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1.2　利用二分法求方程的近似解
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
2.在用二分法求方程ln x+2x-4=0在[1，2]上的近似解时，先构造函数f(x)=ln x+2x-4，再依次计算得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是(　　)
A.(1，1.5) B.(1.5，1.625)
C.(1.625，1.75) D.(1.75，2)
3.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正实数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为(　　)
A.1.5 B.1.375 C.1.437 D.1.25
5.已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法错误的是(　　)
A.函数f(x)在区间内可能有零点
B.函数f(x)在区间内可能有零点
C.函数f(x)在区间内无零点
D.函数f(x)的零点可能是
6.(多选)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln
7.用二分法求方程2x+x-8=0在[1，5]上的近似解时，经过两次等分后，可确定近似解所在区间为(　　)
A.[1，1.5] B.[2，3]
C.[1，2] D.[3，5]
8.若函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　　　　　　　，函数的零点是　　　　　　　　(用a表示).
9.已知函数f(x)=ex+ln(x+1)-3在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为　　　　　　.
10.(12分)某电视台有一档娱乐节目，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500~1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了.选手紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
11.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　　)
A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε)
12.(多选)若函数f(x)是单调函数，其图象是连续的曲线，且函数f(x)的唯一零点同时在(0，4)，(0，2)，(1，2)，，内，则下列函数值中与f(0)符号不同的是(　　)
A.f(4) B.f(2)
C.f(1) D.f
13.已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f =0，则函数f(x)的零点为　　　　　.
14.(14分)已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用定义证明；(6分)
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3)；若没有零点，说明理由.(8分)
(参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.322，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)
15.(多选)已知函数y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示，现考虑方程x(x-1)(x+1)+0.01=0的根的情况，下列说法正确的是(　　)
A.有三个实数根
B.在(-∞，-1)内，恰好有一个实数根
C.在(-1，0)内，恰好有一个实数根
D.在(0，1)内，恰好有一个实数根
16.(多选)用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时，设函数f(x)=2x+3x-7来研究，通过计算列出了它的对应值表.
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) -0.87 -0.28 h -0.05 0.02 0.33
分析表中数据，则下列说法正确的是(　　)
A.h>0
B.方程2x+3x-7=0有实数解
C.若精确度为0.1，则近似解可取为1.376
D.若精确度为0.1，则近似解可取为1.437
1.2　利用二分法求方程的近似解
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
答案　C
解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0.而x3左右两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
2.在用二分法求方程ln x+2x-4=0在[1，2]上的近似解时，先构造函数f(x)=ln x+2x-4，再依次计算得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是(　　)
A.(1，1.5) B.(1.5，1.625)
C.(1.625，1.75) D.(1.75，2)
答案　C
解析　由题意，f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则由二分法可得近似解所在的区间为(1.625，1.75).
3.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001
答案　B
解析　根据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时，便可结束计算.
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正实数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为(　　)
A.1.5 B.1.375 C.1.437 D.1.25
答案　C
解析　∵f(1.406 25)<0，f(1.437 5)>0，
∴f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，
∴该方程的根在区间[1.406 25，1.437 5]内，
又∵|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05，
∴方程的近似解可以是1.437.
5.已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法错误的是(　　)
A.函数f(x)在区间内可能有零点
B.函数f(x)在区间内可能有零点
C.函数f(x)在区间内无零点
D.函数f(x)的零点可能是
答案　C
解析　根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在或内，或f =0.
6.(多选)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln
答案　AD
解析　g(x)=4x+2x-2为增函数，且g=+-2=-<0，g=2+1-2=1>0，
∴g(x)的零点在内，函数f(x)=4x-1的零点为满足条件，函数f(x)=ln的零点为满足条件，函数f(x)=(x-1)2的零点为1不满足条件，函数f(x)=ex-1的零点为0不满足条件，故选AD.
7.用二分法求方程2x+x-8=0在[1，5]上的近似解时，经过两次等分后，可确定近似解所在区间为(　　)
A.[1，1.5] B.[2，3]
C.[1，2] D.[3，5]
答案　B
解析　记f(x)=2x+x-8，由于y=2x，y=x-8在[1，5]上单调递增，故f(x)=2x+x-8在[1，5]上单调递增，
因为f(1)=2+1-8=-5<0，
f(5)=32+5-8=29>0，
f(3)=8+3-8=3>0，且f(1)·f(3)<0，
所以函数f(x)的零点落在区间[1，3]内，
又因为f(2)=4+2-8=-2<0，
所以f(2)·f(3)<0，
所以函数f(x)的零点落在区间[2，3]内，
即经过两次等分后，可确定近似解所在区间为[2，3].
8.若函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　　　　　　　，函数的零点是　　　　　　　　(用a表示).
