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第1课时　指数函数的概念和图象
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.下列函数中，是指数函数的是(　　)
A.y= B.y=()x
C.y=1x D.y=-1
2.若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数，则(　　)
A.a=2 B.a=3
C.a>3 D.a>2，且a≠3
3.(多选)已知指数函数f(x)满足f =，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)=5x B.f(x)=5-x
C.f(-1)= D.5f(1)=f(2)
4.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于(　　)
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y=-x对称
5.函数f(x)=ax与g(x)=-x+a的图象大致是(　　)
6.已知0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.要得到函数y=22x-1的图象，只需将指数函数y=4x的图象(　　)
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
8.已知指数函数f(x)=(a-1)bx(b>0且b≠1)的图象经过点，则=　　　　　　.
9.已知函数f(x)=则f(f(2))=　　　　　　.
10.(13分)已知函数f(x)=3x+3ax+b，且f(1)=12，f(2)=36.求a，b的值.
11.已知a>0且a≠1，b∈R，则函数f(x)=bx-a与g(x)=b·ax在同一平面直角坐标系内的图象不可能是(　　)
12.(多选)设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的是(　　)
A.f(x+y)=f(x)f(y)
B.f(x-y)=
C.f(nx)=nf(x)(n∈Q)
D.[f(xy)]n=[f(x)]n·[f(y)]n(n∈N+)
13.若关于x的方程=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　　　.
14.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出函数 f(x)的图象；(5分)
(2)讨论f(x)=m的实数根的个数情况.(10分)
15.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=的图象只可能是(　　)
16.已知实数a，b满足等式2 024a=2 025b，给出下列五个关系式：①0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第1课时　指数函数的概念和图象
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.下列函数中，是指数函数的是(　　)
A.y= B.y=()x
C.y=1x D.y=-1
答案　B
解析　由指数函数的定义可判定，只有B正确.
2.若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数，则(　　)
A.a=2 B.a=3
C.a>3 D.a>2，且a≠3
答案　A
解析　因为函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数，
所以a2-5a+7=1，
即a2-5a+6=0，(a-2)(a-3)=0，
且4-2a=0，所以a=2.
3.(多选)已知指数函数f(x)满足f =，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)=5x B.f(x)=5-x
C.f(-1)= D.5f(1)=f(2)
答案　ACD
解析　设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，于是=，即=，因此a=5，函数f(x)=5x，A正确，B错误；f(-1)=5-1=，5f(1)=5×5=25=52=f(2)，C，D正确.
4.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于(　　)
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y=-x对称
答案　C
解析　设点(x，y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点，则点(-x，y)为g(x)=π-x=的图象上的点.因为点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称.
5.函数f(x)=ax与g(x)=-x+a的图象大致是(　　)
答案　A
6.已知0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　函数y=ax+b恒过点(0，1+b)，
因为b<-1，所以点(0，1+b)在y轴负半轴上.
又07.要得到函数y=22x-1的图象，只需将指数函数y=4x的图象(　　)
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案　D
解析　因为y=4x=22x，所以其图象向右平移个单位长度得到y==22x-1的图象.
8.已知指数函数f(x)=(a-1)bx(b>0且b≠1)的图象经过点，则=　　　　　　.
答案　
解析　∵f(x)=(a-1)bx为指数函数，
则a-1=1 a=2.
∵f(x)的图象经过点，
则b-1=，∴b=4，
∴==.
9.已知函数f(x)=则f(f(2))=　　　　　　.
答案　-8
解析　∵f(2)=-=-<0，
∴f(f(2))=f ==-8.
10.(13分)已知函数f(x)=3x+3ax+b，且f(1)=12，f(2)=36.求a，b的值.
