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第2章
2.5 有理数的混合运算
题型1 有理数的混合运算 题型2 计算器—有理数
题型1 有理数的混合运算
解｜题｜知｜识 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
【典例1】二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（102）3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30＝11．现有二进制数a＝（11101）2、三进制数b＝（1010）3，那么a、b的大小关系是（　　）
A．a＜b B．b＜a C．a＝b D．不能确定
【答案】A
【解答】解：a＝（11101）2用十进制表示为1×24+1×23+1×22+0×21+1×20＝29，
b＝（1010）3用十进制表示为1×33+0×32+1×31+0×30＝30，
∵29＜30，
∴a＜b，
故选：A．
【变式1】我们定义一种运算：，例如，，按照这种定义的运算，当时，x＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意得2（1）﹣2x＝x﹣1+4，
整理得：﹣x﹣2＝x+1，
解得：x，
故选：A．
【变式2】我们常用的十进制，如；2025＝2×103+0×102+2×101+5，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中111＝1×22+1×21+1．相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　）
A．10011 B．11001 C．11010 D．11101
【答案】B
【解答】解：根据二进制的表示方法可知，25＝1×24+1×23+0×22+0×21+1，
故十进制中的25相当于二进制中的11001．
故选：B．
【变式3】干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为（2000﹣3）÷10＝199……7；地支为（2000﹣3）÷12＝166……5；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
依据上述规律推断2025年为农历（　　）年．
A．乙巳 B．戊申 C．乙申 D．戊巳
【答案】A
【解答】解：天干为：（2025﹣3）÷10＝202……2；
地支为：（2025﹣3）÷12＝168……6，
所以2025年应为乙巳年．
故选：A．
题型2 计算器—有理数
解｜题｜知｜识 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
【典例1】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，则显示|x1﹣x2|的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（　　）；
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：依次输入2，3，6，
于是得到|2﹣3|＝1，|1﹣6|＝5；
依次输入2，6，3，
于是得到|2﹣6|＝4，|4﹣3|＝1；
依次输入3，2，6，
于是得到|3﹣2|＝1，|1﹣6|＝5；
依次输入3，6，2，
于是得到|3﹣6|＝3，|3﹣2|＝1；
依次输入6，3，2，
于是得到|6﹣3|＝3，|3﹣2|＝1；
依次输入6，2，3，
于是得到|6﹣2|＝4，|4﹣3|＝1；
综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5．
故选：C．
【变式1】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】C
【解答】解：不妨设a＞b＞2，
∵输入的三个数为a，b，2，
∴第一次输入后显示的结果为：|a﹣b|或|a﹣2|或|b﹣2|，
第二次输入后显示的结果为：
k1＝||a﹣b|﹣2|＝|a﹣b﹣2|或k2＝||a﹣2|﹣b|＝|a﹣b﹣2|或k3＝||b﹣2|﹣a|＝|b﹣a﹣2|，
∵k的最大值为2025，
∵b﹣a＜0，
∴k3最大，
∴k＝|b﹣a﹣2|＝2025，
∴b﹣a＝﹣2023或2027，
∵a＞b，
∴b﹣a＝﹣2023，
∴a﹣b＝2023，
∴k1＝k1＝||a﹣b|﹣2|＝|a﹣b﹣2|＝2021，
∴k的最小值是2021，
故选：C．
1．有下列计算：①0﹣（﹣8）＝﹣8；②（﹣13）﹣|﹣13|＝0；③；④，其中计算正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：根据有理数的运算法则逐项分析判断如下：
①0﹣（﹣8）＝0+8＝8，故原式计算错误，不符合题意；
②（﹣13）﹣|﹣13|＝（﹣13）﹣13＝﹣26，故原式计算错误，不符合题意；
③，故原式计算正确，符合题意；
④，故原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
2．2025年10月11日上午，青岛市第36届“市长杯”校园足球联赛开幕式在青岛举行．本次开幕式以“悦动青春 逐梦绿茵”为主题，来自全市34所中小学校的1400余名中小学生通过文体和足球项目展演，集中展现了我市校园足球和体育、美育育人成果，以及学生昂扬向上的青春风采．其中第一阶段18支球队被分为3个小组（每组6支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方学校的主场和另一方学校的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为（　　）
