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周末练10　范围：第四章§1~§3
[分值：110分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若m2 025=n(m>0，且m≠1)，则(　　)
A.logmn=2 025 B.lognm=2 025
C.log2 025m=n D.log2 025n=m
2.若xlog34=1，则4x-4-x等于(　　)
A. B. C. D.
3.函数y=的定义域为(　　)
A.(-∞，-4)∪(-4，1)
B.(-∞，-1)∪(-1，4)
C.(-∞，1)
D.(1，+∞)
4.已知函数f(x)=若f(a)=3，则f(a-2)等于(　　)
A.- B.3
C.-或3 D.-或3
5.函数y=x+a与y=logax的图象只可能是下图中的(　　)
6.已知函数f(x)=log2(2x+1)-x，若a=f()，b=f()，c=f()，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.下列求值正确的是(　　)
A.log927=
B.若log27x=-，则x=
C.lo81=16
D.若logx16=-4，则x=-2
8.若1A.log3mC.logm3
9.已知函数f(x)=log5(x2-ax-a-1)，则下列说法正确的有(　　)
A.不存在实数a，使f(x)的定义域为R
B.当a=0时，函数y=为偶函数
C.若函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(-∞，1)
D.函数f(x)一定有最小值
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.已知m>0，且10x=lg(10m)+lg ，则x=　　　　　　.
11.函数y=log2(-x2+4x)的值域是　　　　　　.
12.已知函数f(x)=ln(+x)+x，若f(2x-1)+f(2-x)>0，则x的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(共27分)
13.(13分)(1)计算下列各式：
①lg-lg+lg；(4分)
②lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg+lg 0.06；(4分)
(2)已知log23=a，log37=b，试用a，b表示log1456.(5分)
14.(14分)已知函数f(x)=lg.
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(7分)
(2)在(1)的条件下，若f(x)在区间(m，n)上的值域为(-1，+∞)，求实数m，n的值.(7分)
15.(5分)已知2a=b3=loc，则a，b，c的大小关系不可能为(　　)
A.bC.a16.★★(15分)已知函数f(x)=log2(2ax-4+1)-x的图象关于直线x=2对称.
(1)求a的值；(7分)
(2)若关于x的方程m2+4m=3f(x)有解，求m的取值范围.(8分)
周末练10　范围：第四章§1~§3
[分值：110分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若m2 025=n(m>0，且m≠1)，则(　　)
A.logmn=2 025 B.lognm=2 025
C.log2 025m=n D.log2 025n=m
答案　A
解析　∵m2 025=n(m>0，且m≠1)，
∴logmn=2 025.
2.若xlog34=1，则4x-4-x等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵xlog34=1，∴x==log43，∴4x-4-x=-=3-=.
3.函数y=的定义域为(　　)
A.(-∞，-4)∪(-4，1)
B.(-∞，-1)∪(-1，4)
C.(-∞，1)
D.(1，+∞)
答案　A
解析　∵
∴函数y=的定义域为(-∞，-4)∪(-4，1).
4.已知函数f(x)=若f(a)=3，则f(a-2)等于(　　)
A.- B.3
C.-或3 D.-或3
答案　A
解析　当a>0时，若f(a)=3，则log2a+a=3，
解得a=2，满足a>0；
当a≤0时，若f(a)=3，则4a-2-1=3，
解得a=3，不满足a≤0，舍去，综上，a=2.
故f(a-2)=f(0)=4-2-1=-.
5.函数y=x+a与y=logax的图象只可能是下图中的(　　)
答案　C
解析　由A选项中y=x+a的图象知a>1，而y=logax为减函数，故A错误；由B选项中y=x+a的图象知06.已知函数f(x)=log2(2x+1)-x，若a=f()，b=f()，c=f()，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
答案　B
解析　f(x)=log2(2x+1)-x=log2=log2，定义域为R，
因为y=1+是减函数，y=log2x是增函数，所以f(x)在R上单调递减，
因为8<9故f()>f()>f ，即a>c>b.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.下列求值正确的是(　　)
A.log927=
B.若log27x=-，则x=
C.lo81=16
D.若logx16=-4，则x=-2
答案　ABC
解析　设x=log927，则9x=27，32x=33，
∴2x=3，∴x=，故A正确；
∵log27x=-，
∴x=2==3-2=，故B正确；
设x=lo81，则()x=81，=34，
∴=4，∴x=16，故C正确；
∵logx16=-4，∴x-4=16，即x4==.
又x>0，∴x=，故D错误.
8.若1A.log3mC.logm3
答案　AD
解析　因为y=log3x是(0，+∞)上的增函数，且1logn3，故C错误；y=在(1，+∞)上单调递减，且1，故D正确.
9.已知函数f(x)=log5(x2-ax-a-1)，则下列说法正确的有(　　)
A.不存在实数a，使f(x)的定义域为R
B.当a=0时，函数y=为偶函数
C.若函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(-∞，1)
D.函数f(x)一定有最小值
答案　AB
解析　对于A，要使函数f(x)=log5(x2-ax-a-1)的定义域为R，则x2-ax-a-1>0对x∈R恒成立，即存在实数a，使得Δ=a2+4a+4<0.
