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§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.如图是红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A.指数函数：y=2t B.对数函数：y=log2t
C.幂函数：y=t3 D.二次函数：y=2t2
2.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
3.有一组实验数据如表：
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这些数据的最佳函数模型是(　　)
A.y= B.y=log2x
C.y= D.y=x2
4.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是(　　)
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一
B.投资4天，不采用方案三
C.投资6天，采用方案一
D.投资12天，采用方案二
5.下面对函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=在区间(0，+∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)
A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
6.已知对数函数f(x)=log2x，一次函数g(x)=x-，则当f(x)的图象位于g(x)的图象下方时，x的取值范围为(　　)
A.(0，1)∪(4，+∞) B.(0，1)∪(3，+∞)
C.(0，2)∪(4，+∞) D.(0，2)∪(3，+∞)
7.对于任意x∈(m，+∞)，不等式2x-1>x>log3x恒成立，则m的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.函数f(x)=x-的图象大致为(　　)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9.以下四种说法中，不正确的是(　　)
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0，xa>logax
C.对任意的x>0，ax>logax
D.若a>1，c>0，则一定存在x0，使x>x0，总有ax>xc>logax
10.现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，65 ℃，给出两个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟，t∈N)的函数模型：①T=80·+20；②T=60·+20.根据所给的数据，下列结论中正确的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A.选择函数模型①
B.选择函数模型②
C.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
三、填空题(每小题5分，共10分)
11.已知函数f(x)=3x，g(x)=2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　　　　 .
12.某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部、1.2万部、1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和函数y=abx+c(b>0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则5月份的销售量为　　　　万部.
四、解答题(共28分)
13.(13分)函数f(x)=2x(x>0)和g(x)=x2(x>0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(3分)
(2)求点A，B的坐标；(4分)
(3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2 027)，g(2 027)的大小.(6分)
14.(15分)某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表：
上市时间x/天 4 10 36
市场价y/元 90 51 90
(1)根据上表数据，从下列函数模型中选取一个恰当的函数模型来描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；(6分)
①y=ax+b；②y=ax2+bx+c；
③y=alogbx(b>0，且b≠1).
(2)利用你选取的函数模型，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格.(9分)
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.如图是红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A.指数函数：y=2t B.对数函数：y=log2t
C.幂函数：y=t3 D.二次函数：y=2t2
答案　A
解析　由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数模型.
2.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
答案　C
解析　通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，变量y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，变量y1随x的变化符合此规律，故选C.
3.有一组实验数据如表：
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这些数据的最佳函数模型是(　　)
A.y= B.y=log2x
C.y= D.y=x2
答案　C
解析　对于A，B，观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，A，B不正确；对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，故C最佳.
4.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是(　　)
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一
B.投资4天，不采用方案三
C.投资6天，采用方案一
D.投资12天，采用方案二
答案　D
解析　若投资3天，由图易知方案一每天的回报最大，故采用方案一；
若投资4天，方案三回报最小，故不采用；
若投资6天，方案一为40×6=240(元)，方案二为10+20+…+60=210(元)，故采用方案一；
若投资12天，易知采用方案三回报最大.
5.下面对函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=在区间(0，+∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)
A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
答案　C
解析　观察函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=在区间(0，+∞)上的大致图象如图所示，可知函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，+∞)上，递减较慢，且越来越慢.同样，函数g(x)的图象在区间(0，+∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢.函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，+∞)上，递减较慢，且越来越慢.
6.已知对数函数f(x)=log2x，一次函数g(x)=x-，则当f(x)的图象位于g(x)的图象下方时，x的取值范围为(　　)
A.(0，1)∪(4，+∞) B.(0，1)∪(3，+∞)
C.(0，2)∪(4，+∞) D.(0，2)∪(3，+∞)
答案　A
解析　作出y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示，则对数函数f(x)=log2x与一次函数g(x)=x-交于点A(1，0)，B(4，2)，所以当f(x)的图象位于g(x)的图象下方时，x的取值范围为(0，1)∪(4，+∞).
