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3.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y=loga(5x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lg x
2.已知对数函数的图象过点M(9，-2)，则此对数函数的解析式为(　　)
A.y=log2x B.y=log3x
C.y=lox D.y=lox
3.已知函数y=log3x的定义域为(0，+∞)，则其反函数的值域是(　　)
A.(0，+∞) B.R
C.(-∞，0) D.(0，1)
4.设P=2log23，Q=log23，R=log25，则(　　)
A.RC.Q5.方程lo(x2-9)=lo(4x-4)的解为(　　)
A.x=1或x=5 B.x=-1
C.x=1 D.x=5
6.函数y=|log2x|的图象是(　　)
7.(多选)已知函数f(x)=log2(ax2+3x+2)，则下列结论正确的是(　　)
A.f(0)=1
B.若a=0，则f(x)是增函数
C.存在实数a，使得f(x)为偶函数
D.若f(x)的定义域为R，则a的取值范围为
8.函数f(x)=(a-1)·logax是以a为底的对数函数，则f =　　　　　　.
9.函数f(x)=log2x在区间[a，2a](a>0)上的最大值与最小值之差为　　　　　　.
10.(13分)已知函数y=f(x)是对数函数，且它的图象过点(4，4).
(1)求函数f(x)的解析式；(7分)
(2)求f(1)，f(32)，f 的值.(6分)
11.(多选)给出下列三个等式：①f(xy)=f(x)+f(y)，②f(x+y)=f(x)f(y)，③f(x+y)=f(x)+f(y)，下列函数中至少满足一个等式的是(　　)
A.f(x)=3x B.f(x)=log2x
C.f(x)=x2 D.f(x)=kx(k≠0)
12.已知函数f(x)=lox，若|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是　　　　　　.
13.已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围为(　　)
A.(2，3] B.(1，2]
C.(1，3] D.[2，+∞)
14.(15分)已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0且a≠1)，且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；(6分)
(2)求f(x)在上的值域.(9分)
15.设函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 025)=8，则f()+f()+f()+…+f()的值等于　　　　　　.
16.已知函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a，b，则(　　)
A.a>b B.a+b<2
C.ab>1 D.a2+b2>2
3.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.下列函数是对数函数的是(　　)
A.y=loga(5x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lg x
答案　D
解析　选项A，B，C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式.
2.已知对数函数的图象过点M(9，-2)，则此对数函数的解析式为(　　)
A.y=log2x B.y=log3x
C.y=lox D.y=lox
答案　C
解析　设对数函数为y=logax(a>0且a≠1)，
由题意得loga9=-2，
即a-2=9，解得a=，∴y=lox.
3.已知函数y=log3x的定义域为(0，+∞)，则其反函数的值域是(　　)
A.(0，+∞) B.R
C.(-∞，0) D.(0，1)
答案　A
解析　反函数的值域为原函数的定义域(0，+∞).
4.设P=2log23，Q=log23，R=log25，则(　　)
A.RC.Q答案　C
解析　因为P=2log23=log232=log29>log28=3，Q=log23log24=2，所以Q5.方程lo(x2-9)=lo(4x-4)的解为(　　)
A.x=1或x=5 B.x=-1
C.x=1 D.x=5
答案　D
解析　依题意得
即
解得x=5.
6.函数y=|log2x|的图象是(　　)
答案　B
解析　函数y=|log2x|的图象过点(1，0)，且函数值非负，故选B.
7.(多选)已知函数f(x)=log2(ax2+3x+2)，则下列结论正确的是(　　)
A.f(0)=1
B.若a=0，则f(x)是增函数
C.存在实数a，使得f(x)为偶函数
D.若f(x)的定义域为R，则a的取值范围为
答案　ABD
解析　A选项，f(0)=log22=1，A正确；
B选项，当a=0时，f(x)=log2(3x+2)，定义域是，
由于y=log2t是增函数，t=3x+2也是增函数，∴f(x)在定义域内是增函数，B正确；
C选项，若存在实数a，使得f(x)是偶函数，则有f(-x)=f(x)，即log2(ax2-3x+2)=log2(ax2+3x+2)，则ax2-3x+2=ax2+3x+2，从而x=0，但f(x)的定义域不是{0}，因此f(x)不可能是偶函数，C错误；
D选项，若f(x)的定义域为R，则ax2+3x+2>0在R上恒成立，则∴a>，D正确.
