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第3章
3.2 整式的加减
题型1 同类项 题型2 合并同类项
题型3 去括号与添括号 题型4 整式的加减
题型5 整式的加减—化简求值
题型1 同类项
解｜题｜知｜识 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项．
【典例1】下列说法中正确的是（　　）
A．是单项式
B．﹣2πx的系数是﹣2
C．2xy+（x﹣1）是二次二项式
D．3x2y与是同类项
【变式1】如果单项式﹣xa+1y3与8ybx2是同类项，那么a，b的值分别为（　　）
A．2，3 B．1，2 C．2，2 D．1，3
【变式2】下列说法正确的是（　　）
A．多项式2x3﹣4x﹣3的常数项是3
B．的次数是6
C．﹣4x2y的系数是﹣4
D．1与不是同类项
【变式3】多项式3xm+4y4与单项式x3yn是同类项，则mn的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
题型2 合并同类项
解｜题｜知｜识 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
【典例1】下列计算中正确的是（　　）
A．2+3a＝5a B．7x﹣6x＝1
C．2m+m＝2m2 D．﹣a2b+2ba2＝a2b
【变式1】若单项式﹣2a2b与某个单项式合并同类项后结果为﹣7a2b，则这个单项式是（　　）
A．﹣5a2b B．﹣5 C．﹣9ab2 D．
【变式2】下列说法：
①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1；
②若2a2与3ax+1的和是单项式，则x＝1；
③若|x|＝|﹣7|，则x＝﹣7；
④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1．
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】下列式子变形正确的是（　　）
A．﹣（m+2）＝﹣m+2 B．3m﹣6m＝﹣3m
C．2（a+b）＝2a+b D．π﹣3＝3﹣π
题型3 去括号与添括号
解｜题｜知｜识 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验．
【典例1】去括号等于a﹣b+c的是（　　）
A．a﹣（b+c） B．a﹣（b﹣c） C．a+（b﹣c） D．a+（b+c）
【变式1】下列去括号正确的是（　　）
A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c
C．x+2（y﹣z）＝x+2y+2z D．x﹣2（y﹣z）＝x﹣2y+z
【变式2】下列关系式与此线段图不相符的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】下列去括号或添括号正确的是（　　）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a﹣2（b﹣c）＝a﹣2b+2c
C．﹣3b+2c﹣d＝﹣（3b+2c﹣d）
D．2x﹣x2+y2＝2x+（﹣x2﹣y2）
题型4 整式的加减
解｜题｜知｜识 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
【典例1】若关于x的多项式﹣10x2+3x﹣1与2x3+2ax2﹣2x的和不含二次项，则a的值为（　　）
A．4 B．﹣5 C．5 D．﹣4
【变式1】已知a＝2b﹣1，下列式子：a+2＝2b+1；；3a＝6b﹣1；a﹣2b﹣1＝0．其中一定成立的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（　　）
A．2a﹣3b B．2a﹣4b C．4a﹣10b D．4a﹣8b
【变式3】如图所示的一个大长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为C1，C2，C3，C4，长方形⑤的周长为C5，整个大长方形的周长为C，则下列关系式不正确的是（　　）
A．C1+C2＝C3 B．C＝2C5
C．C1+2C2＝C4 D．C1+C2+C5＝C
题型5 整式的加减—化简求值
解｜题｜知｜识 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
【典例1】如果x﹣3y＝2，那么代数式x﹣3y﹣3（y﹣x）﹣2（x+1）的值为　 　 ．
【变式1】已知代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为　 　 ．
【变式2】计算：
（1）；
（2）6÷（﹣3）×（2﹣4）﹣（﹣1）2；
（3）化简求值：，其中；
（4）已知：A＝2a2﹣3ab﹣5a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，求2A﹣3B．
【变式3】（1）化简：3a+2b﹣（5a﹣b）；
（2）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣3（x2y﹣2xy2），其中x＝﹣4，y＝2．
1．关于整式的概念，下列说法正确的是（　　）
A．3与a是单项式
B．a3与a2是同类项
C．不是多项式
D．﹣xy2+xy﹣7是五次三项式
2．若与是同类项，则x，y的值是（　　）
A． B． C． D．
3．已知xym与xn+2y3是同类项，则m+n＝　 　 ．
4．在下列五个说法中：
①100个有理数相乘，其中负数只有13个，那么所得的积为负数；
②若单项式2a3bm+1与3anb3是同类项，则（﹣m）n＝﹣8；
③若x+y＝0，则；
④已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为或；
⑤适合|2a+3|+|2a﹣17|＝20的整数a的值有10个
正确的是　 　 ．（只填序号）
5．如果单项式﹣xyb+2与是同类项，那么（a﹣b）2023＝　 　 ．
6．下列计算结果正确的是（　　）
A．4x2﹣2x2＝2 B．2x+3y＝5xy
C．7x2y﹣7yx2＝0 D．2x+4x＝6x2
7．已知单项式﹣25x3ym与3xny2的和是单项式，那么（﹣m）n的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6
8．下列运算中，正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．x3﹣x2＝x
C．﹣7ab2+5ab2＝2ab2 D．3xy2﹣5y2x＝﹣2xy2
9．若单项式3a4bn+2与单项式5am﹣1b2n+3的和仍然是单项式，则m+n＝　 　 ．
10．已知单项式4x2ym与﹣3xny3的和仍是一个单项式，那么m﹣n＝　 　 ．
11．如果单项式3xm+6y2与x3yn可以合并，那么（m+n）2025＝　 　 ．
12．合并同类项：
（1）；
（2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1．
13．5a﹣4a＝1．（　 　 ）（判断对错）
14．下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　）
①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c
②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2
③﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y
④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（　　）
A．3a﹣b2 B．3（a﹣b） C．（3a﹣b） D．（3a﹣b）2
16．若2x2﹣3x﹣1与关于x的二项式ax2+bx的和与x无关，则ab＝（　　）
A．8 B．﹣8 C．9 D．﹣9
17．老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为275，495，576，681，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
18．有一道题是一个多项式减去x2+1，小强误当成加法计算，结果得到x2+14x﹣6，正确的结果应该是（　　）
A．14x﹣7 B．x2+14x﹣6 C．﹣x2+14x﹣8 D．﹣x2+14x﹣6
19．对于4个关于x的一次二项式：4x+6，3x﹣3，2x﹣2，5x+5，我们定义：取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如：4x+6﹣（3x﹣3）＝x+9，5x+5﹣（2x﹣2）＝3x+7，x+9﹣（3x+7）＝﹣2x+2，则多项式﹣2x+2便是一个“淬炼结果”．则下列结论中：
①存在一种“淬炼结果”为2x﹣2；
②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除；
③共有6种不同的“淬炼结果”．
正确的有（　　）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
20．军军在计算中把3（a+5）错写成了3（a+8），计算结果比原来（　　）
A．增加了3 B．减少了3 C．增加了9 D．减少了9
21．如图，在边长为8的正方形ABCD中，放入两张大小相同的正方形纸片，分别是正方形EFGH和正方形IJKD．其中正方形纸片EFGH的边EF在线段AB上，正方形LKD的两边KD，ID分别在线段CD，线段AD上．若区域①的周长比区域②与区域③的周长之和还大2，则正方形纸片的边长EF为 　 　 ．
22．七年级某班有（3a﹣b）个男生和（2a+b）个女生，则男生比女生多　 　 人．
23．两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式A、B、C互为“关联多项式”，且A＝5x2﹣3x，B＝﹣3x2+2x，C＝ax2+bx，则a+b的值为　 　 ．
24．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，她规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．则图1中“◇”＝　1　 ．图2中“☆”＝　 　 ．
25．一个四位自然数M，记作，若a+c＝b+d＝11，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵4+7＝2+9＝11，∴4279是“双11数”；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是　 ．
26．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步，A同学拿出四张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出二张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　 张．
27．化简：已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．
（1）计算B的表达式；
（2）小强说正确结果的大小与c的取值无关，对吗？请说明理由．
28．定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”．
（1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值；
（2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由；
（3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数；
（4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值．
29．定义新运算“*”，规定M*N＝M﹣2N，请按要求完成下列问题：
（1）若M＝3x2﹣2xy﹣y，N＝x2﹣xy﹣3，化简M*N；
（2）若（x+2）2+|y﹣1|＝0，求第（1）问中M*N的值．
30．已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2．
（1）求；
（2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式．
31．阅读下列材料，解决问题：
三位数的“衍生数”一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”．如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45．它们都是654的“衍生数”.
（1）写出135所有的“衍生数”：　 　 ；
（2）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a，则用含a的代数式表示这个三位数所有“衍生数”的和为 　 　 ；
（3）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除．
32．阅读材料：
若数对（a，b）是使得b＝10﹣3a成立的一对数或整式，则数对（a，b）为和谐数对．例如数对（1，7），因为10﹣3×1＝7．所以数对（1，7）是和谐数对．
解决问题：
（1）下列数对：①（3，1），②（﹣6，18），③（5，﹣5）中，是和谐数对的有　 　 ；（填序号）
（2）数对（2m﹣1，﹣6m﹣13）是和谐数对吗？请判断并说明理由；
（3）已知数对（a2﹣2ab+1，M）是和谐数对，求M．
33．小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A﹣B的值”时．小红误将A﹣B看成A+B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）．
（1）试求A﹣B的正确结果；
（2）当x＝﹣4时，求A﹣B的值．
34．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如：因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．
（1）判断下列数对是否是“积差等数对”：
①　 （填“是”或者“否”）；
②（2，1）　 （填“是”或者“否”）．
（2）若数对（a，b）是“积差等数对”，求代数式4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b的值．
35．先化简，再求值：3m2﹣[5m﹣2（2m﹣3）+4m2]，其中m＝﹣4．
36．先化简，再求值：2x2﹣[2xy﹣3y2+2（x2+xy）]，其中|x+1|+（y﹣2）2＝0．
37．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中（x+1）2+|y﹣2|＝0．
