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§2　实际问题中的函数模型
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的图象大致为(　　)
2.某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2022年的16.6 m2增长到2025年的16.9 m2.设2022~2025年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为r，则(　　)
A.16.6r3=16.9 B.16.6r3=0.3
C.16.6(1+r)3=16.9 D.16.6(1+r)3=0.3
3.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)满足x∈[5，15]时，每天售出该鲜花支数p(x)=，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　　)
A.9元 B.11元 C.13元 D.15元
4.假定风力等级与风速的关系满足方程：lg n=lg v+(其中v为风速，单位：m/s，n为风力等级)，若某地区风速达到10 m/s，则该地区此次大风的风力等级约为(注：100.72≈5)(　　)
A.2级 B.3级 C.4级 D.5级
5.某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番(数量变为原来的2倍)，已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1 000亿个大约需要多少个月？(参考数据：lg 2≈0.3)(　　)
A.38 B.42 C.46 D.50
6.中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位.中国赣州钨矿资源最为丰富，素有“世界钨都”之称.某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y=.测得数据如表(部分)，则y的最大值为(　　)
x(单位：克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
A.3 B.4 C.5 D.6
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱
B.当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车3 km以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D.当打车3 km内(含3 km)时，选甲方案需付费5元，行程大于3 km时，每增加1 km费用增加0.7元
8.研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M，则(　　)
A.震级为2级的地震释放的能量为106.8焦耳
B.释放能量为109.3焦耳的地震震级为3级
C.9级地震释放的能量是8级地震释放能量的10倍
D.释放能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.光线每通过一块玻璃，其强度都要衰减，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃的块数为　　　　.(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
10.已知某人工智能模块训练N个单位的数据所需时间为T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.那么，训练6.4×1028个单位的数据所需时间是训练4×109个单位的数据所需时间的　　　　　　倍.
四、解答题(共28分)
11.(13分)根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天)的关系满足如图所示的折线，日销售量Q(件)与时间t(天)之间的对应关系如表所示.
t/天 5 15 20 30
Q/件 35 25 20 10
(1)求出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式；(5分)
(2)直接写出日销售量Q与时间t的一个函数解析式(函数关系只限于一次函数、二次函数、反比例函数)；(3分)
(3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(5分)
(注：日销售金额=每件销售价格×日销售量)
12.(15分)经验表明，绿茶用85 ℃的水泡制，等到茶水温度降至55 ℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1 min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据，如表：
时间/min 0 1 2 3 4 5 6
水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89
这组数据可以用下图表示：
设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：①y=kx+b(k<0，x≥0)；②y=kax+b(k>0，00，0(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型(不需要说明理由)，并利用前三组的数据求出相应的解析式；(7分)
(2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.1).(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(8分)
§2　实际问题中的函数模型
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的图象大致为(　　)
答案　D
解析　由题意可知函数模型为指数型函数，故选D.
2.某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2022年的16.6 m2增长到2025年的16.9 m2.设2022~2025年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为r，则(　　)
A.16.6r3=16.9 B.16.6r3=0.3
C.16.6(1+r)3=16.9 D.16.6(1+r)3=0.3
答案　C
解析　根据题意列方程16.6(1+r)3=16.9.
3.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)满足x∈[5，15]时，每天售出该鲜花支数p(x)=，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　　)
A.9元 B.11元 C.13元 D.15元
答案　D
解析　设每天的利润为y元，则y=(x-5)×=500×，5≤x≤15，
显然此函数在[5，15]上单调递增，
故当x=15时，y取得最大值.
4.假定风力等级与风速的关系满足方程：lg n=lg v+(其中v为风速，单位：m/s，n为风力等级)，若某地区风速达到10 m/s，则该地区此次大风的风力等级约为(注：100.72≈5)(　　)
A.2级 B.3级 C.4级 D.5级
答案　D
解析　将v=10代入公式lg n=lg v+，得lg n=lg 10+=，
所以n=≈100.72≈5，即该地区此次大风的风力等级约为5级.
5.某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番(数量变为原来的2倍)，已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1 000亿个大约需要多少个月？(参考数据：lg 2≈0.3)(　　)
A.38 B.42 C.46 D.50
答案　B
解析　设经过t个月后的数量为N(t)(单位：亿个)，每18个月翻一番，则N(t)=200×.
令N(t)=1 000，可得=5，即lg 5=lg 2，
因为lg 2≈0.3，所以lg 5=1-lg 2≈0.7，代入上式可得t=42.
6.中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位.中国赣州钨矿资源最为丰富，素有“世界钨都”之称.某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y=.测得数据如表(部分)，则y的最大值为(　　)
x(单位：克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　B
解析　当0≤x<6时，
设y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由表格数据可得
解得
所以当0≤x<6时，f(x)=-x2+2x.
