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第1课时　对数函数y=logax的图象和性质
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.函数y=loga(x-1)(02.函数y=的定义域为(　　)
A.(-∞，2) B.(2，+∞)
C.(2，3)∪(3，+∞) D.(2，4)∪(4，+∞)
3.已知lomA.nC.14.已知05.(多选)若0A.3y<3x B.logx3C.log4x
6.设a=log36，b=log510，c=log714，则(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
7.(多选)使lo(2x-3)>-2成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x> B.C.28.若函数f(x)是y=ax(a>0且a≠1)的反函数，则函数y=f(2x-1)+3的图象必过定点　　　　　　.
9.若函数f(x)=logax(≤x≤2)的最大值比最小值大1，则实数a=　　　　　　　　.
10.(11分)比较下列各数的大小：
(1)lo3，lo3；(3分)
(2)3log45与4log43；(4分)
(3)lo0.3，log20.8.(4分)
11.(多选)已知实数a，b满足等式log2a=log3b，给出下列四个关系式，其中可能成立的是(　　)
A.a>b>1 B.b>a>1
C.a12.函数f(x)=xlog2|x|+的大致图象是(　　)
13.已知y=loga(3a-1)恒为正值，则a的取值范围为　　　　　　　　　　.
14.(15分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若a=2，解关于x的方程f f(2x)=-5；(8分)
(2)若f(2a-1)>f(a+2)，求a的取值范围.(7分)
15.(多选)已知f(x)=logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1，则f(x)>0
D.若016.已知函数f(x)=|lg(x+1)|，若f(a)=f(b)(aA.(a-1)(b-1)>1 B.(a-1)(b-1)=1
C.(a-1)(b-1)<1 D.以上均有可能
第1课时　对数函数y=logax的图象和性质
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.函数y=loga(x-1)(0答案　A
解析　∵0∴y=logax在(0，+∞)上单调递减，故排除C，D；
又函数y=loga(x-1)的图象是由y=logax的图象向右平移一个单位长度得到的，故A正确.
2.函数y=的定义域为(　　)
A.(-∞，2) B.(2，+∞)
C.(2，3)∪(3，+∞) D.(2，4)∪(4，+∞)
答案　C
解析　要使函数有意义，则
解得23，
所以函数的定义域为(2，3)∪(3，+∞).
3.已知lomA.nC.1答案　D
解析　因为0<<1，lom所以m>n>1.
4.已知0答案　B
解析　由01，则y=a-x=在R上单调递增，y=logax在(0，+∞)上单调递减，故选B.
5.(多选)若0A.3y<3x B.logx3C.log4x
答案　CD
解析　因为0所以3x<3y，logx3>logy3，log4x>.
6.设a=log36，b=log510，c=log714，则(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
答案　D
解析　∵a=log36=log33+log32=1+log32，
b=log510=log55+log52=1+log52，
c=log714=log77+log72=1+log72，
且log32>log52>log72，∴a>b>c.
7.(多选)使lo(2x-3)>-2成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x> B.C.2答案　CD
解析　∵lo(2x-3)>-2，
∴lo(2x-3)>lo，
∴lo(2x-3)>lo4，
∴0<2x-3<4，即∴不等式的解集为.
易得使不等式成立的一个充分不必要条件所对应的集合必须是集合的真子集，结合选项可知C，D正确.
8.若函数f(x)是y=ax(a>0且a≠1)的反函数，则函数y=f(2x-1)+3的图象必过定点　　　　　　.
答案　(1，3)
解析　因为函数f(x)是y=ax(a>0且a≠1)的反函数，
所以f(x)=logax(a>0且a≠1)，
令g(x)=f(2x-1)+3=loga(2x-1)+3，
令2x-1=1，得x=1，此时g(1)=3，
所以函数y=f(2x-1)+3的图象必过定点(1，3).
9.若函数f(x)=logax(≤x≤2)的最大值比最小值大1，则实数a=　　　　　　　　.
