资源简介

第4章
4.2 角
题型1 角的概念 题型2 钟面角
题型3 方向角 题型4 度分秒的换算
题型5 角的计算 题型6 角的大小比较
题型1 角的概念
解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
【典例1】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】一个角的度数是30°，用10倍的放大镜观察，此时这个角的度数是　 　 ．
【变式2】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　）
A． B．
C． D．
题型2 钟面角
解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
【典例1】周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内，钟面上的时针转了（　　）
A．37.5° B．45° C．52.5° D．60°
【变式1】某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间时针与分针夹角的度数是　 　 ．
【变式2】北京时间2025年11月25日12时11分，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．当钟表上的时间为12时11分的时候，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是　 　 ．
题型3 方向角
解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
【典例1】如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东70°的方向上，观测到小岛B在它的南偏西15°的方向上，则∠AOB的度数是（　　）
A．85° B．105° C．115° D．125°
【变式1】如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（　　）
A．OC的方向是南偏西25°
B．OB的方向是北偏西15°
C．OA的方向是北偏东35°
D．OD的方向是东南方向
【变式2】已知广场在学校北偏西30°的方向上，则如图表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】已知古塔在小明的北偏东30°方向，且距离小明2km，符合条件的示意图是（　　）
A． B．
C． D．
题型4 度分秒的换算
解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
【典例1】如图，将一个三角板的60°角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知∠1＝28°40'，则∠2的大小是（　　）
A．31°20' B．58°40' C．57°20' D．62°40'
【变式1】比较大小：52°15′ 　 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”）
【变式2】计算：72°36′+18°30′＝　 　 ．
【变式3】72°24'＝　 °．
题型5 角的计算
解｜题｜知｜识 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
【典例1】如图，∠AOB与∠EO′F，分别以O，O′为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′．以B′为圆心，以E′F′长为半径画弧，交弧A′B′于点H．下列结论不正确的是（　　）
A．∠AOB＝2∠EO′F B．∠AOB＞∠EO′F
C．∠HOB＝∠EO′F D．∠AOH＝∠AOB﹣∠EO′F
【变式1】如图，在∠AOC内部作了一条射线OB，下列说法正确的是（　　）
A．∠AOC可以用∠O表示 B．∠1＝∠2
C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB
【变式2】如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF等于（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【变式3】下列选项中哪个角度不能借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出（　　）
A．15° B．55° C．75° D．105°
题型6 角的大小比较
解｜题｜知｜识 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′．
【典例1】若∠A＝25°18′，∠B＝25°19′1″，∠C＝25.31°，则（　　）
A．∠B＞∠C＞∠A B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠B＞∠A＞∠C
1．如图，学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，则∠APB的度数为　 　 ．
2．小铭先沿东偏北60°方向走了25米，再沿南偏东30°方向走了25米，他现在的位置在起点的　 　 方向　 　 米处．
3．如图，王叔叔在快递站向北偏东30°方向行驶30米就可以将快递送达A栋楼．　 　 （判断对错）
4．3600''＝　 　 °；45.48°＝　 　 °　 　 ′　 　 ″．
5．1小时40分＝　 　 分；吨＝　 　 千克．
6．用度、分、秒表示20.23°为 　 　 ．
7．如图，将两块同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，若∠DAB＝101°，则∠CAE＝（　　）
A．17° B．19° C．21° D．23°
8．如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，∠AOD＝90°，∠AOC＝3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（　　）
A．1：2：2：3 B．3：2：2：3 C．4：2：2：3 D．1：2：2：1
9．如图，已知，且∠COD＝10°，则∠AOB等于　 　 ．
10．如图1，在长方形ABCD中，E点在边AD上，并且∠ABE＝27°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠AED＝10°，则∠DEC的度数为 　 　 °．
11．如图，请填出符合下列等式的角：
（1）∠AOB+∠BOC＝　 ；
（2）∠BOC＝∠BOD﹣　 ；
（3）∠AOD＝∠AOB+∠COD+　 ；
