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
9．最大的负整数与最小的正整数的和是　0　 ．
【答案】0
【解答】解：由题可知：
∵最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1；
∴两者的和就是1﹣1＝0
∴最大的负整数与最小的正整数的和是0
10．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4
【答案】C
【解答】解：10+6＝16，10﹣6＝4，
当A落在16对应的点时，C表示的数为：（16﹣14）＝1，
当A落在4对应的点时，C表示的数为：（4﹣14）＝﹣5，
故选：C．
11．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＞0；正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：①由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，
∴a＜c＜b，故结论①正确；
②∵a＜﹣2，0＜b＜1，
∴﹣a＞2，
∴﹣a＞b，故结论②错误；
③∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故结论③错误；
④∵a＜c，
∴c﹣a＞0，故结论④正确，
∴正确的个数是2个．
故选：B．
12．在数轴上，表示﹣2的点到表示5的点之间的距离是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣3 D．3
【答案】B
【解答】解：在数轴上，表示﹣2的点到表示5的点之间的距离为：
|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝|7|＝7，
故选：B．
13．如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和5cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：∵3cm和5cm刻度分别与数轴上表示2和4的两点对齐，
∴数轴的单位长度是1cm，
∴原点对应1cm的刻度，
∴数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数是﹣1，
故选：C．
14．点M在数轴上距离原点5个单位长度，若将点M向右移动2个单位长度至N点，则N表示的数是 　7或﹣3　 ．
【答案】7或﹣3
【解答】解：∵点M在数轴上距离原点5个单位长度，
∴点M表示的数是5或﹣5，
∵将点M向右移动2个单位长度至N点，
∴点N表示的数是5+2＝7或﹣5+2＝﹣3，
故答案为：7或﹣3．
15．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣（+0.5）与+（﹣0.5）
C．与 D．+（﹣0.01）与
【答案】D
【解答】解：∵﹣（+7）＝﹣7，+（﹣7）＝﹣7，
∴﹣（+7）＝+（﹣7），故A不符合题意；
∵+（﹣0.5）＝﹣0.5，故B不符合题意；
∵，与互为相反数，故C不符合题意；
∵，，
∴+（﹣0.01）与互为相反数，故D正确，符合题意；
故选：D．
16．化简﹣（+8）＝　﹣8　 ．
【答案】﹣8
【解答】解：﹣（+8）＝﹣8．
故答案为：﹣8．
17．已知﹣[﹣（﹣y）]＝4，求﹣y的相反数　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：因为﹣[﹣（﹣y）]＝4，
所以﹣y＝4，
所以﹣y的相反数是﹣4，
故答案为：﹣4．
18．若x+1的相反数是﹣7，则x＝　6　 ．
【答案】6
【解答】解：∵7的相反数是﹣7，
∴x+1＝7，
∴x＝6．
故答案为：6．
19．若a、b互为相反数，则2025+a+1+b＝　2026　 ．
【答案】2026．
【解答】解：由题意得，a+b＝0，
∴原式＝a+b+2025+1
＝0+2025+1
＝2026．
故答案为：2026．
20．已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数．
（1）判断a，b，c的正负性；
（2）若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？
【答案】（1）a＜0，b＞0，c＜0；
（2）点A表示的数是﹣4，点B表示的数是4，点C表示的数是﹣2．
【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，
∴a＜b，即a＜0，b＞0，
又∵表示数c的点在表示数a，b中点（即原点）的左边，
∴c＜0，
即a＜0，b＞0，c＜0；
（2）∵a，b互为相反数，
∴在数轴上，表示a，b的两点到原点的距离相等，
又∵A与B相距8个单位长度，
∴A到原点的距离为8÷2＝4，
∴a＝﹣4，b＝4，
∵A，C相距2个单位长度，
∴c＝﹣4+2＝﹣2，
即点A表示的数是﹣4，点B表示的数是4，点C表示的数是﹣2．
21．设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
【答案】A
【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，
∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．
当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，
∴1+1+1﹣1＝0．
当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，
∴1﹣1+1+1＝0．
综上：0．
故选：A．
22．|﹣2025|的相反数是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
【答案】B．
【解答】解：|﹣2025|＝2025，
2025的相反数是﹣2025．
故选：B．
23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　）
A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c
【答案】D
【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，
∴a﹣b＜0，a﹣c＜0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|＝c﹣a，
∴原式＝b﹣a﹣（c﹣a）+（﹣b）
＝b﹣a﹣c+a﹣b
＝﹣c，
故选：D．
24．已知|a|＝4，|b|＝3，且b＜a，则a+b的值为（　　）
A．1或﹣1 B．7或﹣7 C．﹣7或1 D．7或1
【答案】D
【解答】解：由条件可知a＝±4，b＝±3，
∵b＜a，
又∵当a＝﹣4时，无论b取3或﹣3，都无法满足b＜a，
∴a＝4，
当a＝4，b＝﹣3时，a+b＝1；
当a＝4，b＝3时，a+b＝7；
综上所述，a+b的值为7或1．
故选：D．
25．数轴上的点A到表示﹣3的点B的距离是10，那么点A表示的数是（　　）
A．7 B．﹣13 C．7或﹣13 D．13或﹣7
【答案】C
【解答】解：根据绝对值的几何意义可知，|A﹣（﹣3）|＝10，即|A+3|＝10．
∴A+3＝10或A+3＝﹣10．
解得：A＝7或A＝﹣13．
故选：C．
