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第1章
1.1 生活中的立体图形
题型1 认识立体图形 题型2 点、线、面、体
题型1 认识立体图形
解｜题｜知｜识 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
【典例1】下列几何体中，属于棱柱的有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【变式1】如图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　）
A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥
【变式2】下列实物中，能抽象成圆柱体的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】用一根长48cm的铁丝围成一个正方体框架（接口处忽略不计），这个正方体的体积是（　　）立方厘米．
A．64 B．96 C．192 D．216
题型2 点、线、面、体
解｜题｜知｜识 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
【典例1】如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】如图中花瓶的表面可以大致看成由以下哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式3】电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
1．下列选项中，说法错误的是（　　）
A．直三棱柱的侧面是长方形
B．长方体、正方体都是四棱柱
C．圆锥由一个平面和一个曲面围成
D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点
2．下列图形中，属于立体图形的有（　　）个．
（1）正方形；（2）圆；（3）棱柱；（4）圆锥；（5）六边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（　　）
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体
B．圆柱、球、正方体、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱
D．棱柱、圆锥、棱柱、长方体
4．一个长是8分米，宽是6分米，高是5分米的长方体中最多能放（　　）个棱长是2分米的正方体．
A．36 B．30 C．24 D．12
5．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（　　）
A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形
6．下列几何体中，是六面体的为（　　）
A． B．
C． D．
7．如果一个n棱柱总共有24条棱，那么这个n棱柱有　 　 个顶点．
8．若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于56，则每条侧棱的长为　 　 ．
9．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有　 　 个，2个面涂色的有　 　 个．
10．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱，则与九棱锥的棱数相等的棱柱是　 　 ．
11．把一个棱长是6cm的正方体木块削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是　 　 cm3．
12．一个长是7dm，宽是5dm，高是65cm的鱼缸，里面装有25cm高的水．再装入一些石子后水溢出12.5L，这些石子的体积有多少立方分米？
13．棱长6厘米的正方体，表面积等于它的棱长和（　 　 ）（判断对错）
14．“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面面相交成线
15．如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
16．下面现象说明“线动成面”的是（　　）
A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线
C．天空划过一道流星
D．汽车雨刷在挡风玻璃上面划出的痕迹
17．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　）
A．打开折扇 B．流星划过夜空
C．旋转门旋转 D．汽车雨刷转动
18．将图中的三角形绕虚线旋转一周，所得的几何体是（　　）
A． B． C． D．
19．如图，长方形的长为3cm，宽为2cm，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作V甲、V乙（），则下列关系正确的是（　　）
A．V甲＞V乙 B．V甲＝V乙 C．2V甲＝V乙 D．V甲＜V乙
20．下列说法不正确的是（　　）
A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面
B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有两条面与面的交线
C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线
D．在中国地图上，锦州可被看作一个点
21．将直角边分别为3和4的一个直角三角形，绕直角边旋转一周所得的立体图形的体积最小为　 　 ．（结果保留π）．
22．生活中有如下现象：
①用钢笔写字；
②银行大堂的旋转门旋转一周；
③黑板擦在黑板上擦出一片干净区域；
④抛出一块石子，石子在空中飞行的路线；