（4）∠DOB＝∠DOA﹣∠COA+　 ．
12．如图，将一张纸条折叠，若∠1＝62°，则∠2的度数为 　 　 ．
13．已知△ABC的高AD与AB，AC的夹角分别是50°和20°，则∠BAC的度数是　 　 ．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
15．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究．
【实验操作】
（1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　 　 ；
（2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由；
【拓展延伸】
（3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数．
16．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　 　 ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
17．【问题情境】O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线OC，将一块三角板DOE的直角顶点与点O重合，射线OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上方）．
【操作探究】
（1）如图1，若∠BOC＝68°，当三角板的直角边OE与OB重合时，∠COD＝　 　 °，∠AOC＝　 　 °；
（2）在（1）的条件下，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时OE恰好是∠BOC的平分线，试说明OD也是∠AOC的平分线；
（3）如图3，旋转射线OC和三角板DOE，始终满足OC平分∠BOD，当∠AOD＝78°时，求∠COE的度数，并根据结果猜想旋转过程中∠AOD与∠COE之间的数量关系．第4章
4.2 角
题型1 角的概念 题型2 钟面角
题型3 方向角 题型4 度分秒的换算
题型5 角的计算 题型6 角的大小比较
题型1 角的概念
解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
【典例1】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于选项A，图中的∠1，还可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，
故选A不符合题意；
对于选项B，图中∠1，还可以∠AOB，不能用∠O表示，
故选B不符合题意；
对于选项C，图中的∠1，能用∠AOB和∠O表示，
故选C符合题意；
对于选项D，图中的∠1，能用∠AOB，不能用∠O表示，
故选D不符合题意；
故选：C．
【变式1】一个角的度数是30°，用10倍的放大镜观察，此时这个角的度数是　30°　 ．
【答案】30°．
【解答】解：角的度数不变，仍为30°．
故答案为：30°．
【变式2】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故此选项不符合题意；
B、图中的∠AOB不能用∠1表示，故此选项不符合题意；
C、图中的∠AOB不能用∠O表示，故此选项不符合题意；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故此选项符合题意；
故选：D．
题型2 钟面角
解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
【典例1】周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内，钟面上的时针转了（　　）
A．37.5° B．45° C．52.5° D．60°
【答案】B
【解答】解：如图，钟面上的时针转过的角度就是∠AOC，
由钟面角的定义可知，∠AOB，15°，
∴∠AOC＝30°+15°＝45°．
故选：B．
【变式1】某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间时针与分针夹角的度数是　40°　 ．
【答案】40°．
【解答】解：∵分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，
∴当分针指向20时，分针旋转的角度为：20×6°＝120°，
当时针指向5时，时针旋转的角度为5×30°＝150°，
当17：20时，时针从指向5开始，又旋转了20×0.5＝10°，
故17：20时，时针角度为150+10＝160°，
故某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间两针的夹角为160°﹣120°＝40°．
故答案为：40°．
【变式2】北京时间2025年11月25日12时11分，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．当钟表上的时间为12时11分的时候，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是　60.5　 °．
【答案】60.5．
【解答】解：钟面一圈是360度，
∵时针12小时转一圈，即60×12＝720分钟转360°，
∴时针每分钟转360÷720＝0.5°，
∴11分钟时针转0.5×11＝5.5°，
∵分针60分钟转一圈，
∴分针每分钟转360°÷60°＝6°，
∴11分钟分针转6°×11＝66°，
∴12时11分的时候，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是66﹣5.5°＝60.5°．
故答案为：60.5．
题型3 方向角
解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
【典例1】如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东70°的方向上，观测到小岛B在它的南偏西15°的方向上，则∠AOB的度数是（　　）
A．85° B．105° C．115° D．125°
【答案】D
【解答】解：如图，由题意得：∠1＝70°，∠2＝15°，
∴∠3＝90°﹣70°＝20°，
∴∠AOB＝∠2+∠3+90°＝15°+20°+90°＝125°．
故选：D．
【变式1】如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（　　）
A．OC的方向是南偏西25°
B．OB的方向是北偏西15°
C．OA的方向是北偏东35°
D．OD的方向是东南方向
【答案】C
【解答】解：由图中的各个方向角可知，
OC的方向是南偏西25°，因此选项A不符合题意；