A．45 B．90 C．153 D．306
【答案】B
【解答】解：每支球队需与其他5支球队各赛2场，
每队比赛5×2＝10（场），
6支球队共比赛6×10＝60（场），
单循环比赛为60÷2＝30（场），
30×3＝90（场）．
故选：B．
3．计算（　　）
A．6x+2y B．6x+2y C．6x+2y D．6x+y2
【答案】B
【解答】解：求几个相同加数的运算，叫做乘法，和乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方据此可得：
，
故选：B．
4．进位制是人们在计数和运算时约定的计数系统，十进制就是逢十进一，逢二进一就是二进制，常在数的右下角标明基数（十进制通常不标基数）把十进制数15转换成二进制等于（　　）
A．11112 B．11102 C．11012 D．10112
【答案】A
【解答】解：运用题例逆用二进制换算十进制的方法计算可得：
15＝1×23+1×22+1×21+1×20＝（1111）2，
故选：A．
5．下列说法中，正确的个数是（　　）
①若||，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；
④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：若||，则a＞0，故①错误，不合题意；
若|a|＞|b|，
则a＞b＞0或a＞0＞b＞﹣a或﹣a＞b＞0＞a或0＞b＞a，
当a＞b＞0时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，
当a＞0＞b＞﹣a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，
当﹣a＞b＞0＞a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，
当0＞b＞a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，
由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0是正数，故②正确，符合题意；
A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2或﹣10或14，故③错误，不合题意；
若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019，故④错误，不合题意；
∵a+b+c＝0，abc＜0，
∴a、b、c中一定是一负两正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
不妨设a＞0，b＞0，c＜0，
∴
＝﹣1﹣1+1
＝﹣1，故⑤错误，不合题意；
故选：A．
6．定义一种新运算：a※b＝a﹣b+ab，如2※（﹣3）＝2﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝2+3﹣6＝﹣1，则（﹣5）※4的值为（　　）
A．﹣29 B．﹣11 C．11 D．29
【答案】A
【解答】解：（﹣5）※4＝﹣5﹣4+（﹣5）×4＝﹣5﹣4﹣20＝﹣29．
故选：A．
7．40×（25+8）＝40×25+40×8运用了乘法（　　）
A．交换律 B．结合律
C．分配律 D．交换律和结合律
【答案】C
【解答】解：∵40×（25+8）＝40×25+40×8，
∴上述式子运用了乘法分配律，
即40×（25+8）＝40×25+40×8运用了乘法分配律，
故选：C．
8．下列计算结果为0的是（　　）
A．3﹣（﹣3） B．﹣|﹣3|﹣3
C．1+（﹣1）2005 D．﹣22﹣（﹣2）2
【答案】C
【解答】解：3﹣（﹣3）＝3+3＝6，故选项A不符合题意；
﹣|﹣3|﹣3＝﹣3﹣3＝﹣6，故选项B不符合题意；
1+（﹣1）2005＝1+（﹣1）＝0，故选项C符合题意；
﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，故选项D不符合题意；
故选：C．
9．数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和筒洁性．在数学中，记1+2+3+…+（n﹣1）+n．1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，…，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×3×2×1．则的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解答】解：原式＝1+2+3+…+2023+2024﹣（1+2+3+…+2024+2025）
＝1+2+3+…+2023+2024﹣1﹣2﹣3﹣…﹣2024﹣2025+2025
＝﹣2025+2025
＝0，
故选：B．
10．数学里，通常把式子叫做二阶行列式，并规定它的运算法则为，如，那么计算的结果为（　　）
A．23 B．﹣23 C．39 D．﹣39
【答案】B
【解答】解：根据新定义运算法则计算可知
，，
∴原式＝﹣16﹣7＝﹣23，
故选：B．
11．在《说文解字 序》中提及“神农氏结绳为治，而统其事”．有一位神农氏时代的村民．用结绳来记录猎物的数量．他的方法是“从右往左，满五进一”（如图），第三幅图表示（　　）只猎物．