⑤硬币立在桌面上旋转一周；
⑥车轮上的钢条绕轴转动．
其中能说明“点动成线”的有 　 　 ；
能说明“线动成面”的有 　 　 ；
能说明“面动成体”的有 　 　 ．
23．2024年12月19日上午，湘西土家族苗族自治州溶江中学举办“奔跑吧 少年”体育大课间比赛，225名老师和3620名学生精神饱满、步伐一致，跑出“体教融合”加速度．在比赛中，学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为　 　 ．
24．将图中的直角三角形ABC以直角边所在的直线为轴旋转一周，所得图形的体积是 　 　 ．
25．如图所示的是由直角三角形和正方形拼成的四边形．
（1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是　 　 （填序号）．
①点动成线； ②线动成面； ③面动成体．
（2）求得到的立体图形的体积（结果保留π）．
26．直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，以3cm的直角边为轴旋转一周，可得到一个　 　 体，体积是　 　 cm3．
27．如图1，把一张长10cm、宽6cm的长方形纸板分成两个相同的直角三角形（圆锥的体积公式为，π取3.14）．
（1）甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？
（2）乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？第1章
1.1 生活中的立体图形
题型1 认识立体图形 题型2 点、线、面、体
题型1 认识立体图形
解｜题｜知｜识 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
【典例1】下列几何体中，属于棱柱的有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【解答】D
【分析】本题考查的是立体图形的认识；
根据棱柱的概念、结合图形解得即可．
认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥是解题的关键．
【详解】解：第一、第三、第六个几何体是棱柱，共有3个．
故选：D．
【变式1】如图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　）
A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥
【答案】D
【解答】解：如图是美术素描常用的几何体模型，则：
该几何体模型，有几何体：球，正方体，圆柱，棱锥，没有圆锥．
故选：D．
【变式2】下列实物中，能抽象成圆柱体的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A，抽象出来是六棱柱，不合题意；
B，抽象出来是球，不合题意；
C，抽象出来是圆柱，符合题意；
D，抽象出来是圆锥，不合题意．
故选：C．
【变式3】用一根长48cm的铁丝围成一个正方体框架（接口处忽略不计），这个正方体的体积是（　　）立方厘米．
A．64 B．96 C．192 D．216
【答案】A
【解答】解：用一根长48cm的铁丝围成一个正方体框架（接口处忽略不计），
棱长：48÷12＝4（cm），
体积为：4×4×4＝64（cm3）．
故选：A．
题型2 点、线、面、体
解｜题｜知｜识 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
【典例1】如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：把直角三角形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是圆柱体中间去掉等底等高的圆锥体．
故选：B．
【变式1】将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：长方形绕轴旋转一周可得到圆柱，A不符合题意；
半圆绕轴旋转一周可得到球体，B不符合题意；
C选项绕轴旋转一周可得到一个中间空心的几何体，不符合题意；
D选项绕轴旋转一周可得到图中所示的立体图形，符合题意；
故选：D．
【变式2】如图中花瓶的表面可以大致看成由以下哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：根据花瓶的形状可知，只有C选项图形绕虚线旋转一周得到花瓶，其他选项不符合题意，
故选：C．
【变式3】电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
【答案】B
【解答】解：说明了线动成面，
故选：B．
1．下列选项中，说法错误的是（　　）
A．直三棱柱的侧面是长方形
B．长方体、正方体都是四棱柱
C．圆锥由一个平面和一个曲面围成
D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点
【答案】D
【解答】解：A．直三棱柱的侧面是长方形，因此选项A不符合题意；
B．长方体、正方体都是四棱柱，因此选项B不符合题意；
C．圆锥由一个平面和一个曲面围成，因此选项C不符合题意；
D．六棱柱有18条棱、6个侧面、12个顶点，因此选项D符合题意．
故选：D．
2．下列图形中，属于立体图形的有（　　）个．
（1）正方形；（2）圆；（3）棱柱；（4）圆锥；（5）六边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度；平面图形是二维图形，只有长度和宽度可得：
正方形是平面图形，圆是平面图形，棱柱是立体图形，圆锥是立体图形，六边形是平面图形﹒
故选：B．
3．与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（　　）
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体