答案　或
解析　当0解得a= ；
当a>1时，f(x)=logax在[，2]上单调递增，则loga2-loga=1，即loga=1，解得a=.
综上可得，a=或a=.
10.(11分)比较下列各数的大小：
(1)lo3，lo3；(3分)
(2)3log45与4log43；(4分)
(3)lo0.3，log20.8.(4分)
解　(1)∵log3∴<，即lo3(2)∵3log45=log453=log4125，4log43=log481，
且对数函数y=log4x在定义域(0，+∞)上是增函数，125>81，
∴log4125>log481，即3log45>4log43.
(3)∵lo0.3>0，log20.8<0，
∴lo0.3>log20.8.
11.(多选)已知实数a，b满足等式log2a=log3b，给出下列四个关系式，其中可能成立的是(　　)
A.a>b>1 B.b>a>1
C.a答案　BD
解析　实数a，b满足等式log2a=log3b，
即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等，
当a=b=1时，log2a=log3b=0，
令log2a=log3b=1，可得a=2，b=3，由此知B成立，A不成立；
令log2a=log3b=-1，可得a=，b=，由此知D成立，C不成立.
综上可知，可能成立的关系式为BD.
12.函数f(x)=xlog2|x|+的大致图象是(　　)
答案　A
解析　由题意知，f(x)的定义域为，
由于f(-x)=-xlog2|-x|+=-=-f(x)，
故f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，D，
又当x>1时，log2|x|=log2x>0，故f(x)>0，故排除选项C，故A正确.
13.已知y=loga(3a-1)恒为正值，则a的取值范围为　　　　　　　　　　.
答案　∪(1，+∞)
解析　当即y=loga(3a-1)恒为正值；
当即a>1时，
y=loga(3a-1)恒为正值.
综上所述，1.
即a的取值范围为∪(1，+∞).
14.(15分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若a=2，解关于x的方程f f(2x)=-5；(8分)
(2)若f(2a-1)>f(a+2)，求a的取值范围.(7分)
解　(1)当a=2时，f(x)=log2x，
f f(2x)=log2·log2(2x)=(log28-log2x)(log22+log2x)=(3-log2x)(1+log2x)，
方程f f(2x)=-5，
即(3-log2x)(1+log2x)=-5，
化简得(log2x-4)(log2x+2)=0，
所以log2x=4或log2x=-2，
解得x=16或x=.
(2)f(2a-1)>f(a+2)，
①当0解得②当a>1时，函数f(x)=logax在(0，+∞)上单调递增，故03，
综上可得，a的取值范围为∪(3，+∞).
15.(多选)已知f(x)=logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1，则f(x)>0
D.若0答案　ACD
解析　由题意知2=loga4，解得a=2，故f(x)=log2x，函数为增函数，故A正确；
f(x)=log2x为非奇非偶函数，故B错误；
当x>1时，f(x)=log2x>log21=0成立，故C正确；
因为=log2x1+log2x2
=log2x1x2=log2.
f=log2，
又f(x)=log2x为增函数，
0所以16.已知函数f(x)=|lg(x+1)|，若f(a)=f(b)(aA.(a-1)(b-1)>1 B.(a-1)(b-1)=1
C.(a-1)(b-1)<1 D.以上均有可能
答案　C
解析　作出函数f(x)=|lg(x+1)|的图象，如图.
由图结合题意可知，-lg(a+1)=lg(b+1)，-1所以lg(a+1)+lg(b+1)=lg[(a+1)(b+1)]=0，
所以(a+1)(b+1)=1，即ab+a+b=0，所以a+b=-ab，
所以(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=1+2ab<1.第2课时　对数函数y=logax的图象和性质的综合问题
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分
1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　)
A.[0，1] B.(0，1)
C.(-∞，1] D.[1，+∞)
2.函数f(x)=ln(|x|+1)的图象大致是(　　)
3.关于函数y=log0.4(-x2+3x+4)，下列说法错误的是(　　)
A.定义域为(-1，4)
B.定义域为(-∞，-1)∪(4，+∞)
C.值域为[-2，+∞)
D.单调递增区间为
4.已知函数f(x)=log3(1-ax)，若f(x)在(-∞，2]上为减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A.(0，+∞) B.