答案　a2=4b　-
解析　因为函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，
所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切，
所以Δ=a2-4b=0，所以a2=4b；
则令f(x)=x2+ax+=0，
解得x=-.
9.已知函数f(x)=ex+ln(x+1)-3在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为　　　　　　.
答案　9
解析　设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算n次中点函数值.
因为区间[0，5]的长度为5，所以经过n次二分以后区间长度为.
所以≤0.01，化简得2n≥500.
因为29=512，28=256，且n∈N+，所以n≥9.
所以至少需要计算9次中点函数值.
10.(12分)某电视台有一档娱乐节目，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500~1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了.选手紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
解　取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就先取区间[750，1 000]的中点875；
否则取另一个区间[500，750]的中点625；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：
750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格.
11.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　　)
A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε)
答案　B
解析　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，
而b-=-a=<，
所以误差的取值范围为.
12.(多选)若函数f(x)是单调函数，其图象是连续的曲线，且函数f(x)的唯一零点同时在(0，4)，(0，2)，(1，2)，，内，则下列函数值中与f(0)符号不同的是(　　)
A.f(4) B.f(2)
C.f(1) D.f
答案　ABD
解析　由二分法的步骤可知，
①零点在(0，4)内，则有f(0)f(4)<0，不妨设f(0)>0，则f(4)<0；
②零点在(0，2)内，则有f(0)f(2)<0，
因为f(0)>0，所以f(2)<0；
③零点在(1，2)内，则有f(1)f(2)<0，
因为f(2)<0，所以f(1)>0；
④零点在内，则有f(1)f <0，
因为f(1)>0，所以f <0；
⑤零点在内，则有f f <0，
因为f <0，所以f >0.
所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f .
13.已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f =0，则函数f(x)的零点为　　　　　.
答案　
解析　因为对任意x1，x2∈[a，b]，
都有>0，且f(a)(b)<0，
所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0；
因为a+1>a恒成立，
所以解得
所以f(x)的零点为=.
14.(14分)已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用定义证明；(6分)
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3)；若没有零点，说明理由.(8分)
(参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.322，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)
解　(1)函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函数，
设x1，x2∈[0，+∞)，且0≤x1则x1-x2<0，+>0，
则f(x1)-f(x2)=-==<0，
所以f(x1)故函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函数.
(2)g(x)=+log2x-2是增函数，且连续，
又因为g(1)=+log21-2=-1<0，
g(2)=+log22-2=-1>0，
所以函数g(x)在区间(1，2)上有且仅有一个零点x0，
|2-1|=1>0.3，=1.5，
因为g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0，
所以x0∈(1.5，2)，|2-1.5|=0.5>0.3，=1.75，
又因为g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0，
所以x0∈(1.5，1.75)，
又|1.75-1.5|=0.25<0.3，
所以g(x)零点的近似值可以为1.6(答案不唯一，满足区间(1.5，1.75)内的任意一个值都可作为函数g(x)零点的近似值).
15.(多选)已知函数y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示，现考虑方程x(x-1)(x+1)+0.01=0的根的情况，下列说法正确的是(　　)
A.有三个实数根
B.在(-∞，-1)内，恰好有一个实数根
C.在(-1，0)内，恰好有一个实数根
D.在(0，1)内，恰好有一个实数根
答案　AB
解析　函数f(x)=x(x-1)·(x+1)+0.01的图象可由y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移0.01个单位长度得到，如图所示.
由图象易知方程f(x)=0有三个实数根，在(-∞，-1)内，恰好有一个实数根；
在(-1，0)内，没有实数根；
在(0，1)内，恰好有两个实数根，
所以只有AB正确.
16.(多选)用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时，设函数f(x)=2x+3x-7来研究，通过计算列出了它的对应值表.
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) -0.87 -0.28 h -0.05 0.02 0.33
分析表中数据，则下列说法正确的是(　　)
A.h>0
B.方程2x+3x-7=0有实数解
C.若精确度为0.1，则近似解可取为1.376
D.若精确度为0.1，则近似解可取为1.437
答案　BCD
解析　∵y=2x与y=3x-7都是R上的增函数，
∴f(x)=2x+3x-7是R上的增函数，
∴f(x)在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知f(1.422)<0，f(1.437 5)>0，
∴f(x)在R上有唯一零点，零点所在的区间为
(1.422，1.437 5)，
∴f(1.406 25)<0，∴h<0，A错误；
方程2x+3x-7=0有实数解，B正确；
f(1.375)<0，f(1.437 5)>0，
|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1，近似解所在区间为(1.375，1.437 5)，
即精确度为0.1，则近似解可取为1.376，C正确；
由C选项得，精确度为0.1，则近似解可取为1.437，D正确.

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