OB的方向是北偏西90°﹣75°＝15°，因此选项B 不符合题意；
OA的方向是北偏东90°﹣35°＝55°，因此选项C符合题意；
OD的方向为南偏东45°，即东南方向，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【变式2】已知广场在学校北偏西30°的方向上，则如图表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵广场在学校北偏西30°的方向上，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【变式3】已知古塔在小明的北偏东30°方向，且距离小明2km，符合条件的示意图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得：小明的北偏东30°方向，且距离小明2km，
符合条件的示意图是：．
故选：B．
题型4 度分秒的换算
解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
【典例1】如图，将一个三角板的60°角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知∠1＝28°40'，则∠2的大小是（　　）
A．31°20' B．58°40' C．57°20' D．62°40'
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝28°40′，
∴∠EAC＝31°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣31°20′＝58°40′；
故选：B．
【变式1】比较大小：52°15′　＞　 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【解答】解：∵52.15°＝52°+0.15×60'＝52°9'，
∴52°15'＞52°9'，
∴52°15'＞52.15°．
故答案为：＞．
【变式2】计算：72°36′+18°30′＝　91°6′　 ．
【答案】91°6′．
【解答】解：原式＝90°66′
＝91°6′．
故答案为：91°6′．
【变式3】72°24'＝　72.4　 °．
【答案】72.4．
【解答】解：24÷60＝0.4°，
∴72°24'＝72.4°，
故答案为：72.4．
题型5 角的计算
解｜题｜知｜识 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
【典例1】如图，∠AOB与∠EO′F，分别以O，O′为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′．以B′为圆心，以E′F′长为半径画弧，交弧A′B′于点H．下列结论不正确的是（　　）
A．∠AOB＝2∠EO′F B．∠AOB＞∠EO′F
C．∠HOB＝∠EO′F D．∠AOH＝∠AOB﹣∠EO′F
【答案】A
【解答】解：根据作图可知∠EO′F＝∠HOB，
A．不能判断∠AOB＝2∠EOF，故该选项不正确，符合题意；
B．由于∠AOB＞∠HOB，即∠AOB＞∠EO'F，故该选项正确，不符合题意；
C．∠HOB＝∠EO'F，故该选项正确，不符合题意；
D．∠AOH＝∠AOB﹣∠HOB＝∠AOB﹣∠EOF，故该选项正确，不符合题意．
故选：A．
【变式1】如图，在∠AOC内部作了一条射线OB，下列说法正确的是（　　）
A．∠AOC可以用∠O表示 B．∠1＝∠2
C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB
【答案】C
【解答】解：A、∠AOC不可以用∠O表示，当点O为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，错误，不符合题意；
B、从图中可直观看出，射线OB更靠近射线OA，因此∠1明显小于∠2，错误，不符合题意；
C、根据角的表示法，∠2与∠COB都指的是由射线OB和OC组成的同一个角，正确，符合题意；
D、∠AOC＝∠1+∠2，错误，不符合题意；
故选：C．
【变式2】如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF等于（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】C
【解答】解：由折叠性质得，
∠DBF，∠DBE，
∠EBF（∠ABD+∠CBD）45°．
故选：C．
【变式3】下列选项中哪个角度不能借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出（　　）
A．15° B．55° C．75° D．105°
【答案】B
【解答】解：∵15°＝45°﹣30°，
∴15°可以借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出，
故A选项不符合题意；
∵75°＝45°+30°，
∴75°可以借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出，
故C选项不符合题意；
∵105°＝45°+60°，
∴105°可以借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出，
故D选项不符合题意；
55°不可以借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出，
故B选项符合题意．
故选：B．
题型6 角的大小比较
解｜题｜知｜识 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′．
【典例1】若∠A＝25°18′，∠B＝25°19′1″，∠C＝25.31°，则（　　）
A．∠B＞∠C＞∠A B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠B＞∠A＞∠C
【答案】A
【解答】解：因为∠C＝25.31°＝25°18′36″，25°19′1″＞25°18′36″＞25°18′，
所以∠B＞∠C＞∠A．
故选：A．
1．如图，学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，则∠APB的度数为　102°　 ．
【答案】102°．
【解答】解：根据题意可知，∠APB＝180°﹣32°﹣46°＝102°．
故答案为：102°．
2．小铭先沿东偏北60°方向走了25米，再沿南偏东30°方向走了25米，他现在的位置在起点的　正东　 方向　25　 米处．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接AC，由题意得，∠CAB＝60°，∠SBC＝30°，AB＝BC＝25米，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝25米，