解　由题意知
即
所以解得
11.已知a>0且a≠1，b∈R，则函数f(x)=bx-a与g(x)=b·ax在同一平面直角坐标系内的图象不可能是(　　)
答案　D
解析　因为f(x)=bx-a为一次函数，所以函数f(x)的图象为一条直线，
而g(x)=b·ax为指数型函数，
对于A，由图象结合一次函数图象的性质可知b>0，a>0，
当a>1时，g(x)=b·ax单调递增，故A符合题意；
对于B，由图象结合一次函数图象的性质可知b>0，a>0，
当0对于C，由图象结合一次函数图象的性质可知b<0，a>0，
当a>1时，g(x)=b·ax单调递减，其图象与y=-bax的图象关于x轴对称，故C符合题意；
对于D，由图象结合一次函数图象的性质可知b>0，a>0，
而y=ax>0恒成立，所以g(x)=b·ax的图象在x轴上方，故D不符合题意.
12.(多选)设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的是(　　)
A.f(x+y)=f(x)f(y)
B.f(x-y)=
C.f(nx)=nf(x)(n∈Q)
D.[f(xy)]n=[f(x)]n·[f(y)]n(n∈N+)
答案　CD
解析　f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y)，A正确；
f(x-y)=ax-y=axa-y==，B正确；
f(nx)=anx=(ax)n，nf(x)=nax≠(ax)n，C不正确；
[f(xy)]n=(axy)n，[f(x)]n·[f(y)]n=(ax)n(ay)n=(ax+y)n≠(axy)n，D不正确.
13.若关于x的方程=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　　　.
答案　(0，1)
解析　由题意知，y=与y=k的图象有两个不同的交点，
又y==
如图所示，所以014.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出函数 f(x)的图象；(5分)
(2)讨论f(x)=m的实数根的个数情况.(10分)
解　(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)求f(x)=m的实数根的个数，即求函数y=f(x)与y=m的图象的交点个数.
当m<0时，y=f(x)与y=m的图象没有交点，即f(x)=m没有实数根；
当m=0时，y=f(x)与y=m的图象有1个交点，即f(x)=m有1个实数根；
当m>0时，y=f(x)与y=m的图象有2个交点，即f(x)=m有2个实数根.
15.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=的图象只可能是(　　)
答案　A
解析　根据指数函数的定义，可知a，b同号且不相等，
∴-<0，可排除B，D；由选项C中二次函数的图象，可知a-b>0，a<0，∴>1，
∴由指数函数的图象可知，C不正确，排除C.
16.已知实数a，b满足等式2 024a=2 025b，给出下列五个关系式：①0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案　C
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y=2 024x与y=2 025x的图象如图所示，
结合图象可知：若2 024a=2 025b>1，如图(1)，则0若2 024a=2 025b=1，则0=b=a，⑤可能成立；
若2 024a=2 025b<1，如图(2)，则a综上，可能成立的关系式有3个.第2课时　指数函数的性质及应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.函数f(x)=+的定义域是(　　)
A.[2，4) B.[2，4)∪(4，+∞)
C.(2，4)∪(4，+∞) D.[2，+∞)
2.若2x+1<1，则x的取值范围是(　　)
A.(-1，1) B.(-1，+∞)
C.(0，1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)
3.设a=0.40.2，b=0.40.5，c=20.1，则(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
4.已知集合A={x|1A. B.
C.(1，2] D.
5.(多选)已知函数f(x)=，则(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为R
C.f(x)的单调递减区间为(-∞，1]
D.f(x)的图象关于直线x=1对称
6.f(x)=，x∈R，那么f(x)是(　　)
A.奇函数且在(0，+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0，+∞)上单调递增
C.奇函数且在(0，+∞)上单调递减
D.偶函数且在(0，+∞)上单调递减
7.(多选)已知函数f(x)=5x-1，则下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的值域为(-1，+∞)
B.f(x+1)>4的解集为(1，+∞)
C.f(x)的图象与y=-1的图象关于y轴对称
D.若g(x)=10x-1，且f(a)=g(b)(a，b均不为0)，则a>b
8.已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b=　　　　　　.
9.函数y=的值域为　　　　　　　　.
10.(11分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)11.若x>y>1，0A.xa>yb B.xaC.ax>by D.ax12.(多选)设f(x)，g(x)都是定义在[a，b]上的两个函数，若对于任意的x∈[a，b]，都有|f(x)-g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是“密接函数”，[a，b]称为“密接区间”.设f(x)=2x-1与g(x)=2x-2在区间[a，b]上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是(　　)
A. B.
C. D.
13.若不等式>对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　.