8.函数f(x)=(a-1)·logax是以a为底的对数函数，则f =　　　　　　.
答案　-3
解析　∵函数f(x)=(a-1)·logax是以a为底的对数函数，∴解得a=2，
∴f(x)=log2x，∴f =log2=-3.
9.函数f(x)=log2x在区间[a，2a](a>0)上的最大值与最小值之差为　　　　　　.
答案　1
解析　∵f(x)=log2x在区间[a，2a]上单调递增，
∴f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)
=log2(2a)-log2a=log22=1.
10.(13分)已知函数y=f(x)是对数函数，且它的图象过点(4，4).
(1)求函数f(x)的解析式；(7分)
(2)求f(1)，f(32)，f 的值.(6分)
解　(1)设f(x)=logax(a>0且a≠1)，
∵函数y=f(x)的图象过点(4，4)，
∴f(4)=loga4=4，即a4=4，
∴a=，即f(x)=lox.
(2)由(1)得f(1)=lo1=0；
f(32)=lo32=2log225=10；
f =lo=lo2-3=-3lo2=-6.
11.(多选)给出下列三个等式：①f(xy)=f(x)+f(y)，②f(x+y)=f(x)f(y)，③f(x+y)=f(x)+f(y)，下列函数中至少满足一个等式的是(　　)
A.f(x)=3x B.f(x)=log2x
C.f(x)=x2 D.f(x)=kx(k≠0)
答案　ABD
解析　对于A，f(x+y)=3x+y=3x·3y=f(x)·f(y)，符合②；
对于B，f(xy)=log2(xy)=log2x+log2y=f(x)+f(y)，符合①；
对于C，不满足任何一个等式；
对于D，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y)，符合③.
12.已知函数f(x)=lox，若|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是　　　　　　.
答案　∪[2，+∞)
解析　∵|f(x)|≥1，∴lox≥1或lox≤-1，
即-log2x≥1或-log2x≤-1，
即log2x≤-1或log2x≥1，
∴log2x≤log2或log2x≥log22，
又y=log2x在定义域(0，+∞)上是增函数，
解得0故实数x的取值范围是∪.
13.已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围为(　　)
A.(2，3] B.(1，2]
C.(1，3] D.[2，+∞)
答案　B
解析　因为函数y=log2x在[2，+∞)上单调递增，
故y≥log22=1，
又因为f(x)的值域为R，
则u=(a-1)x+5-3a，x<2需满足
解得114.(15分)已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0且a≠1)，且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；(6分)
(2)求f(x)在上的值域.(9分)
解　(1)由f(2)=2得loga2+loga(4-2)=2，
即2loga2=2，
所以loga2=1，解得a=2，
所以f(x)=log2x+log2(4-x)，
由得0故f(x)的定义域为(0，4).
(2)f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4]，
设t(x)=-(x-2)2+4，x∈，
则t(x)max=t(2)=4，
又t(1)=3，t=，所以t(x)min=t=，
即t(x)∈，
所以f(x)max=log24=2，f(x)min=log2=log27-2，
所以f(x)在上的值域为[log27-2，2].
15.设函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 025)=8，则f()+f()+f()+…+f()的值等于　　　　　　.
答案　16
解析　由题意得f()+f()+f()+…+f()=loga+loga+loga+…+loga
=loga(x1x2x3…x2 025)2=2loga(x1x2x3…x2 025)
=2f(x1x2x3…x2 025)=2×8=16.
16.已知函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a，b，则(　　)
A.a>b B.a+b<2
C.ab>1 D.a2+b2>2
答案　D
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x，如图，由图象可知0易知A(a，ea)，B(b，ln b)或A(a，2-a)，B(b，2-b)，
因为函数y=ex和y=ln x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，而A，B分别为y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x的交点，所以点A，B关于直线y=x对称，故a=2-b，则a+b=2，B错误；
由0因为02ab，
所以2(a2+b2)>(a+b)2=4，
a2+b2>2，D正确.

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