∴现在的位置点C在起点A的正东方向25米处．
故答案为：正东；25．
3．如图，王叔叔在快递站向北偏东30°方向行驶30米就可以将快递送达A栋楼．　×　 （判断对错）
【答案】×．
【解答】解：由图可知，王叔叔在快递站向北偏东60°方向行驶30米就可以将快递送达A栋楼，
∴王叔叔在快递站向北偏东30°方向行驶30米就可以将快递送达A栋楼，是错误的，
故答案为：×．
4．3600''＝　1　 °；45.48°＝　45　 °　28　 ′　48　 ″．
【答案】1，45，28，48．
【解答】解：3600''＝（3600÷60）′＝60′＝（60÷60）°＝1°；
∵0.48°＝28.8′，0.8′＝48''，
∴45.48°＝45°28′48″．
故答案为：1，45，28，48．
5．1小时40分＝　100　 分；吨＝　2625　 千克．
【答案】100，2625．
【解答】解：1小时＝60分，1吨＝1000千克，
1小时40分＝60+40＝100分，吨千克，
故答案为：100，2625．
6．用度、分、秒表示20.23°为 　20°13′48″　 ．
【答案】20°13′48″
【解答】解：∵0.23°＝0.23×60′＝13.8′，0.8′＝0.8×60″＝48″，
∴20.23°＝20°13′48″．
故答案为：20°13′48″．
7．如图，将两块同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，若∠DAB＝101°，则∠CAE＝（　　）
A．17° B．19° C．21° D．23°
【答案】B
【解答】解：∵∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE＝∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE＝∠DAC+∠BAE＝120°，
∵∠DAB＝101°，
∴∠CAE＝120°﹣101°＝19°，
故选：B．
8．如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，∠AOD＝90°，∠AOC＝3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（　　）
A．1：2：2：3 B．3：2：2：3 C．4：2：2：3 D．1：2：2：1
【答案】A
【解答】解：∵点O，A，B在同一条直线上，∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝3∠BOC，
∴∠BOC180°＝45°，∠AOC＝3×45°＝135°，
∴S扇形BOC：S扇形BOD：S扇形AOD：S扇形AOC＝45：90：90：135＝1：2：2：3．
故选：A．
9．如图，已知，且∠COD＝10°，则∠AOB等于　120°　 ．
【答案】120°．
【解答】解：∵，，且∠COD＝10°，
∴，
∴∠AOB＝12∠COD＝120°，
故答案为：120°．
10．如图1，在长方形ABCD中，E点在边AD上，并且∠ABE＝27°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠AED＝10°，则∠DEC的度数为 　32　 °．
【答案】32
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠A＝90°，
由折叠的性质得：A'BE＝∠ABE＝27°，∠A'EB＝∠AEB，∠DEC＝∠D'EC，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠ABE＝90°﹣27°＝63°，
∴∠A'EB＝∠AEB＝63°，
∵∠AED＝10°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝63°﹣10°＝53°，
∴∠A'ED＝∠A'EB+∠BED＝63°+53°＝116°，
∴∠DED'＝180°﹣∠A'ED＝180°﹣116°＝64°，
∴∠DEC＝∠D'EC∠DED'64°＝32°．．
故答案为：32．
11．如图，请填出符合下列等式的角：
（1）∠AOB+∠BOC＝　∠AOC ；
（2）∠BOC＝∠BOD﹣　∠COD ；
（3）∠AOD＝∠AOB+∠COD+　∠BOC ；
（4）∠DOB＝∠DOA﹣∠COA+　∠BOC ．
【答案】（1）∠AOC；
（2）∠COD；
（3）∠BOC；
（4）∠BOC．
【解答】解：（1）∠AOB+∠BOC＝∠AOC，
故答案为：∠AOC；
（2）∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，
故答案为：∠COD；
（3）∠AOD＝∠AOB+∠COD+∠BOC，
故答案为：∠BOC；
（4）∠DOB＝∠DOA﹣∠COA+∠BOC，
故答案为：∠BOC．
12．如图，将一张纸条折叠，若∠1＝62°，则∠2的度数为 　56°　 ．
【答案】56°
【解答】解：设∠2＝x°，
根据折叠的性质可知：180°﹣∠1＝∠1+∠2，
即180°﹣62°＝62°+x°，
解得：x＝56．
故答案为：56°．
13．已知△ABC的高AD与AB，AC的夹角分别是50°和20°，则∠BAC的度数是　70°或30°　 ．
【答案】70°或30°．
【解答】解：已知△ABC的高AD与AB，AC的夹角分别是50°和20°，分两种情况讨论：
①当D在线段BC上时，如图1，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°；
②当D在线段BC的延长线上时，如图2，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°．
故答案为：70°或30°．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∴∠AOC∠EOC72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
15．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究．
【实验操作】
（1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　105°　 ；
（2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由；
【拓展延伸】
（3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数．
【答案】（1）105°；
（2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°时，∠CBD＝90°；
