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周末练11　范围：第五章§1~§2
[分值：95分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.二次函数y=x2+x-2的零点是(　　)
A.1，-2 B.-1，2
C.，(2，0) D.，(-2，0)
2.若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f >0，则(　　)
A.f(x)在上有零点
B.f(x)在上有零点
C.f(x)在上无零点
D.f(x)在上无零点
3.有一组实验数据如表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A.u=log2t B.u=2t-2
C.u= D.u=2t-2
4.若函数f(x)=ln x+x2-a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，e2) B.(1，2)
C.(1，e2+1) D.
5.若关于x的方程x2-tx+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足0A.(2，5)
B.
C.∪
D.∪
6.已知函数f(x)=2x+x-1，g(x)=log2x+x-1，h(x)=x3+x-1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　)
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　)
A.f(x)=2x-1 B.f(x)=x2-4x+4
C.f(x)=lox D.f(x)=2ex-3
8.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是(　　)
A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20 000元
C.该单位每月不获利，也不亏损
D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
9.★★已知函数f(x)=若存在x1A.x2+x3=4
B.x2x3的最大值为4
C.t的取值范围是(-1，3]
D.x1+x2+x3的取值范围是
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为　　　　　　.
11.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-恰有3个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.
12.已知某放射性物质的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0(N0表示原有的该种物质的质量).经过测定，某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约　　　　　　年.(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)
四、解答题(共27分)
13.(13分)已知函数f(x)=a2x-2ax+1+2(a>0且a≠1).
(1)若f(-1)=，求函数g(x)=f(x)+1的所有零点；(6分)
(2)若函数f(x)的最小值为-7，求实数a的值.(7分)
14.(14分)在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重x(单位：kg，0≤x≤26)会直接影响其每千米能耗y(单位：Wh/km，Wh为电能单位).某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据：
载重x(kg) 0 1 4 9 16
每千米能耗y(Wh/km) 2 7 12 17 22
为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择：
①y=uln x+v；②y=e-x+c；③y=p+q.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式；(5分)
(2)若该无人机电池容量为300 Wh，飞行环境、飞行参数控制不变.根据(1)中所得的函数模型：
①某单程配送任务要求该无人机飞行20 km，且载重9 kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由；(4分)
②若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行s km，去程载重25 kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的87%，求s的最大值.(5分)
15.★★(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若f>0>f()，则方程f(x)=0的实根的个数是(　　)
A.2 B.1或2
C.3 D.2或3
周末练11　范围：第五章§1~§2
[分值：95分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.二次函数y=x2+x-2的零点是(　　)
A.1，-2 B.-1，2
C.，(2，0) D.，(-2，0)
答案　A
解析　二次函数y=x2+x-2的零点是x2+x-2=0的解，解得x=1或x=-2.
2.若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f >0，则(　　)
A.f(x)在上有零点
B.f(x)在上有零点
C.f(x)在上无零点
D.f(x)在上无零点
答案　B
解析　由f(a)f(b)<0，f(a)f >0可知f f(b)<0，根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点.
3.有一组实验数据如表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A.u=log2t B.u=2t-2
C.u= D.u=2t-2
答案　C
解析　可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示，由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t=3时，2t-2=23-2=6，排除B选项，故选C.
4.若函数f(x)=ln x+x2-a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，e2) B.(1，2)
C.(1，e2+1) D.
答案　C
解析　∵f(x)=ln x+x2-a，
∴f(x)在(1，e)上单调递增.
又函数f(x)=ln x+x2-a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0，
即解得1故实数a的取值范围为(1，e2+1).
5.若关于x的方程x2-tx+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足0A.(2，5)
B.
C.∪
D.∪
答案　B
解析　令f(x)=x2-tx+1，且f=1，所以只需满足f<0且f>0即可，
即1-t+1<0且4-2t+1>0，解得26.已知函数f(x)=2x+x-1，g(x)=log2x+x-1，h(x)=x3+x-1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　)
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案　A
解析　方法一　由题意可知，a，b，c分别为y=2x，y=log2x，y=x3与y=1-x的函数图象的交点的横坐标，
图象如图所示，
由图可知，b>c>a.
方法二　易知，f(x)，g(x)，h(x)均为增函数，
因为f(0)=0，g(1)=0，所以a=0，b=1，
因为h(0)=-1<0，h(1)=1>0，
所以0c>a.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　)
A.f(x)=2x-1 B.f(x)=x2-4x+4
C.f(x)=lox D.f(x)=2ex-3
答案　ACD
解析　B选项中，f(x)=x2-4x+4=(x-2)2，f(2)=0，
当x<2时，f(x)>0；
当x>2时，f(x)>0，
在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，能用二分法求零点，故A，C，D正确.