C.(1，2) D.(-∞，0)
5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B. C.2 D.4
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了0.5 mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40%的速度减少，那么他至少经过　　　小时才能安全驾驶(结果取整数，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(多选)已知函数f(x)=lg x+lg(2-x)，则下列选项错误的有(　　)
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.f(x)存在最小值
D.f(x)存在最大值
8.若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)(a≠0)有最小值，则实数a的取值范围是　　　　　　.
9.设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数，那么a=　　　　　　.
10.(12分)已知f(x)=loga(x+1)，g(x)=loga(1-x)(其中a>0且a≠1).
(1)求f(x)+g(x)的定义域；(3分)
(2)判断f(x)+g(x)的奇偶性并说明理由；(4分)
(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的集合.(5分)
11.(多选)若函数f(x)=loga|x-b|在(-∞，0)上单调递增，则a，b的值可能是(　　)
A.a=2，b=2 B.a=，b=
C.a=e，b=-2 D.a=，b=0
12.“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.设f(x)=|lg(x-1)|，若014.(15分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数，函数g(x)=是奇函数.
(1)求m+n的值；(5分)
(2)当x≥1时，求g(x)的值域；(4分)
(3)设h(x)=f(x)+x，若g(x)>h(log4(2a+1))对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围.(6分)
15.(多选)函数f(x)=ln[x2]，其中[a]表示不超过a的最大整数.则下列说法正确是(　　)
A.f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)
B.方程f(x)=1没有实数根
C.函数g(x)=f(x)-2ln x的最小值为-ln 2
D.函数g(x)=f(x)-2ln x的最大值为0
16.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1)，若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上，并且当x∈[0，1)时，总有f(x)+g(x)≥m成立，则m的取值范围为　　　　　　.
第2课时　对数函数y=logax的图象和性质的综合问题
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分
1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　)
A.[0，1] B.(0，1)
C.(-∞，1] D.[1，+∞)
答案　A
解析　∵0≤x≤1，∴1≤x+1≤2，
∴log21≤log2(x+1)≤log22，
即0≤log2(x+1)≤1，故函数f(x)的值域为[0，1].
2.函数f(x)=ln(|x|+1)的图象大致是(　　)
答案　C
解析　f(x)=ln(|x|+1)，x∈R，排除A；
f(-x)=ln(|-x|+1)=ln(|x|+1)=f(x)，
故函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B；
当x=0时，f(0)=ln 1=0，排除D；
选项C符合题意.
3.关于函数y=log0.4(-x2+3x+4)，下列说法错误的是(　　)
A.定义域为(-1，4)
B.定义域为(-∞，-1)∪(4，+∞)
C.值域为[-2，+∞)
D.单调递增区间为
答案　B
解析　令-x2+3x+4>0，得-1即函数y=log0.4(-x2+3x+4)的定义域为(-1，4)，A正确，B错误；
∵-x2+3x+4=-+，x∈(-1，4)，
∴-x2+3x+4∈，
∴y=log0.4(-x2+3x+4)的值域为[-2，+∞)，C正确；
令t=-x2+3x+4，x∈(-1，4)，
则其在上单调递增，在上单调递减，
又y=log0.4t在(0，+∞)上单调递减，
∴y=log0.4(-x2+3x+4)的单调递增区间为，D正确.
4.已知函数f(x)=log3(1-ax)，若f(x)在(-∞，2]上为减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A.(0，+∞) B.
C.(1，2) D.(-∞，0)
答案　B
解析　由于函数f(x)=log3(1-ax)在(-∞，2]上为减函数，且函数y=log3u为增函数，
则函数u=1-ax在(-∞，2]上为减函数，
∴-a<0，得a>0，且u=1-ax>0在(-∞，2]上恒成立，
则umin=1-2a>0，解得a<.