14.(15分)已知函数f(x)=a+b.
(1)若a=1，b=0，求函数f(x)的值域；(4分)
(2)若该函数图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，求函数f(x)的解析式并写出其单调性(写出即可，不用证明)；(5分)
(3)若a=1，b=0，g(x)=-f(x)，且2tg(2t)+mg(t)≥0对于任意的t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.(6分)
15.定义区间[x1，x2]的长度为x2-x1，已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]的长度的最大值为　　　　　　，最小值为　　　　　　.
16.(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=-，g(x)=[f(x)]，则下列叙述中正确的是(　　)
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1，0，1}
第2课时　指数函数的性质及应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.函数f(x)=+的定义域是(　　)
A.[2，4) B.[2，4)∪(4，+∞)
C.(2，4)∪(4，+∞) D.[2，+∞)
答案　B
解析　依题意有解得x≥2且x≠4，
所以函数f(x)的定义域是[2，4)∪(4，+∞).
2.若2x+1<1，则x的取值范围是(　　)
A.(-1，1) B.(-1，+∞)
C.(0，1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)
答案　D
解析　2x+1<1=20，
因为函数y=2x在R上为增函数，
所以x+1<0，所以x<-1，
所以x的取值范围为(-∞，-1).
3.设a=0.40.2，b=0.40.5，c=20.1，则(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
答案　A
解析　∵a=0.40.2，b=0.40.5，c=20.1，
∴0.40.5<0.40.2<0.40=1，20.1>20=1，∴c>a>b.
4.已知集合A={x|1A. B.
C.(1，2] D.
答案　A
解析　根据题意可得A=(1，2]，
B===，
因此A∩B=.
5.(多选)已知函数f(x)=，则(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为R
C.f(x)的单调递减区间为(-∞，1]
D.f(x)的图象关于直线x=1对称
答案　ACD
解析　对于A，由指数函数的性质知，f(x)的定义域为R，A正确；
对于B，C，函数y=x2-2x在(-∞，1]上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，y=2x是增函数，所以f(x)在(-∞，1]上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，f(x)≥f(1)=，B错误，C正确；
对于D，f(2-x)===f(x)，则f(x)的图象关于直线x=1对称，D正确.
6.f(x)=，x∈R，那么f(x)是(　　)
A.奇函数且在(0，+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0，+∞)上单调递增
C.奇函数且在(0，+∞)上单调递减
D.偶函数且在(0，+∞)上单调递减
答案　D
解析　由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)=单调递减.
7.(多选)已知函数f(x)=5x-1，则下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的值域为(-1，+∞)
B.f(x+1)>4的解集为(1，+∞)
C.f(x)的图象与y=-1的图象关于y轴对称
D.若g(x)=10x-1，且f(a)=g(b)(a，b均不为0)，则a>b
答案　AC
解析　对于A，因为y=5x的值域为(0，+∞)，所以f(x)=5x-1的值域为(-1，+∞)，故A正确；
对于B，f(x+1)>4 5x+1>5 x+1>1 x>0，所以不等式f(x+1)>4的解集为(0，+∞)，故B错误；
对于C，与f(x)的图象关于y轴对称的图象对应函数的解析式为y=f(-x)=5-x-1=-1，
所以f(x)的图象与y=-1的图象关于y轴对称，故C正确；
对于D，作出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，由图可知，当a>0，b>0时，a>b，当a<0，b<0时，a8.已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b=　　　　　　.
答案　-
解析　当a>1时，f(x)=ax+b在定义域上为增函数，
∴方程组无解；
当0∴解得∴a+b=-.
9.函数y=的值域为　　　　　　　　.
答案　
解析　y=在区间[-1，0]上单调递减，在区间[-1，0]上的值域为，
函数y=在区间(0，1]上单调递增，在区间(0，1]上的值域为(0，1]，
综上可知，函数的值域为.