38．阅读材料．
“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下是老师安排的作业题．
代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为　 　 ．
小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3＝7，所以x2+x＝4，所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．参考小明的做法解决下列问题：
（1）代数式x2+x+3的值为7，则代数式3x2+3x﹣3的值为　 　 ；
（2）代数式x2+x+1的值为15，则代数式﹣2x2﹣2x+3的值为　 　 ；
（3）若3m﹣4n＝﹣3，mn＝1，求6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值．
39．如果﹣0.5mxn3与5mnx﹣y是同类项，求的值．
40．先化简，再求值：a2﹣（2a+3a2）+2（3a+a2+1），其中a是相反数等于它本身的数．第3章
3.2 整式的加减
题型1 同类项 题型2 合并同类项
题型3 去括号与添括号 题型4 整式的加减
题型5 整式的加减—化简求值
题型1 同类项
解｜题｜知｜识 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项．
【典例1】下列说法中正确的是（　　）
A．是单项式
B．﹣2πx的系数是﹣2
C．2xy+（x﹣1）是二次二项式
D．3x2y与是同类项
【答案】D
【解答】解：A、是多项式，故A不符合题意；
B、﹣2πx的系数是﹣2π，故B不符合题意；
C、2xy+（x﹣1）是二次三项式，故C不符合题意；
D、3x2y与是同类项，故D符合题意；
故选：D．
【变式1】如果单项式﹣xa+1y3与8ybx2是同类项，那么a，b的值分别为（　　）
A．2，3 B．1，2 C．2，2 D．1，3
【答案】D．
【解答】解：由同类项的定义可知a+1＝2，b＝3，
解得a＝1，b＝3．
故选：D．
【变式2】下列说法正确的是（　　）
A．多项式2x3﹣4x﹣3的常数项是3
B．的次数是6
C．﹣4x2y的系数是﹣4
D．1与不是同类项
【答案】C
【解答】解：A、多项式2x3﹣4x﹣3的常数项是﹣3，故选项不符合题意；
B、的次数是5，故此选项不符合题意；
C、﹣4x2y的系数是﹣4，故此选项符合题意；
D、1和是常数，是同类项，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式3】多项式3xm+4y4与单项式x3yn是同类项，则mn的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【答案】B．
【解答】解：由同类项的定义可知m+4＝3，n＝4，
解得m＝﹣1，n＝4，
∴mn＝（﹣1）4＝1．
故选：B．
题型2 合并同类项
解｜题｜知｜识 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
【典例1】下列计算中正确的是（　　）
A．2+3a＝5a B．7x﹣6x＝1
C．2m+m＝2m2 D．﹣a2b+2ba2＝a2b
【答案】D
【解答】解：A．2与3a不是同类项，不能合并，不符合题意；
B．7x﹣6x＝x，选项计算错误，不符合题意；
C．2m+m＝3m，选项计算错误，不符合题意；
D．﹣a2b+2ba2＝a2b，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【变式1】若单项式﹣2a2b与某个单项式合并同类项后结果为﹣7a2b，则这个单项式是（　　）
A．﹣5a2b B．﹣5 C．﹣9ab2 D．
【答案】A
【解答】解：A．﹣2a2b与﹣5a2b是同类项，﹣2a2b+（﹣5a2b）＝﹣7a2b，选项A符合题意；
B．﹣2a2b与﹣5不是同类项，不能合并，选项B不符合题意；
C．﹣2a2b与﹣9ab2不是同类项，不能合并，选项C不符合题意；
D．﹣2a2b与不是同类项，不能合并，选项D不符合题意；
故选：A．
【变式2】下列说法：
①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1；
②若2a2与3ax+1的和是单项式，则x＝1；
③若|x|＝|﹣7|，则x＝﹣7；
④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1．
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1，说法正确；
②若2a2与3ax+1的和是单项式，则x＝1，说法正确；
③若|x|＝|﹣7|，则x＝±7，故原说法错误；
④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1，说法错误，0的相反数是0．
所以其中正确有①②共2个．
故选：B．
【变式3】下列式子变形正确的是（　　）
A．﹣（m+2）＝﹣m+2 B．3m﹣6m＝﹣3m
C．2（a+b）＝2a+b D．π﹣3＝3﹣π
【答案】B
【解答】解：A．﹣（m+2）＝﹣m﹣2，故本选项错误；
B.3m﹣6m＝﹣3m，正确；
C.2（a+b）＝2a+2b，故本选项错误；
D．π﹣3≠3﹣π，故本选项错误；
故选：B．
题型3 去括号与添括号
解｜题｜知｜识 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验．
【典例1】去括号等于a﹣b+c的是（　　）
A．a﹣（b+c） B．a﹣（b﹣c） C．a+（b﹣c） D．a+（b+c）
【答案】B
【解答】解：A．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故本选项不合题意；
B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故本选项正确
C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故本选项不合题意；
D．a+（b+c）＝a+b+c，故本选项不合题意；
故选：B．
【变式1】下列去括号正确的是（　　）
A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c
C．x+2（y﹣z）＝x+2y+2z D．x﹣2（y﹣z）＝x﹣2y+z
【答案】B．
【解答】解：A、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c≠a﹣b+c，错误；
B、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，正确；
C、x+2（y﹣z）＝x+2y﹣2z≠x+2y+2z，错误；
D、x﹣2（y﹣z）＝x﹣2y+2z≠x﹣2y+z，错误．
故选：B．
【变式2】下列关系式与此线段图不相符的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设总页数为x，
A．，正确，不符合题意；
B．，正确，不符合题意；
C．，正确，不符合题意；
D．，原关系式错误，符合题意．
故选：D．
【变式3】下列去括号或添括号正确的是（　　）
A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
B．a﹣2（b﹣c）＝a﹣2b+2c