8.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是(　　)
A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20 000元
C.该单位每月不获利，也不亏损
D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
答案　AD
解析　由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=200，
当且仅当x=，即x=400时等号成立，
故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；
设该单位每月获利为S元，
则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000，
因为x∈[400，600]，
所以S∈[-80 000，-40 000].
故该单位每月不获利，每月需要国家至少补贴40 000元才能不亏损，故D正确，B，C错误，
9.★★已知函数f(x)=若存在x1A.x2+x3=4
B.x2x3的最大值为4
C.t的取值范围是(-1，3]
D.x1+x2+x3的取值范围是
答案　AD
解析　作出f(x)的图象，如图所示，可知x3>x2>0，且x2+x3=4，则x2x3≤=4，因为x2≠x3，所以x2x3<4，A正确，B错误；
由图可知t的取值范围是(-1，2)，C错误；因为+2>-1，所以x1<-，又x2+x3=4，则x1+x2+x3的取值范围是，D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为　　　　　　.
答案　4
解析　设等分的次数为n，由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4，即将区间(0，0.1)等分的次数至少为4.
11.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-恰有3个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.
答案　
解析　函数y=f(x)-恰有3个零点，即f(x)=恰有3个实数根.
当x≥0时，f(x)=(x-1)2，
令(x-1)2=，解得x1=1+，x2=1-，即f(x)=有2个实数解，
则当x<0时，f(x)=(x-a)2，
方程f(x)=恰好有一个实数解，即方程(x-a)2=在(-∞，0)上恰有一个实数解，
解该方程得x3=a+，x4=a-，
因为该方程在(-∞，0)上只有一个解，所以需满足解得
即-≤a<，
所以a的取值范围为.
12.已知某放射性物质的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0(N0表示原有的该种物质的质量).经过测定，某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约　　　　　　年.(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)
答案　900
解析　由题意知，该放射性物质的质量是原来的倍，
可得N0=N0，即=，
可得ln=ln，
即-·ln 2=ln 2-ln 5，
所以t=700×≈700×=900.
四、解答题(共27分)
13.(13分)已知函数f(x)=a2x-2ax+1+2(a>0且a≠1).
(1)若f(-1)=，求函数g(x)=f(x)+1的所有零点；(6分)
(2)若函数f(x)的最小值为-7，求实数a的值.(7分)
解　(1)由f(-1)=，得a-2=2-2，
∴a=2，∴f(x)=22x-4×2x+2.
令t=2x，t>0，则由g(x)=f(x)+1=0，得t2-4t+3=0，∴t=1或t=3，即2x=1或2x=3，
∴x=0或x=log23.
∴函数g(x)的零点为x=0，x=log23.
(2)∵f(x)=a2x-2a·ax+2=(ax-a)2+2-a2，
∴f(x)min=f(1)=2-a2=-7，
又a>0，∴a=3.
14.(14分)在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重x(单位：kg，0≤x≤26)会直接影响其每千米能耗y(单位：Wh/km，Wh为电能单位).某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据：
载重x(kg) 0 1 4 9 16
每千米能耗y(Wh/km) 2 7 12 17 22
为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择：
①y=uln x+v；②y=e-x+c；③y=p+q.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式；(5分)
(2)若该无人机电池容量为300 Wh，飞行环境、飞行参数控制不变.根据(1)中所得的函数模型：
①某单程配送任务要求该无人机飞行20 km，且载重9 kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由；(4分)
②若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行s km，去程载重25 kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的87%，求s的最大值.(5分)
解　(1)选择函数模型③y=p+q.
理由如下：
依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件：
一是函数的定义域为[0，26]；
二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大.
因为模型①的定义域不可能为[0，26]，所以不符合：
因为模型②是减函数，所以不符合；
因为模型③在[0，26]上有意义，且当p>0时，
y=p+q单调递增，符合题意，
故应选择模型③y=p+q.
将点(0，2)，(1，7)代入y=p+q，
得解得
所以y=5+2.
经检验，点(4，12)，(9，17)，(16，22)都在函数y=5+2的图象上，
所以所求的函数解析式为y=5+2(0≤x≤26).
(2)由(1)得y=5+2.
①依题意，得(5+2)×20=340>300，
所以该无人机不能完成本次配送任务.
②依题意，得(5+2)×s+(2×s)≤300×87%，
所以29s≤300×87%，解得s≤9，
所以s的最大值为9.
15.★★(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若f>0>f()，则方程f(x)=0的实根的个数是(　　)
A.2 B.1或2
C.3 D.2或3
答案　D
解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴函数f(x)的图象关于y轴对称.又f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f>0>f()，
∴f(x)在(0，+∞)上有且仅有1个零点，
则f(x)在(-∞，0)上也仅有1个零点.
若函数f(x)的图象在R上不连续，f(0)=0，则f(x)共有3个零点；
若函数f(x)的图象在R上连续，f(0)≠0，则f(x)共有2个零点.
故方程f(x)=0的实根的个数是2或3.

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