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1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.二次函数y=2x2+x-1的零点是(　　)
A.，-1 B.-，1
C.，(1，0) D.，(-1，0)
2.(多选)方程(x2-4)=0的解可以是(　　)
A.x=-2 B.x=-
C.x= D.x=2
3.方程log3x+x=3的实数解所在的区间为(　　)
A.(0，2) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
4.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x，f(x)的部分对应值如表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 36.1 15.5 -3.9 10.8 -52.4 -32.0 11.2
由表可知函数f(x)的零点至少有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
6.对于函数f(x)，若f(-1)f(3)<0，则(　　)
A.方程f(x)=0一定有一实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
7.若函数f(x)在定义域{x|x∈R，且x≠0}上是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，f(2)=0，则函数f(x)的零点有(　　)
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
8.函数f(x)=的零点有　　　　　个.
9.已知f(x)是y=3x的反函数，g(x)=f(x)+2x-6的零点为a，且a∈(n，n+1)(n∈N)，则n=　　　　　　.
10.(13分)求下列函数的零点：
(1)f(x)=；(3分)
(2)f(x)=x2+2x+4；(3分)
(3)f(x)=2x-3；(3分)
(4)f(x)=1-log3x.(4分)
11.方程|lg x|-=0的根的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
12.(多选)已知函数f(x)=-log2x，0A.0d>b
C.d>c D.a13.已知函数f(x)=方程f(x)-2=k恰有三个不同的实数解，则k的取值范围是　　　　　　　　.
14.(15分)已知函数f(x)=a·9x+3x-2.
(1)当a=1时，求函数f(x)的零点；(6分)
(2)若函数f(x)恰好有两个零点，求实数a的取值范围.(9分)
15.已知函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　　　.
16.若函数f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2存在零点，则实数a的值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.二次函数y=2x2+x-1的零点是(　　)
A.，-1 B.-，1
C.，(1，0) D.，(-1，0)
答案　A
解析　二次函数y=2x2+x-1的零点是方程2x2+x-1=0的解，解得x=，或x=-1.
2.(多选)方程(x2-4)=0的解可以是(　　)
A.x=-2 B.x=-
C.x= D.x=2
答案　CD
解析　由题意，得方程(x2-4)=0，
则x2-4=0或2x-1=0，
解得x=±2或x=，
又由2x-1≥0，解得x≥，所以方程(x2-4)=0的解为x=2或x=.
3.方程log3x+x=3的实数解所在的区间为(　　)
A.(0，2) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案　C
解析　令f(x)=log3x+x-3，
则f(1)=log31+1-3=-2<0，
f(2)=log32+2-3=log3<0，
f(3)=log33+3-3=1>0，
又f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(2)f(3)<0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)，所以方程log3x+x=3的实数解所在的区间为(2，3).
4.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x，f(x)的部分对应值如表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 36.1 15.5 -3.9 10.8 -52.4 -32.0 11.2
由表可知函数f(x)的零点至少有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案　D
解析　∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，
f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，
∴函数f(x)至少有4个零点.
5.已知函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
答案　C
解析　易知函数f(x)=2x--a在区间(0，+∞)上单调递增，
所以由条件可知，f(1)·f(2)<0，
即(2-2-a)(4-1-a)=a(a-3)<0，
解得06.对于函数f(x)，若f(-1)f(3)<0，则(　　)
A.方程f(x)=0一定有一实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
答案　D
解析　∵函数f(x)的图象在[-1，3]上未必连续，故尽管有f(-1)f(3)<0，但方程f(x)=0在(-1，3)上可能无实数解.
7.若函数f(x)在定义域{x|x∈R，且x≠0}上是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，f(2)=0，则函数f(x)的零点有(　　)
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
答案　B
解析　f(x)在(0，+∞)上单调递减， f(2)=0，所以f(x)在(0，+∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(-∞，0)上有且仅有一个零点-2.因此函数f(x)有两个零点.
8.函数f(x)=的零点有　　　　　个.
答案　2
解析　方法一　由f(x)=
得当x≤0时，f(x)=x2+3x-1=-.
此时，f(x)在上单调递减，在上单调递增.
又f(-4)=16-12-1=3>0，f =-<0，f(0)=-1<0，
所以f(x)在上有一个零点，在上没有零点.
当x>0时，f(x)=log2(x+1)-2，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.