C．﹣3b+2c﹣d＝﹣（3b+2c﹣d）
D．2x﹣x2+y2＝2x+（﹣x2﹣y2）
【答案】B
【解答】解：A、a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a+b﹣c，原计算错误，不合题意；
B、a﹣2（b﹣c）＝a﹣2b+2c，正确，符合题意；
C、﹣3b+2c﹣d＝﹣（3b﹣2c+d），原计算错误，不合题意；
D、2x﹣x2+y2＝2x+（﹣x2+y2），原计算错误，不合题意．
故选：B．
题型4 整式的加减
解｜题｜知｜识 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
【典例1】若关于x的多项式﹣10x2+3x﹣1与2x3+2ax2﹣2x的和不含二次项，则a的值为（　　）
A．4 B．﹣5 C．5 D．﹣4
【答案】C
【解答】解：﹣10x2+3x﹣1+2x3+2ax2﹣2x
＝2x3+（2a﹣10）x2+x﹣1，
由题意可得：2a﹣10＝0，
解得a＝5，
故选：C．
【变式1】已知a＝2b﹣1，下列式子：a+2＝2b+1；；3a＝6b﹣1；a﹣2b﹣1＝0．其中一定成立的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：下列式子：a+2＝2b+1；；3a＝6b﹣1；a﹣2b﹣1＝0．
∵a＝2b﹣1，
∴a+2＝2b﹣1+2＝2b+1，故a+2＝2b+1成立；
∵a＝2b﹣1，
∴，故不成立；
∵a＝2b﹣1，
∴3a＝3（2b﹣1）＝6b﹣3，故3a＝6b﹣1不成立；
∵a＝2b﹣1，
a＝2b﹣1，∴a﹣2b+1＝0，故a﹣2b﹣1＝0不成立．
故选：A．
【变式2】如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（　　）
A．2a﹣3b B．2a﹣4b C．4a﹣10b D．4a﹣8b
【答案】D
【解答】解：由题图知：新长方形的宽为a﹣3b，长分别为a﹣b．
所以该新长方形的周长为：2（a﹣3b+a﹣b）
＝2（2a﹣4b）
＝4a﹣8b．
故选：D．
【变式3】如图所示的一个大长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为C1，C2，C3，C4，长方形⑤的周长为C5，整个大长方形的周长为C，则下列关系式不正确的是（　　）
A．C1+C2＝C3 B．C＝2C5
C．C1+2C2＝C4 D．C1+C2+C5＝C
【答案】C
【解答】解：设正方形①②的边长分别为a，b，
则正方形③的边长为（a+b），
正方形④的边长为a+（a+b）＝2a+b，
长方形⑤的长为2a+b+a＝3a+b，宽为b﹣a，
大长方形的长为a+b+2a+b＝3a+2b，宽为a+2b，
∴C1＝4a，C2＝4b，C3＝4a+4b，
C4＝4（2a+b）＝8a+4b，
C5＝2（3a+b）+2（b﹣a）＝4a+4b，
C＝2（3a+2b）+2（a+2b）＝8a+8b，
A．C1+C2＝C3，该关系式成立，不符合题意；
B．C＝8a+8b，2C5＝2（4a+4b）＝8a+8b，该关系式成立，不符合题意；
C．C1+2C2＝4a+2×4b＝4b+8b，C4＝8a+4b，故关系式不成立，符合题意；
D．C1+C2+C5＝4a+4b+（4a+4b）＝8a+8b，C＝8a+8b，该关系式成立，不符合题意．
故选：C．
题型5 整式的加减—化简求值
解｜题｜知｜识 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
【典例1】如果x﹣3y＝2，那么代数式x﹣3y﹣3（y﹣x）﹣2（x+1）的值为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：∵x﹣3y＝2，
∴x﹣3y﹣3（y﹣x）﹣2（x+1）
＝x﹣3y﹣3y+3x﹣2x﹣2
＝2x﹣6y﹣2
＝2（x﹣3y）﹣2
＝2×2﹣2
＝2，
故答案为：2．
【变式1】已知代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：原式＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，
∵代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，
∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
得a＝﹣3，b＝1，
＝﹣a2+5b2，
当a＝﹣3，b＝1时，
原式＝﹣（﹣3）2+5×12＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【变式2】计算：
（1）；
（2）6÷（﹣3）×（2﹣4）﹣（﹣1）2；
（3）化简求值：，其中；
（4）已知：A＝2a2﹣3ab﹣5a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，求2A﹣3B．
【答案】（1）18；
（2）3；
（3）；
（4）7a2﹣9ab﹣10a+1．
【解答】解：（1）原式
＝﹣45+30+33
＝18；
（2）原式＝6÷（﹣3）×（﹣2）﹣1
＝4﹣1
＝3；
（3）原式
＝﹣x2﹣1；
把代入化简后的式子得
；
（4）把A＝2a2﹣3ab﹣5a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1代入得
2（2a2﹣3ab﹣5a﹣1）﹣3（﹣a2+ab﹣1）
＝4a2﹣6ab﹣10a﹣2+3a2﹣3ab+3
＝7a2﹣9ab﹣10a+1．
【变式3】（1）化简：3a+2b﹣（5a﹣b）；
（2）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣3（x2y﹣2xy2），其中x＝﹣4，y＝2．
【答案】（1）﹣2a+3b；
（2）5xy2，﹣80．
【解答】解：（1）原式＝3a+2b﹣5a+b
＝3a﹣5a+2b+b
＝﹣2a+3b；
（2）原式＝3x2y﹣xy2﹣3x2y+6xy2
＝3x2y﹣3x2y+6xy2﹣xy2
＝5xy2，
当x＝﹣4，y＝2时，原式＝5×（﹣4）×22
＝5×（﹣4）×4
＝﹣5×4×4
＝﹣80．
1．关于整式的概念，下列说法正确的是（　　）
A．3与a是单项式
B．a3与a2是同类项
C．不是多项式
D．﹣xy2+xy﹣7是五次三项式
【答案】A
【解答】解：A、3是常数单项式，a是字母单项式，选项说法正确，符合题意；
B、a3与a2指数不同，选项说法错误，不符合题意；
C、，是多项式，选项说法错误，不符合题意；
D、﹣xy2+xy﹣7中，xy2次数为1+2＝3，xy次数为1+1＝2，﹣7次数为0，最高次为3，是三次三项式，选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
2．若与是同类项，则x，y的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵与是同类项，
∴，
∴，
故选：D．
3．已知xym与xn+2y3是同类项，则m+n＝　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：∵xym与xn+2y3是同类项，
∴n+2＝1，m＝3，
∴n＝﹣1，
m+n＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
4．在下列五个说法中：
①100个有理数相乘，其中负数只有13个，那么所得的积为负数；
②若单项式2a3bm+1与3anb3是同类项，则（﹣m）n＝﹣8；