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解答】解：根据“满五进一”可知：图示为五进制数，第一幅图中左边代表1个五，右边代表1个一，所以第一幅图表示1×5+1＝5+1＝6（只）；
第二幅图中左边代表2个五，右边代表1个一，所以第二幅图表示：2×5+1＝10+1＝11（只）；
同理可以推出第三幅图中左边代表3个五，右边代表2个一，所以第三幅图表示：3×5+2＝15+2＝17（只），
即第三幅图表示17只猎物，
故选：B．
12．数a、b、c在数轴上的位置如图所示．下面式子的结果与数c最接近的是（　　）
A．b÷a B．a×b C．a+b D．b﹣a
【答案】B
【解答】解：由图不妨假设a＝0.4，b＝1.8，c＝0.7，
A、b÷a＝1.8÷0.4＝4.5，不符合题意；
B、a×b＝0.4×1.8＝0.72，符合题意；
C、a+b＝0.4+1.8＝2.2，不符合题意；
D、b﹣a＝1.8﹣0.4＝1.4，不符合题意；
故选：B．
13．计算：　　 ．
【答案】．
【解答】解：
．
故答案为：．
14．定义：一种对于三位数abc（其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零），例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为　6174　 ．
【答案】6174．
【解答】解：一种对于三位数abc（其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同）的“F运算”：
设这个四位数为，（9＞a≥b≥c≥d＞0），
∴最大数为M＝1000a+100b+10c+d，最小数为m＝1000d+100c+10b+a，
∴进行“F运算”得：M﹣m＝1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100c+10b+a）＝999（a﹣d）+90（b﹣c）＝9[111（a﹣d）+10（b﹣c）]，
∴这个定值一定是9的倍数，
可以以这个四位数为1000为例，依次进行“F运算”得：
①1000﹣0001＝0999，
②9990﹣0999＝8991，
③9981﹣1899＝8082，
④8820﹣0288＝8532，
⑤8532﹣2358＝6174，
⑥7641﹣1467＝6174
…
∵6174是9的倍数，
∴这个定值为6174，
故答案为：6174．
15．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 　8　 ．
【答案】8
【解答】解：（﹣2）*2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8，
故答案为：8．
16．学习情境 新定义定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵，
∴
＝（3×4） （）
＝12
＝3．
故答案为：3．
17．用“→”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a←b＝﹣a和a→b＝b，例如：3←2＝﹣3，3→2＝2，则（2025←2023）←（2023→2024）＝　2025　 ．
【答案】2025．
【解答】解：（2025←2023）←（2023→2024）
＝（﹣2025）←2024
＝2025．
故答案为：2025．
18．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣97；（2）﹣3．
【解答】解：（1）
＝﹣96﹣1
＝﹣97；
（2）
＝﹣1﹣（16﹣18+4）
＝﹣1﹣2
＝﹣3．
19．老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，如图所示：
（1）按如图运算程序填写表格，根据计算你发现了什么规律？
输入x 1 ﹣2 ﹣1 …
输出 5 5 　5　 　5　 …
（2）请说明你发现的规律是正确的．
【答案】（1）5，5；
（2）发现的规律是输出的结果都是5．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝[（﹣1）×2﹣3]+[（﹣1）﹣4]×（﹣2）＝5，
当x时，y＝（2﹣3）+（4）×（﹣2）＝5，
故答案为：5，5；
（2）发现的规律是输出的结果都是5，
理由：y＝2x﹣3+（x﹣4）×（﹣2）
＝2x﹣3﹣2x+8
＝5，
故发现的规律是输出的结果都是5．
20．有10筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表：
与标准质量的差值（单位：千克） ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 0 1 1.5
筐数 1 2 3 1 2 1
（1）10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重　3.5　 千克．
（2）这10筐白菜实际总重量为多少千克？
【答案】（1）3.5；
（2）这10筐白菜实际总重量为248千克．
【解答】解：（1）1.5﹣（﹣2）
＝1.5+2
＝3.5（千克），
即10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重3.5千克，
故答案为：3.5；
（2）25×10+（﹣2×1﹣1×2﹣0.5×3+0×1+1×2+1.5×1）
＝250﹣2
＝248（千克），
即这10筐白菜实际总重量为248千克．
21．对于任意有理数m，n定义一种新运算：m n＝（n﹣m）﹣|m+n|．
（1）若a＝﹣6，b＝7，求a b的值；