26．绝对值小于3.7的所有非负整数的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，绝对值小于3.7的所有非负整数有：0、1、2、3．
故选：B．
27．若一个数的绝对值等于3，那么这个数是 　±3　 ．
【答案】±3
【解答】解：若一个数的绝对值等于3，那么这个数是±3．
故答案为：±3．
28．已知a＜0，且|a|＞1，请写出一个符合条件的a的值：　﹣2（答案不唯一）　 ．
【答案】﹣2（答案不唯一）．
【解答】解：根据题意可知，a＜﹣1，
写出一个符合条件的a的值为﹣2，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
29．已知a，b满足|a﹣3|+|b+4|＝0，则式子（a+b）2025的值是　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵|a﹣3|+|b+4|＝0，
∴a﹣3＝0，b+4＝0，
∴a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1．
故答案为：﹣1．
30．若a是任意的有理数，则式子2025﹣|a﹣2025|的最大值是　2025　 ．
【答案】2025．
【解答】解：当a＞2025时，式子2025﹣|a﹣2025|＝2025﹣（a﹣2025）＝4050﹣a，
∵a＞2025，
∴4050﹣a＜2025；
当a＝2025时，式子2025﹣|a﹣2025|＝2025﹣0＝2025；
当a＜2025时，式子2025﹣|a﹣2025|＝2025﹣（2025﹣a）＝a＜2025；
综上，式子2025﹣|a﹣2025|的最大值是2025．
故答案为：2025．
31．已知|x﹣2|+|y+3|＝0．
（1）求x，y的值；
（2）已知|x+y+z|＝5，求z的值．
【答案】（1）x＝2，y＝﹣3；
（2）6或﹣4．
【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+3|＝0，
又∵|x﹣2|≥0，|y+3|≥0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
∴x＝2，y＝﹣3；
（2）∵|x+y+z|＝5，
∴x+y+z＝±5，
由（1）知x＝2，y＝﹣3，
∴z＝5﹣2﹣（﹣3）＝5﹣2+3＝6或z＝﹣5﹣2﹣（﹣3）＝﹣5﹣2+3＝﹣4，
即z的值为6或﹣4．
32．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．
（1）a＝　2　 ，b＝　﹣3　 ．
（2）在数轴上标出表示，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，得a＝2；
∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3，
∴b＝﹣3；
故答案为：2，﹣3；
（2）﹣|﹣1|＝﹣1，﹣b＝﹣（﹣3）＝3，
在数轴上表示各数，如图：
用“＜”连接各数为：．第2章
2.1 认识有理数
题型1 正数和负数 题型2 有理数
题型3 数轴 题型4 相反数
题型5 绝对值 题型6 非负数的性质：绝对值
题型7 有理数大小比较
题型1 正数和负数
解｜题｜知｜识 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
【变式1】手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　）
A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元
【变式2】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作﹣1000元，那么+1080元表示（　　）
A．支出80元 B．收入80元
C．支出1080元 D．收入1080元
【变式3】通常，12岁男孩正常身高标准为“156±9cm”，则下列身高不符合标准的是（　　）
A．150cm B．158cm C．165cm D．170cm
题型2 有理数
解｜题｜知｜识 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如，，，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1，﹣0.5，0.，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数．
【典例1】在3.14，，，0，0.2020020002中，有理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】在﹣1，+3.5，0，，π，15中，整数共有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】在﹣3，5，π，0，，﹣0.2中，正有理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】下列说法正确的是（　　）
①在+3和+4之间没有正数；
②在0与﹣1之间没有负数；
③在+1和+2之间有很多个正分数；
④在0.1和0.2之间没有正分数．
A．③ B．④ C．①②③ D．③④
题型3 数轴
解｜题｜知｜识 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
【典例1】数轴上表示﹣1的点到原点的距离是（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2
【变式1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　）
A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5
【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．|a|＜|b| B．ab＞0 C．﹣b＞a D．﹣a＜b
【变式3】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数12，且AB＝18，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，PB的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①B对应的数是﹣6；
②点P到达点B时，t＝9；
③BP＝2时，t＝8；
④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
题型4 相反数
解｜题｜知｜识 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
【典例1】﹣6的相反数是（　　）
A．﹣6 B． C．6 D．
【变式1】如果a与﹣2025互为相反数，那么a的值是（　　）
A．﹣2025 B． C． D．2025
【变式2】下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（+2）与+（﹣2） B．与0.5
C．与 D．+（﹣0.1）与+10
【变式3】小宇同学在数轴上表示﹣3时，由于粗心，将﹣3画在了它相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（　　）
A．向左移6个单位 B．向右移6个单位