7.对于任意x∈(m，+∞)，不等式2x-1>x>log3x恒成立，则m的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　A
解析　当x>0时，令2x-1=x，解得x=1，
结合函数y=2x-1和y=x的图象(图略)可知，当x>1时，2x-1>x恒成立；
又y=x的图象恒在y=log3x图象的上方(图略)，即x>log3x恒成立，则m的最小值为1.
8.函数f(x)=x-的图象大致为(　　)
答案　A
解析　f(x)的定义域为{x|x≠0}，
f(-x)=-x-=-x+=-f(x)，
则f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B，C；
当00，
当x>1时，由于y=x的增长速度比y=ln x的增长速度快，且均为正，
则<1，f(x)=x->0，排除D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9.以下四种说法中，不正确的是(　　)
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0，xa>logax
C.对任意的x>0，ax>logax
D.若a>1，c>0，则一定存在x0，使x>x0，总有ax>xc>logax
答案 　ABC
解析　对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B，C都受a的影响.
10.现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，65 ℃，给出两个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟，t∈N)的函数模型：①T=80·+20；②T=60·+20.根据所给的数据，下列结论中正确的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A.选择函数模型①
B.选择函数模型②
C.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
答案　AD
解析　将t=2代入T=80·+20，得T=65；
将t=2代入T=60·+20，得T=.
故选择函数模型①.
由T=80·+20≤60，
可得t≥=≈2.5，
故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟.
三、填空题(每小题5分，共10分)
11.已知函数f(x)=3x，g(x)=2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　　　　 .
答案　f(x)>g(x)
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=3x，g(x)=2x的图象，如图所示，由于函数f(x)=3x的图象在函数g(x)=2x图象的上方，则f(x)>g(x).
12.某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部、1.2万部、1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和函数y=abx+c(b>0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则5月份的销售量为　　　　万部.
答案　1.375
解析　由题意得，当选用函数y=ax2+bx+c(a≠0)时，
可得解得
∴y=-0.05x2+0.35x+0.7，则当x=4时，y=1.3；
当选用函数y=abx+c(b>0，b≠1)时，可得解得
∴y=-0.8×0.5x+1.4，则当x=4时，y=1.35，
∵1.35更接近于1.37，选用函数y=abx+c拟合效果更好，
∴当x=5时，y=1.375，5 月份的销售量为1.375万部.
四、解答题(共28分)
13.(13分)函数f(x)=2x(x>0)和g(x)=x2(x>0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(3分)
(2)求点A，B的坐标；(4分)
(3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2 027)，g(2 027)的大小.(6分)
解　(1)C1对应的函数为g(x)=x2(x>0)，C2对应的函数为f(x)=2x(x>0).
(2)因为f(2)=4，g(2)=4，f(4)=16，g(4)=16，
所以A(2，4)，B(4，16).
(3)由图象和(2)可知，
当0g(x)，
当2当x>4时，f(x)>g(x)，
所以f(2 027)>g(2 027)，f(3)又因为g(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以g(2 027)>g(3)，
故f(2 027)>g(2 027)>g(3)>f(3).
14.(15分)某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表：
上市时间x/天 4 10 36
市场价y/元 90 51 90
(1)根据上表数据，从下列函数模型中选取一个恰当的函数模型来描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；(6分)
①y=ax+b；②y=ax2+bx+c；
③y=alogbx(b>0，且b≠1).
(2)利用你选取的函数模型，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格.(9分)
解　(1)因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的函数模型中y=ax+b和y=alogbx(b>0，且b≠1)都是单调函数，不满足题意，
所以选择y=ax2+bx+c.
(2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入y=ax2+bx+c中，得
解得
所以y=x2-10x+126=(x-20)2+26，
所以当x=20时，y有最小值26，
所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元.

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