③若x+y＝0，则；
④已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为或；
⑤适合|2a+3|+|2a﹣17|＝20的整数a的值有10个
正确的是　②④⑤　 ．（只填序号）
【答案】②④⑤．
【解答】解：①由题意可得：若其中有零，则积为零，零既不是正数，也不是负数，错误；
②n＝3，m+1＝3，解得m＝2，n＝3，故（﹣m）n＝﹣8，正确；
③若x+y＝0，当x＝y＝0时，无意义，故错误；
④若a﹣b≥0，则a﹣b＝4a﹣3b，
∴3a＝2b，；
若a﹣b＜0，则﹣a+b＝4a﹣3b，
∴5a＝4b，，故正确；
⑤|2a+3|+|2a﹣17|表示点2a到﹣3和17的距离和，
由题意可得：﹣3≤2a≤17，
∴﹣1.5≤a≤8.5，整数a从﹣1到8共10个，正确．
故答案为：②④⑤．
5．如果单项式﹣xyb+2与是同类项，那么（a﹣b）2023＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由题意得：a﹣1＝1，b+2＝3，
∴a＝2，b＝1，
∴（a﹣b）2023＝（2﹣1）2023＝12023＝1，
故答案为：1．
6．下列计算结果正确的是（　　）
A．4x2﹣2x2＝2 B．2x+3y＝5xy
C．7x2y﹣7yx2＝0 D．2x+4x＝6x2
【答案】C
【解答】解：A、4x2﹣2x2＝2x2，错误；
B、2x与3y不是同类项，不能合并，错误；
C、7x2y﹣7yx2＝0，正确；
D、2x+4x＝6x，错误；
故选：C．
7．已知单项式﹣25x3ym与3xny2的和是单项式，那么（﹣m）n的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6
【答案】B．
【解答】解：由同类项的定义可知n＝3，m＝2，
∴（﹣m）n＝（﹣2）3＝﹣8．
故选：B．
8．下列运算中，正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．x3﹣x2＝x
C．﹣7ab2+5ab2＝2ab2 D．3xy2﹣5y2x＝﹣2xy2
【答案】D．
【解答】解：A、2a+3b≠5ab，故A错误；
B、x3﹣x2≠x，故B错误；
C、﹣7ab2+5ab2＝﹣2ab2≠2ab2，故C错误；
D、3xy2﹣5y2x＝﹣2xy2，故D正确．
故选：D．
9．若单项式3a4bn+2与单项式5am﹣1b2n+3的和仍然是单项式，则m+n＝　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：由同类项的定义可知m﹣1＝4，n+2＝2n+3，
解得m＝5，n＝﹣1，
∴m+n＝5+（﹣1）＝4．
故答案为：4．
10．已知单项式4x2ym与﹣3xny3的和仍是一个单项式，那么m﹣n＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由同类项的定义可知n＝2，m＝3，
∴m﹣n＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
11．如果单项式3xm+6y2与x3yn可以合并，那么（m+n）2025＝　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：由题意得：单项式3xm+6y2与x3yn是同类项，
∴m+6＝3，n＝2，
∴m＝﹣3，
∴（m+n）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．合并同类项：
（1）；
（2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1．
【答案】（1）；
（2）y2+1．
【解答】解：（1）原式
；
（2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1
＝2x2﹣2x2﹣3xy﹣2xy+5xy+y2+1
＝y2+1．
13．5a﹣4a＝1．（　×　 ）（判断对错）
【答案】×．
【解答】解：根据合并同类项法则可得5a﹣4a＝（5﹣4）a＝a，
∴原题判断错误．
答案为：×．
14．下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　）
①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c
②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2
③﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y
④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：根据去括号的法则：
①应为a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，错误；
②应为（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+2y2，错误；
③应为﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a﹣b+x﹣y，错误；
④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x+3y+a﹣b，错误．
故选：D．
15．用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（　　）
A．3a﹣b2 B．3（a﹣b） C．（3a﹣b） D．（3a﹣b）2
【答案】D
【解答】解：由题意可得，
a的3倍与b的差的平方可表示为（3a﹣b）2，
故选：D．
16．若2x2﹣3x﹣1与关于x的二项式ax2+bx的和与x无关，则ab＝（　　）
A．8 B．﹣8 C．9 D．﹣9
【答案】B
【解答】解：（2x2﹣3x﹣1）+（ax2+bx）
＝2x2﹣3x﹣1+ax2+bx
＝（2+a）x2+（﹣3+b）x﹣1，
∵2x2﹣3x﹣1与关于x的二项式ax2+bx的和与x无关，
∴2+a＝0和﹣3+b＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
∴原式＝（﹣2）3＝﹣8．
故选：B．
17．老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为275，495，576，681，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解答】解：由题知，
设原三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（a，c都是1～9之间的整数，b是0～9之间的整数），
则原来的三位数可表示为100a+10b+c．
因为新三位数可表示为100c+10b+a，
则新的三位数与原来的三位数的差可表示为：（100c+10b+a）﹣（100a+10b+c）＝99（c﹣a），
所以它们的差应被99整除．
因为275，495，576，681四个数中，只有495能被99整除，
则四位同学中答对的为乙．
故选：B．
18．有一道题是一个多项式减去x2+1，小强误当成加法计算，结果得到x2+14x﹣6，正确的结果应该是（　　）
A．14x﹣7 B．x2+14x﹣6 C．﹣x2+14x﹣8 D．﹣x2+14x﹣6
【答案】C
【解答】解：（x2+14x﹣6）﹣（x2+1）＝14x﹣7，