因此，实数a的取值范围是.
5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B. C.2 D.4
答案　B
解析　由题意得当a>1时，
f(1)+f(0)=a+loga2+1=a，
即loga2=-1，解得a=，与a>1矛盾；
当0即loga2=-1，解得a=.
综上，a的值为.
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了0.5 mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40%的速度减少，那么他至少经过　　　小时才能安全驾驶(结果取整数，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　设至少经过x小时后才能安全驾驶，
则满足100×0.5×(1-40%)x<20，
化简得0.6x<0.4，
根据y=lg x是增函数可得lg 0.6x即xlg 0.6因为lg 0.6<0，所以x>==≈≈1.79，
所以他至少要经过2小时后才能驾驶.
7.(多选)已知函数f(x)=lg x+lg(2-x)，则下列选项错误的有(　　)
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.f(x)存在最小值
D.f(x)存在最大值
答案　ABC
解析　f(x)=lg x+lg(2-x)=lg[x(2-x)]=lg(2x-x2)，
由得0故函数f(x)=lg x+lg(2-x)的定义域为(0，2)；
令t=2x-x2，x∈(0，2)，则y=lg t，二次函数t=2x-x2的图象开口向下，其对称轴为直线x=1，所以t=2x-x2在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
所以t=2x-x2∈(0，1]，
又函数y=lg t在(0，1]上单调递增，由复合函数的单调性，可得f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A，B错误；
当t∈(0，1]时，y=lg t∈(-∞，0]，
即f(x)∈(-∞，0]，所以f(x)在(0，2)上的最大值为0，无最小值，故C错误，D正确.
8.若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)(a≠0)有最小值，则实数a的取值范围是　　　　　　.
答案　(0，4)
解析　令t=ax2+ax+1，
若f(x)有最小值，且t=ax2+ax+1有最小值，且最小值大于0，则解得0即实数a的取值范围是(0，4).
9.设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数，那么a=　　　　　　.
答案　-
解析　方法一　∵f(x)为偶函数，定义域为R，
∴f(-1)=f(1)，
即lg(10-1+1)-a=lg(10+1)+a，
即lg(1.1)-lg(11)=2a，lg 0.1=2a，
即-1=2a，
解得a=-.
方法二　∵f(x)为偶函数，定义域为R，
∴对任意的实数x都有f(-x)=f(x)，
即lg(10-x+1)-ax=lg(10x+1)+ax，
整理得lg(10-x+1)-lg(10x+1)=2ax
lg 10-x=2ax 102ax=10-x， (*)
∵(*)式对任意的实数x恒成立，∴2a=-1，
即a=-.
10.(12分)已知f(x)=loga(x+1)，g(x)=loga(1-x)(其中a>0且a≠1).
(1)求f(x)+g(x)的定义域；(3分)
(2)判断f(x)+g(x)的奇偶性并说明理由；(4分)
(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的集合.(5分)
解　(1)f(x)+g(x)的定义域需满足
解得-1所以f(x)+g(x)的定义域为(-1，1).
(2)f(x)+g(x)为偶函数，
设F(x)=f(x)+g(x)，则
F(-x)=loga(-x+1)+loga(1+x)=F(x)，
又F(x)的定义域为(-1，1)关于原点对称，
所以f(x)+g(x)为偶函数.