当x≥6时，y=f(x)=，
由表格数据可得，f(9)==，解得t=7，
所以当x≥6时，f(x)=.
综上，f(x)=
当0≤x<6时，f(x)=-x2+2x=-(x-4)2+4，
所以当x=4时，函数f(x)取得最大值，为4；
当x≥6时，f(x)=单调递减，
所以f(x)max=f(6)==3.
综上，函数y=f(x)的最大值为4.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱
B.当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车3 km以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D.当打车3 km内(含3 km)时，选甲方案需付费5元，行程大于3 km时，每增加1 km费用增加0.7元
答案　ABC
解析　对于A，当打车距离x∈(3，10)时，甲对应的函数图象在乙对应的函数图象的下方，即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案省钱，故A正确；
对于B，当打车距离为10 km时，由图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；
对于C，当打车3 km以上时，甲方案每千米增加的费用为=1(元)，乙方案每千米增加的费用为=(元)，故甲方案每千米增加的费用比乙方案多，故C正确；
对于D，由图可知，甲方案打车3 km内(含3 km)需付费5元，行程大于3 km时，每增加1 km费用增加1元，故D错误.
8.研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M，则(　　)
A.震级为2级的地震释放的能量为106.8焦耳
B.释放能量为109.3焦耳的地震震级为3级
C.9级地震释放的能量是8级地震释放能量的10倍
D.释放能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级
答案　BD
解析　当M=2时，lg E=4.8+1.5×2=7.8，解得E=107.8，故A错误；
当E=109.3时，9.3=4.8+1.5M，解得M=3，故B正确；
令9级地震释放的能量为E1，8级地震释放的能量为E2，
则lg=lg E1-lg E2=(4.8+1.5×9)-(4.8+1.5×8)=1.5，于是=101.5>10，故C错误；
令释放的能量为E0，对应的震级为M0，释放的能量为1 000E0，对应的震级为M'，则lg E0=4.8+1.5M0，且lg 1 000E0=4.8+1.5M'，两式相减得1.5(M'-M0)=3，解得M'-M0=2，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.光线每通过一块玻璃，其强度都要衰减，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃的块数为　　　　.(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
答案　7
解析　设至少需要x块玻璃，
由题意知<，即<，
两边取对数lg即x·(lg 9-lg 10)<-lg 2，
即x·(1-2lg 3)>lg 2，x>≈6.57，
∴x=7.
10.已知某人工智能模块训练N个单位的数据所需时间为T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.那么，训练6.4×1028个单位的数据所需时间是训练4×109个单位的数据所需时间的　　　　　　倍.
答案　3
解析　依题意，训练6.4×1028个单位的数据所需时间是T1=klog2(6.4×1028)=klog2(26×1027)=k(6+27log210)，
而训练4×109个单位的数据所需时间是T2=klog2(4×109)=klog2(22×109)=k(2+9log210)，
则==3.
四、解答题(共28分)
11.(13分)根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天)的关系满足如图所示的折线，日销售量Q(件)与时间t(天)之间的对应关系如表所示.
t/天 5 15 20 30
Q/件 35 25 20 10
(1)求出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式；(5分)
(2)直接写出日销售量Q与时间t的一个函数解析式(函数关系只限于一次函数、二次函数、反比例函数)；(3分)
(3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(5分)
(注：日销售金额=每件销售价格×日销售量)
解　(1)由图象可知，当0≤t≤20时，每件销售价格P与时间t的关系为一次函数.
设P=at+b，则解得
所以P=t+30，0≤t≤20.
当20所以，每件销售价格P与时间t的函数解析式为
P=t∈N+.
(2)日销售量Q与时间t的一个函数解析式为
Q=-t+40，0≤t≤30，t∈N+.
(3)设日销售金额为y，
则y=t∈N+，
当0≤t≤20时，
y=-t2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225，
当t=5时，ymax=1 225；
当20综上可知，当t=5时，ymax=1 225，
即第五天日销售金额最大.
12.(15分)经验表明，绿茶用85 ℃的水泡制，等到茶水温度降至55 ℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1 min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据，如表：
时间/min 0 1 2 3 4 5 6
水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89
这组数据可以用下图表示：
设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：①y=kx+b(k<0，x≥0)；②y=kax+b(k>0，00，0(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型(不需要说明理由)，并利用前三组的数据求出相应的解析式；(7分)
(2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.1).(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(8分)
解　(1)选择②y=kax+b(k>0，0将题表中前三组的数据代入，
得解得
所以函数模型的解析式为y=60×+25(x≥0).
(2)由(1)中函数模型，得55=60×+25，即=，
所以lg=lg=xlg，
x===≈≈6.5.
所以刚泡好的绿茶大约放置6.5 min能达到最佳饮用口感.

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