又f(3)=log24-2=0，所以f(x)在(0，+∞)上有一个零点.
综上所述，函数f(x)的零点有2个.
方法二　令f(x)=0，
则或
解得x=或x=3.
所以函数f(x)的零点有2个.
9.已知f(x)是y=3x的反函数，g(x)=f(x)+2x-6的零点为a，且a∈(n，n+1)(n∈N)，则n=　　　　　　.
答案　2
解析　由题意知f(x)=log3x，则g(x)=log3x+2x-6，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，
又g(2)=log32+22-6=log32-20，所以a∈(2，3)，即n=2.
10.(13分)求下列函数的零点：
(1)f(x)=；(3分)
(2)f(x)=x2+2x+4；(3分)
(3)f(x)=2x-3；(3分)
(4)f(x)=1-log3x.(4分)
解　(1)令=0，解得x=-3，
所以函数f(x)=的零点是-3.
(2)令x2+2x+4=0，
由于Δ=22-4×4=-12<0，
所以方程x2+2x+4=0无解，
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
(3)令2x-3=0，
解得x=log23，
所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.
(4)令1-log3x=0，
解得x=3，
所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.
11.方程|lg x|-=0的根的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
答案　C
解析　原方程可化为|lg x|=，
作出函数y=|lg x|与y=的图象如图所示.
由图知，函数y=|lg x|与y=的图象有2个交点，即方程|lg x|-=0的根的个数为2.
12.(多选)已知函数f(x)=-log2x，0A.0d>b
C.d>c D.a答案　ABD
解析　由于y=在(0，+∞)上单调递减，y=log2x在(0，+∞)上单调递增，可得f(x)=-log2x在定义域(0，+∞)上单调递减，
故当0f(b)>f(c)，
又因为f(a)·f(b)·f(c)<0，f(d)=0，
所以①当f(a)，f(b)，f(c)都为负值时，则a，b，c都大于d，
②当f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0时，则a，b都小于d，c大于d.
综合①②可得d>c不可能成立.故选ABD.
13.已知函数f(x)=方程f(x)-2=k恰有三个不同的实数解，则k的取值范围是　　　　　　　　.
答案　(-4，-3]
解析　方程f(x)-2=k化为f(x)=2+k，方程f(x)-2=k恰有三个不同的实数解，
等价于y=f(x)，y=2+k的图象有三个不同的交点，
作出函数f(x)=的图象如图所示.
因为f(-1)=-2，f(0)=-1，
所以由图可得，2+k∈(-2，-1]，即k的取值范围为(-4，-3].
14.(15分)已知函数f(x)=a·9x+3x-2.
(1)当a=1时，求函数f(x)的零点；(6分)
(2)若函数f(x)恰好有两个零点，求实数a的取值范围.(9分)
解　(1)当a=1时，f(x)=9x+3x-2=(3x)2+3x-2=(3x+2)(3x-1)，
令f(x)=0，则3x-1=0，解得x=0，
∴f(x)有唯一零点x=0.
(2)令f(x)=0，则a==2×-，
令=t，
∵3x>0，∴t>0，令g(t)=2t2-t(t>0)，
∵f(x)恰好有两个零点，
∴直线y=a与g(t)(t>0)的图象有两个不同的交点，
∵y=2t2-t的对称轴为直线t=-=，开口向上，
∴g(t)min=g=2×-=-，
又当t→0时，g(t)→0，g(t)(t>0)的图象如图所示，
∴当-0)的图象有两个不同的交点，
即f(x)恰好有两个零点，
∴实数a的取值范围为.
15.已知函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　　　.
答案　a解析　画出函数y=3x，y=log3x，y=-x，y=-2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a16.若函数f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2存在零点，则实数a的值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案　D
解析　f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2=2x-1+21-x+(x-a)2-2，
令f(x)=0，则2x-1+21-x-2=-(x-a)2，
令g(x)=2x-1+21-x-2，
∵2x-1>0，21-x>0，
∴g(x)=2x-1+21-x-2≥2-2=0，
当且仅当x-1=1-x，即x=1时等号成立，
令h(x)=-(x-a)2，其图象开口向下，易知h(x)≤0，当且仅当x=a时等号成立，
∴当且仅当a=1时，g(x)=h(x)，即当函数f(x)存在零点时，实数a的值为1.

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