B．圆柱、球、正方体、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱
D．棱柱、圆锥、棱柱、长方体
【答案】B
【解答】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是圆柱、球、正方体、长方体．
故选：B．
4．一个长是8分米，宽是6分米，高是5分米的长方体中最多能放（　　）个棱长是2分米的正方体．
A．36 B．30 C．24 D．12
【答案】C
【解答】解：沿着长边最多可摆8÷2＝4（个），沿着宽边最多可摆6÷2＝3（个），沿着高最多可摆5÷2≈2（个），
所以最多可摆的小正方体的个数为4×3×2＝24（个），
故选：C．
5．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（　　）
A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【解答】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形．
故选：D．
6．下列几何体中，是六面体的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．长方体有6个面，是六面体，故A符合题意；
B．四棱锥有5个面，不是六面体，故B不符合题意；
C．圆锥不是多面体，也不是六面体，故C不符合题意；
D．圆柱不是多面体，也不是六面体，故D不符合题意；
故选：A．
7．如果一个n棱柱总共有24条棱，那么这个n棱柱有　16　 个顶点．
【答案】16．
【解答】解：∵一个n棱柱总共有24条棱，
∴n＝24÷3＝8，
即这个n棱柱是八棱柱，
八棱柱有8×2＝16个顶点，
故答案为：16．
8．若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于56，则每条侧棱的长为　7　 ．
【答案】7．
【解答】解：若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于56，
∵这个棱柱有10个面，
∴这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，
∵所有侧棱的和为56，
∴每条侧棱长为56÷8＝7；
故答案为：7．
9．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有　4　 个，2个面涂色的有　20　 个．
【答案】4，20．
【解答】解：根据题意只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：1×4＝4（个），
2个面涂色有：2×4+3×4
＝8+12
＝20（个），
所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个．
故答案为：4，20．
10．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱，则与九棱锥的棱数相等的棱柱是　六棱柱　 ．
【答案】六棱柱．
【解答】解：∵九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9＝18条棱，六棱柱的棱数有3×6＝18条棱，
∴九棱锥的棱数相等的棱柱是六棱柱．
故答案为：六棱柱．
11．把一个棱长是6cm的正方体木块削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是　56.52　 cm3．
【答案】56.52
【解答】解：
＝56.52（立方厘米），
故答案为：56.52．
12．一个长是7dm，宽是5dm，高是65cm的鱼缸，里面装有25cm高的水．再装入一些石子后水溢出12.5L，这些石子的体积有多少立方分米？
【答案】152.5立方分米．
【解答】解：一个长是7dm，宽是5dm，高是65cm的鱼缸，里面装有25cm高的水，则：
65cm＝6.5dm，25cm＝2.5dm，12.5L＝12.5dm3，
7×5×（6.5﹣2.5）＝140（dm3），
140+12.5＝152.5（dm3）．
答：石子的体积有152.5立方分米．
13．棱长6厘米的正方体，表面积等于它的棱长和（　×　 ）（判断对错）
【答案】×．
【解答】解：由题意可得：
表面积＝6×6×6＝216（平方厘米），
棱长总和＝12×6＝72（厘米），
表面积和棱长和的数量不同，且单位也不同．
故答案为：×．
14．“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面面相交成线
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线．
故选：A．
15．如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：观察如图，几何体可能是：空心的圆柱体．
故选：D．
16．下面现象说明“线动成面”的是（　　）
A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线
C．天空划过一道流星
D．汽车雨刷在挡风玻璃上面划出的痕迹
【答案】D
【解答】解：A、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹是“面动成体”，故本选项错误；
B、扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是“点动成线”，故本选项错误；
C、天空划过一道流星是“点动成线”，故本选项错误；
D、汽车雨刷在挡风玻璃上面划出的痕迹是“线动成面”，故本选项正确．
故选：D．
17．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　）
A．打开折扇 B．流星划过夜空
C．旋转门旋转 D．汽车雨刷转动
【答案】C