（3）20°或60°．
【解答】解：（1）∵是三角板，
∴∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°，
故答案为：105°；
（2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°．
理由：如图①，
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD＝60°+45°﹣90°＝15°；
如图②，
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）＝360°﹣（60°+45°+90°）＝165°；
（3）当边BE在边AB右侧时，
如图③，设∠ABE＝x，
则有2x＝x+60°，
解得x＝60°，
即此时∠ABE＝60°，
当边BE在边AB左侧时，如图④，
设∠ABE＝x，
则有x+2x＝60°，
解得x＝20°，
即此时∠ABE＝20°；
综上所述，∠ABE的度数为20°或60°．
16．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　20°　 ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，
∴∠COD∠AOB＝35°，
∵∠AOC＝15°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；
故答案为：20°．
（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即63°﹣α，
解得α＝21°，
当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；
（3）能，理由如下，
由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下三种情况：
①当射线OC在∠AOB内，如图4，
此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°），
解得t（秒）；
②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°），
解得t＝30（秒）；
如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°，
则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°），
解得t＝90（秒）；
综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒．
17．【问题情境】O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线OC，将一块三角板DOE的直角顶点与点O重合，射线OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上方）．
【操作探究】
（1）如图1，若∠BOC＝68°，当三角板的直角边OE与OB重合时，∠COD＝　22　 °，∠AOC＝　112　 °；
（2）在（1）的条件下，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时OE恰好是∠BOC的平分线，试说明OD也是∠AOC的平分线；
（3）如图3，旋转射线OC和三角板DOE，始终满足OC平分∠BOD，当∠AOD＝78°时，求∠COE的度数，并根据结果猜想旋转过程中∠AOD与∠COE之间的数量关系．
【答案】（1）22，112；
（2）∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠COE＝∠BOE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOD+∠BOE＝∠COD+∠COE＝90°，
∴∠AOD＝∠COD，
∴OD也是∠AOC的平分线；
（3）∠COE＝39°；猜想2∠COE＝∠AOD，2∠COE＝∠AOD，
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD＝∠BOC，
∴∠COD＝∠COE+∠BOE，即∠BOE＝∠COD﹣∠COE，
∵∠EOD＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠COE，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE﹣∠COE＝90°﹣2∠COE，
∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠AOD，
∴90°﹣2∠COE＝90°﹣∠AOD，
∴2∠COE＝∠AOD．
【解答】解：（1）由题意得，∠DOB＝90°，
∴∠∠AOC＝180°﹣∠BOC＝112°，COD＝∠DOB﹣∠BOC＝22°，
故答案为：22，112；
（2）∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠COE＝∠BOE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOD+∠BOE＝∠COD+∠COE＝90°，
∴∠AOD＝∠COD，
∴OD也是∠AOC的平分线；
（3）∵∠DOE＝90°，∠AOD＝78°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝102°，∠BOE＝180°﹣∠DOE﹣∠AOD＝12°，
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD＝∠BOC＝51°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝39°；
猜想：2∠COE＝∠AOD，
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD＝∠BOC，
∴∠COD＝∠COE+∠BOE，即∠BOE＝∠COD﹣∠COE，
∵∠EOD＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠COE，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE﹣∠COE＝90°﹣2∠COE，
∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠AOD，
∴90°﹣2∠COE＝90°﹣∠AOD，
∴2∠COE＝∠AOD．

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