（14x﹣7）﹣（x2+1）＝﹣x2+14x﹣8，
∴正确的结果应该是﹣x2+14x﹣8．
故选：C．
19．对于4个关于x的一次二项式：4x+6，3x﹣3，2x﹣2，5x+5，我们定义：取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如：4x+6﹣（3x﹣3）＝x+9，5x+5﹣（2x﹣2）＝3x+7，x+9﹣（3x+7）＝﹣2x+2，则多项式﹣2x+2便是一个“淬炼结果”．则下列结论中：
①存在一种“淬炼结果”为2x﹣2；
②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除；
③共有6种不同的“淬炼结果”．
正确的有（　　）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】C
【解答】解：设A＝4x+6，B＝3x﹣3，C＝2x﹣2，D＝5x+5．
由题意，共有6种情况：
第1种：A+B﹣C﹣D＝（4x+6）+（3x﹣3）﹣（2x﹣2）﹣（5x+5）＝0；
第2种：﹣A+B+C﹣D＝﹣（4x+6）+（3x﹣3）+（2x﹣2）﹣（5x+5）＝﹣4x﹣16；
第3种：﹣A+B﹣C+D＝﹣（4x+6）+（3x﹣3）﹣（2x﹣2）+（5x+5）＝2x﹣2；
第4种：A﹣B+C﹣D＝（4x+6）﹣（3x﹣3）+（2x﹣2）﹣（5x+5）＝﹣2x+2；
第5种：﹣A﹣B+C+D＝﹣（4x+6）﹣（3x﹣3）+（2x﹣2）+（5x+5）＝0；
第6种：A﹣B﹣C+D＝（4x+6）﹣（3x﹣3）﹣（2x﹣2）+（5x+5）＝4x+16；
∴存在一种“淬炼结果”为2x﹣2；故①正确；
x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除；故②正确；
共有5种不同的“淬炼结果”；故③错误；
故选：C．
20．军军在计算中把3（a+5）错写成了3（a+8），计算结果比原来（　　）
A．增加了3 B．减少了3 C．增加了9 D．减少了9
【答案】C
【解答】解：军军在计算中把3（a+5）错写成了3（a+8）：
3（a+8）﹣3（a+5）
＝3a+24﹣3a﹣15
＝9．
故选：C．
21．如图，在边长为8的正方形ABCD中，放入两张大小相同的正方形纸片，分别是正方形EFGH和正方形IJKD．其中正方形纸片EFGH的边EF在线段AB上，正方形LKD的两边KD，ID分别在线段CD，线段AD上．若区域①的周长比区域②与区域③的周长之和还大2，则正方形纸片的边长EF为 　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：设正方形纸片的边长为x，
则EF＝DK＝DI＝x，
∴MK＝DI＝KC＝8﹣x，
∴区域①的周长为KC+BC+FB+FG+GM+MK
＝KC+BC+（FB+GM）+（FG+MK）
＝8﹣x+8+（8﹣x）+8
＝32﹣2x，
区域②与区域③的周长之和为2AI+2IN+2NJ+2NH
＝2（AI+NH）+2（IN+NJ）
＝2x+2x＝4x，
∵区域①的周长比区域②与区域③的周长之和还大2，
∴32﹣2x﹣4x＝2，
解得x＝5，
∴正方形纸片的边长EF为5．
故答案为：5．
22．七年级某班有（3a﹣b）个男生和（2a+b）个女生，则男生比女生多　（a﹣2b）　 人．
【答案】（a﹣2b）
【解答】解：（3a﹣b）﹣（2a+b）
＝3a﹣b﹣2a﹣b
＝a﹣2b
∴男生比女生多（a﹣2b）人．
故答案为：（a﹣2b）．
23．两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式A、B、C互为“关联多项式”，且A＝5x2﹣3x，B＝﹣3x2+2x，C＝ax2+bx，则a+b的值为　1或﹣3或3　 ．
【答案】1或﹣3或3．
【解答】解：多项式A、B、C互为“关联多项式”，且A＝5x2﹣3x，B＝﹣3x2+2x，C＝ax2+bx，
由题意，A、B、C互为关联多项式，因此可能的情况如下：
若A+B＝C，（5x2﹣3x）+（﹣3x2+2x）＝2x2﹣x＝ax2+bx，
所以a＝2，b＝﹣1，
所以a+b＝1；
若A+C＝B，则（5x2﹣3x）+（ax2+bx）＝（5+a）x2+（﹣3+b）x＝﹣3x2+2x，
所以5+a＝﹣3，﹣3+b＝2，
解得a＝﹣8，b＝5，
所以a+b＝﹣3；
若B+C＝A，则（﹣3x2+2x）+（ax2+bx）＝（﹣3+a）x2+（2+b）x＝5x2﹣3x，
所以﹣3+a＝5，2+b＝﹣3，
解得a＝8，b＝﹣5，
所以a+b＝3；
故答案为：1或﹣3或3．
24．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，她规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．则图1中“◇”＝　1　 ．图2中“☆”＝　3x﹣2y﹣1　 ．
【答案】1，3x﹣2y﹣1．
【解答】解：规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．如图
②+5+①＝②+2+3，
∴①＝0，
∵3+③+0＝2+③+◇，
∴◇＝1；
由题意得x+x﹣1+②＝①+y+②，
∴①＝2x﹣y﹣1，
∵2x﹣y﹣1+x+③＝☆+y+③，
∴☆＝3x﹣2y﹣1﹒
故答案为：1，3x﹣2y﹣1．
25．一个四位自然数M，记作，若a+c＝b+d＝11，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵4+7＝2+9＝11，∴4279是“双11数”；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是　2893　 ．
【答案】2893．
【解答】解：一个四位自然数M，记作，若a+c＝b+d＝11，则称M为“双11数”，
设M＝1000a+100b+10c+d，由a+c＝11，b+d＝11，得c＝11﹣a，d＝11﹣b，
∴M＝1000a+100b+10（11﹣a）+（11﹣b）＝990a+99b+121，
∴，则，
∵该式为整数，且14是7的倍数，
∴90a+9b需为7的倍数，即9（10a+b）为7的倍数，
∵9与7互质，
∴10a+b为7的倍数，a为2至9的数字，b为2至9的数字，
要使M最小，
∴a取2，则c＝9，
∵10a+b＝20+b需为7的倍数，且让M最小，
∴b＝8，则d＝11﹣8＝3，
∴M＝2893．
故答案为：2893．
26．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步，A同学拿出四张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出二张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　10　 张．
【答案】10．
【解答】解：设A、B、C三个同学相同数量的扑克牌，均为x张，
第一步后三人的牌数，A为x﹣4，B为x+4，C为x，
第二步后三人的牌数，A为x﹣4，B为x+4+2，C为x﹣2，
第三步后三人的牌数，A为2（x﹣4），B为x+4+2﹣（x﹣4），C为x﹣2，
∴B同学手中剩余的扑克牌的张数为x+4+2﹣（x﹣4）＝x+4+2﹣x+4＝10，
故答案为：10．
27．化简：已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．
（1）计算B的表达式；
（2）小强说正确结果的大小与c的取值无关，对吗？请说明理由．
【答案】（1）﹣2a2b+ab2+2abc；
（2）正确，2A﹣B
＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）
＝8a2b﹣5ab2；
因正确结果中不含c，所以小强的说法对，正确结果的取值与c无关．
【解答】解：（1）A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．则：
∵2A+B＝C，
∴B＝C﹣2A
＝（4a2b﹣3ab2+4abc）﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）
＝﹣2a2b+ab2+2abc；
（2）2A﹣B
＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）
＝8a2b﹣5ab2；
因正确结果中不含c，所以小强的说法对，正确结果的取值与c无关．
28．定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”．
（1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值；
（2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由；
（3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数；
（4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值．
【答案】（1）3274不是“m倍数“.2961是“m倍数”，m＝﹣2．
（2）可以，理由见解析．
（3）9810或1098．
（4）8888
【解答】解：（1）3m﹣2＝7m﹣4 ﹣4m＝﹣2．
解得：m．
m不是整数，所以3274不是“m倍数“．
2m﹣9＝6m﹣1 ﹣4m＝8．
解得：m＝﹣2．
2961是“﹣2倍数”，m为﹣2．
（2）∵x为三位数，个位为7，
∴a＝0．d＝7．
﹣2×0﹣b＝﹣2c﹣7．
整理得：b＝2c+7．
这个三位数为：100b+10c+7＝100（2c+7）+10c+7＝210c+707＝7（30c+101）．
∵30c+101是整数．
∴这三位数x能被7整除．
（3）∵这四位数为“1倍数”．
∴a﹣b＝c﹣d a﹣c＝b﹣d．
∵y＝10a+b，z＝10c+d．
∴y﹣z＝10a+b﹣10c﹣d＝10（a﹣c）+10（b﹣d）＝11（a﹣c）．
∵为整数．
∴为整数．
即a﹣c＝±8，b﹣d＝±8．
∵各位数的数字互不相等．
∴a，b，c，d四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8．
∴这四位数应为9810，1098．
（4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．
∵x为“4倍数“．
∴4a﹣b＝4c﹣d①．
∵将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”．
∴4a﹣c＝4b﹣d②．
①﹣②得﹣b+c＝4c﹣4b ﹣3c＝﹣3b c＝b．
将b＝c代入①得：4a﹣b＝4b﹣d．
整理得：d＝5b﹣4a．
∵x+6为“﹣4倍数“．
∴当d＜4时，﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6．
把b＝c，d＝5b﹣4a代入﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6得：
﹣4a﹣b＝﹣4b﹣（5b﹣4a）﹣6．
整理得：8a﹣8b＝6．
∵a，b，c，d均为小于10的非负整数，
∴8a﹣8b不可能等于6，
∴d＜4不符合题意．
当4≤d≤10时，﹣4a﹣b＝﹣4（c+1）﹣（d+6﹣10），
整理得：4a+b＝4c+d，
把b＝c，d＝5b﹣4a代入4a+b＝4c+d得：
4a+b＝4b+（5b﹣4a），
整理得：a＝b，
∴d＝5b﹣4a＝5b﹣4b＝b，
即d＝b．
∴a＝b＝c＝d．
∵x+6为四位数，
∴a＝b＝c＝d＜9．
∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888．
29．定义新运算“*”，规定M*N＝M﹣2N，请按要求完成下列问题：
（1）若M＝3x2﹣2xy﹣y，N＝x2﹣xy﹣3，化简M*N；
（2）若（x+2）2+|y﹣1|＝0，求第（1）问中M*N的值．
【答案】（1）x2﹣y+6；
（2）9．
【解答】解：（1）∵M＝3x2﹣2xy﹣y，N＝x2﹣xy﹣3，
∴M*N＝3x2﹣2xy﹣y﹣2（x2﹣xy﹣3）
＝3x2﹣2xy﹣y﹣2x2+2xy+6
＝x2﹣y+6；
（2）∵（x+2）2+|y﹣1|＝0，
∴x+2＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝﹣2，y＝1，
则M*N＝x2﹣y+6
＝（﹣2）2﹣1+6
＝4﹣1+6
＝9．
30．已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2．
（1）求；
（2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式．
【答案】（1）；
（2）7a2﹣22ab+b2．
【解答】解：（1）因为A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2，
；
（2）因为2A﹣3B+C＝0，
所以C＝3B﹣2A，
因为A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2，
所以C＝3B﹣2A
＝3（3a2﹣6ab+b2）﹣2（a2+2ab+b2）
＝9a2﹣18ab+3b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2
＝7a2﹣22ab+b2．
31．阅读下列材料，解决问题：
三位数的“衍生数”一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”．如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45．它们都是654的“衍生数”.
（1）写出135所有的“衍生数”：　13，15，31，35，51，53　 ；
（2）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a，则用含a的代数式表示这个三位数所有“衍生数”的和为 　22a+220　 ；
（3）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意，135所有的“衍生数”：13，15，31，35，51，53，
故答案为：13，15，31，35，51，53；
（2）∵一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a，
∴这个三位数所有“衍生数”：73，70+a，37，30+a，10a+3，10a+7，
∴所有“衍生数”之和为：73+70+a+37+30+a+10a+3+10a+7＝22a+220，
故答案为：22a+220；
（3）∵一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
∴这个三位数所有“衍生数”之和为：（10a+b）+（10a+c）+（10b+a）+（10b+c）+（10c+a）+（10c+b）
＝10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b