【解答】解：根据点动成线，线动成面，面动成体的原理逐项判断如下：
A、打开折扇：折扇的扇骨（线）转动形成面，属于“线动成面”，则此项不符合题意；
B、流星划过夜空：流星（点）移动形成轨迹（线），属于“点动成线”，则此项不符合题意；
C、旋转门旋转：门扇（平面）绕轴旋转形成圆柱体，属于“面动成体”，则此项符合题意；
D、汽车雨刷转动：雨刷（线）转动形成扇形面，属于“线动成面”，则此项不符合题意；
故选：C．
18．将图中的三角形绕虚线旋转一周，所得的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知，该图应是圆锥和圆锥的组合体．
故选：C．
19．如图，长方形的长为3cm，宽为2cm，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作V甲、V乙（），则下列关系正确的是（　　）
A．V甲＞V乙 B．V甲＝V乙 C．2V甲＝V乙 D．V甲＜V乙
【答案】D
【解答】解：当以长为轴旋转时，V，
当以宽为轴旋转时，V，
∴V甲＜V乙，
故选：D．
20．下列说法不正确的是（　　）
A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面
B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有两条面与面的交线
C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线
D．在中国地图上，锦州可被看作一个点
【答案】B
【解答】解：A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面，故不符合题意；
B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有3条面与面的交线，故符合题意；
C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线，故不符合题意；
D．在中国地图上，锦州可被看作一个点，故不符合题意．
故选：B．
21．将直角边分别为3和4的一个直角三角形，绕直角边旋转一周所得的立体图形的体积最小为　12π　 ．（结果保留π）．
【答案】12π．
【解答】解：根据题意，分类讨论如下：
①，
②；即最小体积是12π．
故答案为：12π．
22．生活中有如下现象：
①用钢笔写字；
②银行大堂的旋转门旋转一周；
③黑板擦在黑板上擦出一片干净区域；
④抛出一块石子，石子在空中飞行的路线；
⑤硬币立在桌面上旋转一周；
⑥车轮上的钢条绕轴转动．
其中能说明“点动成线”的有 　①④　 ；
能说明“线动成面”的有 　③⑥　 ；
能说明“面动成体”的有 　②⑤　 ．
【答案】①④；③⑥；②⑤．
【解答】解：能说明“点动成线”的有①④；能说明“线动成面”的有③⑥；能说明“面动成体”的有②⑤．
故答案为：①④；③⑥；②⑤．
23．2024年12月19日上午，湘西土家族苗族自治州溶江中学举办“奔跑吧 少年”体育大课间比赛，225名老师和3620名学生精神饱满、步伐一致，跑出“体教融合”加速度．在比赛中，学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为　线动成面　 ．
【答案】线动成面．
【解答】解：根据点、线、面、体之间的关系可得：
在比赛中，学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为线动成面，
故答案为：线动成面．
24．将图中的直角三角形ABC以直角边所在的直线为轴旋转一周，所得图形的体积是 　18πcm3或36πcm3 ．
【答案】18πcm3或36πcm3．
【解答】解：①以直角边AB所在直线为轴旋转一周，可得到一个店面半径为3cm，高为6cm圆锥体，
所以体积为：；
②以直角边BC所在直线为轴旋转一周，可得到一个店面半径为6cm，高为3cm圆锥体，
所得图形的体积是：；
故答案为：18πcm3或36πcm3．
25．如图所示的是由直角三角形和正方形拼成的四边形．
（1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是　③　 （填序号）．
①点动成线； ②线动成面； ③面动成体．
（2）求得到的立体图形的体积（结果保留π）．
【答案】（1）③；
（2）39π cm3．
【解答】解：（1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，所说明的事实是面动成体，
故答案为：③；
（2）由题意得，所得到的几何体的体积为底面半径为3cm、高为（3+2）＝5cm的圆柱与底面半径为3cm、高为2cm的圆锥的体积差．
π×32×5π×32×2
＝45π﹣6π
＝39π（cm3），
答：得到的立体图形的体积为39π cm3．
26．直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，以3cm的直角边为轴旋转一周，可得到一个　圆锥　 体，体积是　50.24　 cm3．
【答案】圆锥；50.24．
【解答】解：根据圆锥的体积公式得．
故答案为：圆锥，50.24．
27．如图1，把一张长10cm、宽6cm的长方形纸板分成两个相同的直角三角形（圆锥的体积公式为，π取3.14）．
（1）甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？
（2）乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）甲三角形旋转一周可以形成一个圆锥，
它的体积是 376.8立方厘米．
（2）乙三角形旋转一周可以形成一个圆柱，里面被挖去一个圆锥，
它的体积是 753.6立方厘米．
【解答】解：（1）甲三角形旋转一周可以形成一个圆锥，
它的体积是 ．
（2）乙三角形旋转一周可以形成一个圆柱，里面被挖去一个圆锥，
它的体积是 ．

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