C．向左移3个单位 D．向右移3个单位
题型5 绝对值
解｜题｜知｜识 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A．﹣3.5 B．+2.5
C．﹣0.6 D．+0.7
【变式1】下列说法不正确的是（　　）
A．一个数的绝对值一定不小于它本身
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．任何数的绝对值都不是负数
D．任何有理数的绝对值都是正数
【变式2】已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中，正确的个数是（　　）①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
题型6 非负数的性质：绝对值
解｜题｜知｜识 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
【典例1】如果|x﹣1|+|y+2|＝0，那么x﹣y的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
【变式1】对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　）
A．|a|是正数 B．﹣a是负数
C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数
【变式2】若|3x﹣1|与|y+1|互为相反数，则xy＝ 　 　 ．
【变式3】式子|﹣a+2023|﹣1的最小值是 　 　 ．
题型7 有理数大小比较
解｜题｜知｜识 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b．
【典例1】数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）
A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a
【变式1】在﹣1，0，1，这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【变式2】比较大小： 　 　 （用“＞或＝或＜”填空）．
【变式3】大于﹣1.5且小于3.5整数共有 　 　 个．
1．下面两个量中，不具有相反意义的是（　　）
A．进三个球和输三场比赛
B．浪费1t水和节约1t水
C．盈利400元和亏损400元
D．上升50m和下降50m
2．在1、﹣2、﹣5.6、、、π中负数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为﹣248，则算筹“”表示的数为（　　）
A．6037 B．﹣6037 C．637 D．﹣637
4．在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00m，小明跳出了2.12m，记为+0.12m；小敏跳出了1.96m，记为 　 　 m．
5．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12
（1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　 　 单；
（2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
（3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
6．在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．下面各数，一个“零”也不读的数是（　　）
A．500600 B．630681 C．40002400 D．7030
8．下列说法错误的是（　　）
A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数
C．有最小的正整数 D．有最大的负有理数
9．最大的负整数与最小的正整数的和是　 　 ．
10．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4
11．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＞0；正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．在数轴上，表示﹣2的点到表示5的点之间的距离是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣3 D．3
13．如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和5cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1
14．点M在数轴上距离原点5个单位长度，若将点M向右移动2个单位长度至N点，则N表示的数是 　 　 ．
15．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣（+0.5）与+（﹣0.5）
C．与 D．+（﹣0.01）与
16．化简﹣（+8）＝　 　 ．
17．已知﹣[﹣（﹣y）]＝4，求﹣y的相反数　 　 ．
18．若x+1的相反数是﹣7，则x＝　 　 ．
19．若a、b互为相反数，则2025+a+1+b＝　 　 ．
20．已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数．
（1）判断a，b，c的正负性；
（2）若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？
21．设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
22．|﹣2025|的相反数是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　）
A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c
24．已知|a|＝4，|b|＝3，且b＜a，则a+b的值为（　　）
A．1或﹣1 B．7或﹣7 C．﹣7或1 D．7或1
25．数轴上的点A到表示﹣3的点B的距离是10，那么点A表示的数是（　　）
A．7 B．﹣13 C．7或﹣13 D．13或﹣7
26．绝对值小于3.7的所有非负整数的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
27．若一个数的绝对值等于3，那么这个数是 　 　 ．
28．已知a＜0，且|a|＞1，请写出一个符合条件的a的值：　 　 ．
29．已知a，b满足|a﹣3|+|b+4|＝0，则式子（a+b）2025的值是　 　 ．
30．若a是任意的有理数，则式子2025﹣|a﹣2025|的最大值是　 　 ．
31．已知|x﹣2|+|y+3|＝0．
（1）求x，y的值；
（2）已知|x+y+z|＝5，求z的值．
32．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）在数轴上标出表示，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来．

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