＝22a+22b+22c
＝22（a+b+c），
∵a，b，c均不为零且互不相等，
∴22（a+b+c）能被22整除．
32．阅读材料：
若数对（a，b）是使得b＝10﹣3a成立的一对数或整式，则数对（a，b）为和谐数对．例如数对（1，7），因为10﹣3×1＝7．所以数对（1，7）是和谐数对．
解决问题：
（1）下列数对：①（3，1），②（﹣6，18），③（5，﹣5）中，是和谐数对的有　①③　 ；（填序号）
（2）数对（2m﹣1，﹣6m﹣13）是和谐数对吗？请判断并说明理由；
（3）已知数对（a2﹣2ab+1，M）是和谐数对，求M．
【答案】（1）①③；
（2）不是和谐数对，10﹣3（2m﹣1）
＝10﹣6m+3
＝13﹣6m，
∵10﹣3（2m﹣1）＝13﹣6m≠﹣6m﹣13，
∴数对（2m﹣1，﹣6m﹣13）不是和谐数对；
（3）﹣3a2+6ab+7．
【解答】解：（1）若数对（a，b）是使得b＝10﹣3a成立的一对数或整式，则数对（a，b）为和谐数对．
∵10﹣3×3＝10﹣9＝1，
10﹣3×（﹣6）＝10+18＝28≠18，
10﹣3×5＝10﹣15＝﹣5，
∴是和谐数对的有①③；
故答案为：①③；
（2）数对（2m﹣1，﹣6m﹣13）不是和谐数对，
10﹣3（2m﹣1）
＝10﹣6m+3
＝13﹣6m，
∵10﹣3（2m﹣1）＝13﹣6m≠﹣6m﹣13，
∴（2m﹣1，﹣6m﹣13）不是和谐数对；
（3）∵数对（a2﹣2ab+1，M）是和谐数对，
∴M＝10﹣3（a2﹣2ab+1）
＝10﹣3a2+6ab﹣3
＝﹣3a2+6ab+7．
33．小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A﹣B的值”时．小红误将A﹣B看成A+B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）．
（1）试求A﹣B的正确结果；
（2）当x＝﹣4时，求A﹣B的值．
【答案】（1）﹣11x2+15x+18；
（2）﹣296．
【解答】解：（1）∵A+B＝﹣7x2+10x+12，且B＝4x2﹣5x﹣6，
∴A＝（﹣7x2+10x+12）﹣（4x2﹣5x﹣6）
＝﹣7x2+10x+12﹣4x2+5x+6
＝（﹣7x2﹣4x2）+（10x+5x）+12+6
＝﹣11x2+15x+18；
∴A﹣B＝﹣11x2+15x+18﹣4x2+5x+6＝﹣15x2+20x+24；
（2）当x＝﹣4时，A﹣B＝﹣15（﹣4）2+20×（﹣4）+24＝﹣296．
34．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如：因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．
（1）判断下列数对是否是“积差等数对”：
①　是　 （填“是”或者“否”）；
②（2，1）　否　 （填“是”或者“否”）．
（2）若数对（a，b）是“积差等数对”，求代数式4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵，
∴，
∴是“积差等数对”，
故答案为：是；
②∵2﹣1＝1，2×1＝2，
∴2﹣1≠2×1，
∴（2，1）不是“积差等数对”，
∵故答案为：否；
（2）∵数对（a，b）是“积差等数对”，
∴a﹣b＝ab，
∴4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b
＝4（3ab﹣a﹣2ab+4）+4b
＝4（ab﹣a+4）+4b
＝4ab﹣4a+16+4b
＝4ab﹣4（a﹣b）+16
＝4ab﹣4ab+16
＝16．
35．先化简，再求值：3m2﹣[5m﹣2（2m﹣3）+4m2]，其中m＝﹣4．
【答案】﹣m2﹣m﹣6，﹣18．
【解答】解：3m2﹣[5m﹣2（2m﹣3）+4m2]
＝3m2﹣（5m﹣4m+6+4m2）
＝3m2﹣5m+4m﹣6﹣4m2
＝﹣m2﹣m﹣6，
当m＝﹣4时，
原式＝﹣（﹣4）2﹣（﹣4）﹣6
＝﹣16+4﹣6
＝﹣18．
36．先化简，再求值：2x2﹣[2xy﹣3y2+2（x2+xy）]，其中|x+1|+（y﹣2）2＝0．
【答案】3y2﹣4xy；20．
【解答】解：原式＝2x2﹣2xy+3y2﹣2（x2+xy）
＝2x2﹣2xy+3y2﹣2x2﹣2xy
＝3y2﹣4xy；
∵|x+1|+（y﹣2）2＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝﹣1，y＝2，
原式＝3×22﹣4×（﹣1）×2＝12+8＝20．
37．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中（x+1）2+|y﹣2|＝0．
【答案】（1）﹣5；（2）5xy﹣5x2y，﹣20．
【解答】解：（1）
＝﹣1|﹣24|
＝﹣1﹣4
＝﹣5；
（2）∵（x+1）2+|y﹣2|＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0
∴x＝﹣1，y＝2，
原式＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y＝5xy﹣5x2y，
把x＝﹣1，y＝2代入5xy﹣5x2y，
得5xy﹣5x2y＝5×（﹣1）×2﹣5×（﹣1）2×2＝﹣20．
38．阅读材料．
“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下是老师安排的作业题．
代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为　5　 ．
小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3＝7，所以x2+x＝4，所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．参考小明的做法解决下列问题：
（1）代数式x2+x+3的值为7，则代数式3x2+3x﹣3的值为　9　 ；
（2）代数式x2+x+1的值为15，则代数式﹣2x2﹣2x+3的值为　﹣25　 ；
（3）若3m﹣4n＝﹣3，mn＝1，求6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值．
【答案】（1）9；
（2）﹣25；
（3）﹣4．
【解答】解：（1）∵x2+x+3＝7，
∴x2+x＝4，
∴原式＝3（x2+x）﹣3＝3×4﹣3＝9，
故答案为：9；
（2）x2+x+1＝15，
∴x2+x＝14，
∴原式＝﹣2（x2+x）+3＝﹣2×14+3＝﹣25，
故答案为：﹣25；
（3）由条件可知
原式＝6m﹣6n﹣2n+2mn
＝6m﹣8n+2mn
＝2（3m﹣4n）+2mn
＝2×（﹣3）+2×1
＝﹣6+2
＝﹣4．
39．如果﹣0.5mxn3与5mnx﹣y是同类项，求的值．
【答案】﹣7．
【解答】解：原式＝6xy﹣（x2+8xy﹣y2）+2（x2+3xyy2）
＝6xy﹣x2﹣8xy+y2+2x2+6xy﹣y2
＝x2+4xy，
∵﹣0.5mxn3与5mnx﹣y是同类项，
∴x＝1，x﹣y＝3，
解得：x＝1，y＝﹣2，
原式＝12+4×1×（﹣2）＝﹣7．
40．先化简，再求值：a2﹣（2a+3a2）+2（3a+a2+1），其中a是相反数等于它本身的数．
【答案】4a+2；2．
【解答】解：原式＝a2﹣2a﹣3a2+6a+2a2+2
＝4a+2；
∵a是相反数等于本身的数，
∴a＝0，
当a＝0时，
原式＝0+2＝2．

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