（2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x y] （﹣1）的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵m n＝（n﹣m）﹣|m+n|，
∴a b＝（﹣6） 7＝[7﹣（﹣6]﹣|﹣6+7|＝13﹣1＝12，
即：a b＝12；
（2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，
∴点B表示的数为﹣8或6，
∴x＝﹣8或6，
∵y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，
∴y＝5，
当x＝﹣8时，x y＝（﹣8） 5＝（5+8）﹣|﹣8+5|＝13﹣3＝10，
∴[x y] （﹣1）＝10 （﹣1）＝（﹣1﹣10）﹣|10+（﹣1）|＝﹣11﹣9＝﹣20，
当x＝6时，x y＝6 5＝（5﹣6）﹣|6+5|＝﹣1﹣11＝﹣12，
∴[x y] （﹣1）＝（﹣12） （﹣1）＝（﹣1+12）﹣|﹣12+（﹣1）|＝11﹣13＝﹣2，
综上所述，[x y] （﹣1）＝﹣20或﹣2．
22．某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣6 +6 ﹣3
（1）根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期 　四　 ；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵+13＞+6＞+5＞﹣2＞﹣3＞﹣4＞﹣6，
∴该厂生产风筝最多的一天是星期四．
故答案为：四；
（2）+13﹣（﹣6）＝13+6＝19（只），
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝；
（3）5﹣2﹣4+13﹣6+6﹣3＝9（只），
（7×100+9）×20+9×5＝14180+45＝14225（元），
答：该厂工人这一周的工资总额是14225元．
23．计算：
（1）12﹣（+5）+（﹣8）﹣（﹣7）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）12﹣（+5）+（﹣8）﹣（﹣7）
＝12+（﹣5）+（﹣8）+7
＝6；
（2）
＝4（1﹣9）×2
＝9﹣（﹣8）×2
＝9+16
＝25．
24．计算：
（1）（﹣0.5）﹣（﹣3.2）+（+2.8）﹣（+6.5）；
（2）．
【答案】（1）﹣1；
（2）6．
【解答】解：（1）（﹣0.5）﹣（﹣3.2）+（+2.8）﹣（+6.5）
＝﹣0.5+3.2+2.8﹣6.5
＝（﹣0.5﹣6.5）+（3.2+2.8）
＝﹣7+6
＝﹣1；
（2）
＝﹣3+12﹣3
＝6．第2章
2.5 有理数的混合运算
题型1 有理数的混合运算 题型2 计算器—有理数
题型1 有理数的混合运算
解｜题｜知｜识 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
【典例1】二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（102）3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30＝11．现有二进制数a＝（11101）2、三进制数b＝（1010）3，那么a、b的大小关系是（　　）
A．a＜b B．b＜a C．a＝b D．不能确定
【变式1】我们定义一种运算：，例如，，按照这种定义的运算，当时，x＝（　　）
A． B． C． D．
【变式2】我们常用的十进制，如；2025＝2×103+0×102+2×101+5，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中111＝1×22+1×21+1．相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　）
A．10011 B．11001 C．11010 D．11101
【变式3】干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为（2000﹣3）÷10＝199……7；地支为（2000﹣3）÷12＝166……5；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
依据上述规律推断2025年为农历（　　）年．
A．乙巳 B．戊申 C．乙申 D．戊巳
题型2 计算器—有理数
解｜题｜知｜识 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
【典例1】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，则显示|x1﹣x2|的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（　　）；
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式1】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