又因为a2+4a+4=(a+2)2≥0，所以不存在实数a，使得Δ=a2+4a+4<0，故不存在实数a，使f(x)的定义域为R，故A正确；
当a=0时，f(x)=log5(x2-1)，定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，又y=ex+e-x恒大于0，所以y=的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，关于坐标原点对称，设g(x)==，则g(-x)==g(x)，故函数y=为偶函数，故B正确；
因为y=log5t是增函数，函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递增，所以y=x2-ax-a-1在区间(2，+∞)上单调递增，且x2-ax-a-1>0在(2，+∞)上恒成立，
所以解得a≤1，故C错误；
当f(x)的值域为R时，不存在最小值，要使f(x)=log5(x2-ax-a-1)的值域为R，函数y=x2-ax-a-1的值域M满足(0，+∞) M，所以Δ=a2+4a+4=(a+2)2≥0，解得a∈R，故对任意实数a，f(x)的值域为R，即f(x)不存在最小值，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.已知m>0，且10x=lg(10m)+lg ，则x=　　　　　　.
答案　0
解析　lg(10m)+lg =lg=1，
所以10x=1=100，
所以x=0.
11.函数y=log2(-x2+4x)的值域是　　　　　　.
答案　(-∞，2]
解析　由题意得-x2+4x>0，解得0即函数y=log2(-x2+4x)的定义域为(0，4).
令t=-x2+4x，
又x∈(0，4)时，0即t∈(0，4]，所以y=log2(-x2+4x)=log2t∈(-∞，2]，即值域为(-∞，2].
12.已知函数f(x)=ln(+x)+x，若f(2x-1)+f(2-x)>0，则x的取值范围是　　　　　　.
答案　(-1，+∞)
解析　因为函数f(x)=ln(+x)+x，定义域为R，
且f(-x)=ln(-x)-x，
则f(-x)+f(x)=ln(-x)-x+ln(+x)+x=ln[(-x)·(+x)]=ln(x2+1-x2)=ln 1=0，
即f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，
当x>0时，y=+x，y=ln x，y=x均单调递增，
所以f(x)=ln(+x)+x在(0，+∞)上单调递增，
则f(x)在(-∞，0)上也单调递增，所以f(x)是奇函数，
且在R上单调递增，
由f(2x-1)+f(2-x)>0，
可得f(2x-1)>f(x-2)，
则2x-1>x-2，
解得x>-1，
即x的取值范围为(-1，+∞).
四、解答题(共27分)
13.(13分)(1)计算下列各式：
①lg-lg+lg；(4分)
②lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg+lg 0.06；(4分)
(2)已知log23=a，log37=b，试用a，b表示log1456.(5分)
解　(1)①原式=(lg 32-lg 49)-lg +(lg 49+lg 5)
=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5
=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
②原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3(lg 5+lg 2)-2=3-2=1.
(2)因为log27==log23·log37=ab，
所以log1456=log1414+log144=1+=1+=1+=.
14.(14分)已知函数f(x)=lg.
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(7分)
(2)在(1)的条件下，若f(x)在区间(m，n)上的值域为(-1，+∞)，求实数m，n的值.(7分)
解　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)+f(-x)=0，
∴lg+lg=0，∴=1，
解得a=1(a=-1舍去).
经验证当a=1时，f(x)的定义域为(-1，1)，符合题意，
故a=1.
(2)由(1)知f(x)=lg，其定义域为(-1，1).
令t==-1+，
易知当x∈(-1，1)时，t=单调递减，而y=lg t在定义域上为增函数，
∴f(x)=lg在定义域上是减函数，则m=-1，
由题意知f(n)=lg=-1，
解得n=.
故所求m的值为-1，n的值为.
15.(5分)已知2a=b3=loc，则a，b，c的大小关系不可能为(　　)
A.bC.a答案　A
解析　设2a=b3=loc=t，t>0，则a=log2t，b=，c=，
分别作出y=log2t，y=，y=的图象，如图所示，
由图可知，当0t3时，c16.★★(15分)已知函数f(x)=log2(2ax-4+1)-x的图象关于直线x=2对称.
(1)求a的值；(7分)
(2)若关于x的方程m2+4m=3f(x)有解，求m的取值范围.(8分)
解　(1)由题意可知f(0)=f(4)，
则log2(2-4+1)-0=log2(24a-4+1)-4，
即log2(2-4+1)=log2(24a-4+1)-log224，
∴log2(2-4+1)=log2，
则2-4+1=，解得a=2.
当a=2时，f(x)=log2(22x-4+1)-x=log2(2x-4+2-x)，显然满足f(x)=f(4-x)，
即函数f(x)的图象关于直线x=2对称，
故a=2.
(2)由(1)可知f(x)=log2(2x-4+2-x)，
又2x-4+2-x≥2=，
当且仅当x-4=-x，
即x=2时取等号，
根据对数函数的单调性可知
f(x)min=f(2)=log2=-1，
则f(x)的值域为[-1，+∞)，
∵关于x的方程m2+4m=3f(x)有解，
∴m2+4m≥3f(x)min，
即m2+4m+3≥0，解得m≥-1或m≤-3，
故m的取值范围为(-∞，-3]∪[-1，+∞).

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