(3)由f(x)+g(x)<0得
loga(x+1)+loga(1-x)<0，
即当a>1时，
解得-1即x∈(-1，0)∪(0，1)；
当0综上所述，当a>1时，使f(x)+g(x)<0成立的x的集合为(-1，0)∪(0，1)；当011.(多选)若函数f(x)=loga|x-b|在(-∞，0)上单调递增，则a，b的值可能是(　　)
A.a=2，b=2 B.a=，b=
C.a=e，b=-2 D.a=，b=0
答案　BD
解析　令t=|x-b|，该函数在(-∞，b)上单调递减，要使函数f(x)=loga|x-b|在(-∞，0)上单调递增，则外层函数y=logat是定义域内的减函数，则012.“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a<0时，函数y=ax2+x-8a的图象开口向下，则当x∈[2，+∞)时，y>0不恒成立，故不符合题意；
当a=0时，函数f(x)=ln x在[2，+∞)上单调递增，符合题意；
当a>0时，由f(x)在[2，+∞)上单调递增可知，
二次函数y=ax2+x-8a在[2，+∞)上单调递增，且y=ax2+x-8a>0恒成立，
则解得0综上所述，若函数f(x)=ln(ax2+x-8a)在[2，+∞)上单调递增，则a的取值范围是.
因为，
所以“013.设f(x)=|lg(x-1)|，若0答案　(4，+∞)
解析　先画出函数f(x)=|lg(x-1)|的图象，如图，
∵0且f(a)=f(b)，
∴12，
∴-lg(a-1)=lg(b-1)，
∴=b-1，∴a=1+，
∴a+b=b++1=b-1++2
≥2+2=4，
∵b>2，∴b-1≠，故上式“=”取不到，
∴a+b>4，∴a+b的取值范围是(4，+∞).
14.(15分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数，函数g(x)=是奇函数.
(1)求m+n的值；(5分)
(2)当x≥1时，求g(x)的值域；(4分)
(3)设h(x)=f(x)+x，若g(x)>h(log4(2a+1))对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围.(6分)
解　(1)由于g(x)为奇函数，且定义域为R，
∴g(0)=0，即=0，得n=1.
当n=1时，函数g(x)==2x-2-x，
满足g(-x)=2-x-2x=-g(x)，
g(x)为奇函数，符合题意.
∵f(x)=log4(4x+1)+mx，
∴f(-x)=log4(4-x+1)-mx
=log4(4x+1)-(m+1)x.
∵f(x)是偶函数，
∴f(-x)=f(x)，得mx=-(m+1)x恒成立，
故m=-.
综上所述，m+n=.
(2)∵g(x)==2x-2-x在区间[1，+∞)上单调递增，
∴当x≥1时，g(x)≥g(1)=，
∴g(x)的值域为.
(3)∵h(x)=f(x)+x=log4(4x+1)，
∴h(log4(2a+1))=log4(2a+2).
由(2)知，当x≥1时，g(x)min=g(1)=，
由题意，得解得-因此实数a的取值范围是.
15.(多选)函数f(x)=ln[x2]，其中[a]表示不超过a的最大整数.则下列说法正确是(　　)
A.f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)
B.方程f(x)=1没有实数根
C.函数g(x)=f(x)-2ln x的最小值为-ln 2
D.函数g(x)=f(x)-2ln x的最大值为0
答案　BD
解析　对于A，当x=时，[x2]=0，函数f(x)无意义，A错误；
对于B，由f(x)=1，得[x2]=e，而[x2]∈Z，e Z，因此方程f(x)=1没有实数根，B正确；
对于C，D，函数g(x)=ln[x2]-ln x2，令[x2]=k∈N+，则k≤x2ln k-ln(k+1)因此-ln 216.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1)，若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上，并且当x∈[0，1)时，总有f(x)+g(x)≥m成立，则m的取值范围为　　　　　　.
答案　(-∞，0]
解析　设P(x，y)，则Q(-x，-y)是点P关于原点对称的点.
∵Q(-x，-y)在f(x)的图象上，
∴-y=loga(-x+1)，
即y=g(x)=-loga(1-x).
由f(x)+g(x)≥m，则loga≥m.
设F(x)=loga=loga，x∈[0，1)，由题意知，
只要F(x)min≥m即可.
∵F(x)在[0，1)上单调递增，∴F(x)min=F(0)=0，∴m≤0，∴m的取值范围是(-∞，0].

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