1．有下列计算：①0﹣（﹣8）＝﹣8；②（﹣13）﹣|﹣13|＝0；③；④，其中计算正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．2025年10月11日上午，青岛市第36届“市长杯”校园足球联赛开幕式在青岛举行．本次开幕式以“悦动青春 逐梦绿茵”为主题，来自全市34所中小学校的1400余名中小学生通过文体和足球项目展演，集中展现了我市校园足球和体育、美育育人成果，以及学生昂扬向上的青春风采．其中第一阶段18支球队被分为3个小组（每组6支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方学校的主场和另一方学校的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为（　　）
A．45 B．90 C．153 D．306
3．计算（　　）
A．6x+2y B．6x+2y C．6x+2y D．6x+y2
4．进位制是人们在计数和运算时约定的计数系统，十进制就是逢十进一，逢二进一就是二进制，常在数的右下角标明基数（十进制通常不标基数）把十进制数15转换成二进制等于（　　）
A．11112 B．11102 C．11012 D．10112
5．下列说法中，正确的个数是（　　）
①若||，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；
④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．定义一种新运算：a※b＝a﹣b+ab，如2※（﹣3）＝2﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝2+3﹣6＝﹣1，则（﹣5）※4的值为（　　）
A．﹣29 B．﹣11 C．11 D．29
7．40×（25+8）＝40×25+40×8运用了乘法（　　）
A．交换律 B．结合律
C．分配律 D．交换律和结合律
8．下列计算结果为0的是（　　）
A．3﹣（﹣3） B．﹣|﹣3|﹣3
C．1+（﹣1）2005 D．﹣22﹣（﹣2）2
9．数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和筒洁性．在数学中，记1+2+3+…+（n﹣1）+n．1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，…，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×3×2×1．则的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．数学里，通常把式子叫做二阶行列式，并规定它的运算法则为，如，那么计算的结果为（　　）
A．23 B．﹣23 C．39 D．﹣39
11．在《说文解字 序》中提及“神农氏结绳为治，而统其事”．有一位神农氏时代的村民．用结绳来记录猎物的数量．他的方法是“从右往左，满五进一”（如图），第三幅图表示（　　）只猎物．
A．16 B．17 C．18 D．19
12．数a、b、c在数轴上的位置如图所示．下面式子的结果与数c最接近的是（　　）
A．b÷a B．a×b C．a+b D．b﹣a
13．计算：　　 ．
14．定义：一种对于三位数abc（其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零），例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为　6174　 ．
15．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ 　8　 ．
16．学习情境 新定义定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　3　 ．
17．用“→”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a←b＝﹣a和a→b＝b，例如：3←2＝﹣3，3→2＝2，则（2025←2023）←（2023→2024）＝　2025　 ．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，如图所示：
（1）按如图运算程序填写表格，根据计算你发现了什么规律？
输入x 1 ﹣2 ﹣1 …
输出 5 5 　5　 　5　 …
（2）请说明你发现的规律是正确的．
20．有10筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表：
与标准质量的差值（单位：千克） ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 0 1 1.5
筐数 1 2 3 1 2 1
（1）10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重　3.5　 千克．
（2）这10筐白菜实际总重量为多少千克？
21．对于任意有理数m，n定义一种新运算：m n＝（n﹣m）﹣|m+n|．
（1）若a＝﹣6，b＝7，求a b的值；
（2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x y] （﹣1）的值．
22．某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣6 +6 ﹣3
（1）根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期 　四　 ；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
23．计算：
（1）12﹣（+5）+（﹣8）﹣（﹣7）；
（2）．
24．计算：
（1）（﹣0.5）﹣（﹣3.2）+（+2.8）﹣（+6.5）；
（2）．

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