10.(11分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)解　设f(x)=ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)=8，
所以a3=8，即a=2，
所以f(x)=2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)=，
因此由g(2x-1)即<，
得2x-1>3x，解得x<-1.
所以x的取值范围为(-∞，-1).
11.若x>y>1，0A.xa>yb B.xaC.ax>by D.ax答案　D
解析　由指数函数的性质得ax又由幂函数的性质得ay12.(多选)设f(x)，g(x)都是定义在[a，b]上的两个函数，若对于任意的x∈[a，b]，都有|f(x)-g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是“密接函数”，[a，b]称为“密接区间”.设f(x)=2x-1与g(x)=2x-2在区间[a，b]上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是(　　)
A. B.
C. D.
答案　BC
解析　由|f(x)-g(x)|=|2x-2x+1|≤1，可得-1≤2x-2x+1≤1，故2x-2≤2x≤2x，
当x∈时，-2×≤0不成立，故A错误；
当x∈时，-2×=4-5≤0不成立，故D错误；
当x∈[1，2]时，由于指数函数y=2x的图象与直线y=2x有两个交点，且当x=1时，21=2×1，当x=2时，22=2×2，结合函数图象可知，当x∈[1，2]时，2x≤2x成立，
而当x∈[1，2]时，y=2x-2的最大值为2，y=2x的最小值为2，故2x-2≤2x，
综上可知，对任意的x∈[1，2]，都有2x-2≤2x≤2x，
故[1，2]是f(x)=2x-1与g(x)=2x-2的“密接区间”，故B，C正确.
13.若不等式>对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　.
答案　[0，1)
解析　不等式即为>3-1，
则有ax2-2ax>-1，
即ax2-2ax+1>0对一切实数x恒成立，
当a=0时，满足题意；
当a≠0时，要满足题意，
则需a>0且Δ=(-2a)2-4a<0，
即a2-a<0，解得0综上，实数a的取值范围是[0，1).
14.(15分)已知函数f(x)=a+b.
(1)若a=1，b=0，求函数f(x)的值域；(4分)
(2)若该函数图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，求函数f(x)的解析式并写出其单调性(写出即可，不用证明)；(5分)
(3)若a=1，b=0，g(x)=-f(x)，且2tg(2t)+mg(t)≥0对于任意的t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.(6分)
解　(1)若a=1，b=0，则f(x)=，
∵|x|≥0，y=是减函数，
可得0<≤1，∴f(x)的值域为(0，1].
(2)∵该函数图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，
∴a+b=0且b=2.∴a=-2，
∴f(x)=-2·+2，
∵y=是减函数，y=|x|在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，-2<0，
∴f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.
(3)若a=1，b=0，
g(x)=-f(x)=2|x|-，
∴2tg(2t)+mg(t)=2t+m≥0，
当t∈[1，2]时，即2t+m≥0，
即m(22t-1)≥-(24t-1).
∵22t-1>0，
∴m≥-(22t+1)对于任意的t∈[1，2]恒成立.
∵t∈[1，2]，∴-(1+22t)∈[-17，-5]，
故m的取值范围是[-5，+∞).
15.定义区间[x1，x2]的长度为x2-x1，已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]的长度的最大值为　　　　　　，最小值为　　　　　　.
答案　4　2
解析　由3|x|=1，得x=0，
由3|x|=9，得x=±2，
故满足题意的定义域可以为[-2，m](0≤m≤2)或[n，2](-2≤n≤0)，
故区间[a，b]的长度的最大值为4，最小值为2.
16.(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=-，g(x)=[f(x)]，则下列叙述中正确的是(　　)
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1，0，1}
答案　BC
解析　依题意，函数f(x)=-=-的定义域为R，
对于A，g(1)=[f(1)]==0，g(-1)=[f(-1)]==-1，g(1)≠g(-1)，函数g(x)不是偶函数，A错误；
对于B，f(-x)=-=-=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，B正确；
对于C，函数y=1+2x在R上是增函数，则函数f(x)=-在R上是增函数，C正确；
对于D，由2x>0，得1+2x>1，0<<1，则-

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