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第1节　集　合
[课程标准要求]
1.了解集合的含义,了解全集与空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系,理解集合之间包含与相等的含义.3.能求两个集合的并集、交集与给定子集的补集.4.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.
夯实·必备知识
知识梳理
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性: 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ,用符号 或 表示.
(3)集合的表示法: 、 、 .
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
图示法
(4)常见数集的记法.
集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作 (或B A).
(2)真子集:如果集合A B,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A是集合B的真子集,记作 (或B A).
(3)相等:若A B,且 ,则A=B.
(4)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 .空集是 的子集,是 的真子集.
任意一个元素
A B
x A
B A
任何集合
任何非空集合
释疑
·
3.集合的基本运算
运算 表示
集合语言 图形语言 记法
并集
交集
补集
{x|x∈A,或x∈B}
A∪B
{x|x∈A,且x∈B}
A∩B
{x|x∈U,且x A}
UA
重要结论
1.若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集.
2.A∩B=A A B,A∪B=A B A.
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)集合{-5,8}和{(-5,-8)}表示同一个集合.(　　)
(2)任何集合至少有两个子集.(　　)
(3)一个集合可以表示为{s,k,t,k}.(　　)
(4)对任意集合A,B,都有(A∩B) (A∪B).(　　)
×
×
×
√
2.(2025·八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B等于(　　)
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0,1,4}
C
【解析】 由题意得A∩B={0,1}.故选C.
{x|-1{x|x≤1,或x≥3}
4.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5改编)设集合A={1,-a},B={0,3-a,3a-8},若A B,则实数a=　　　　.
2
【解析】 因为集合A={1,-a},B={0,3-a,3a-8},A B,所以-a=0或-a=3a-8,解得a=0或a=2.当a=0时,A={1,0},B={0,3,-8},不符合题意;
当a=2时,A={1,-2},B={0,1,-2},符合题意.
提升·关键能力
集合的含义与表示
考点1
C
C
解题策略
·
解决集合含义问题的关键有三点:一是明确构成集合的元素;二是明确元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
[针对训练]
1.(2026·宁夏银川模拟)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≤y,x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　)
A.1 B.3 C.6 D.9
C
【解析】 由题意得,B={(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)},所以集合B含有6个元素.故选C.
2.(2026·甘肃庆阳模拟)已知集合A={1,|a-1|,a+2},且2∈A,则实数a的值为　 .
3
【解析】 因为2∈A,所以分为以下两种情况:
①|a-1|=2 a=3或a=-1,当a=3时,集合A={1,2,5},满足题意;
当a=-1时,集合A={1,2,1},不符合集合中元素的互异性,故舍去;
②a+2=2 a=0,此时集合A={1,1,2},不符合集合中元素的互异性,故舍去.
综上,a=3.
集合间的基本关系
考点2
[例2] 已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|aA.(1,2] B.(0,1)
C.[1,2] D.[0,1]
B
解题策略
·
(1)判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的两个集合,只需要观察其元素并结合定义判断它们之间的关系;对于用描述法表示的两个集合,要从所含元素的特征来分析;对于表示形式不一样的两个集合,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
(2)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系的问题时,必须考虑空集的情况,否则容易造成漏解.
(3)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴来直观解决这类问题.
集合的基本运算
考点3
[例3] (1)(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B等于
(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
角度1　集合的运算
D
【解析】 (1)B={x|x3=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1}.故选D.
(2)(2026·北京昌平模拟)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|1( RA)∩B等于(　　)
A.(1,2] B.(1,2)
C.[2,3) D.(2,3)
B
【解析】 (2)由A={x|x≥2},U=R,可得 RA={x|x<2},又B={x|1所以( RA)∩B=(1,2).故选B.
解题策略
·
(1)进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
(2)数形结合思想的应用.
①离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;
②连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
[针对训练]
1.(2026·贵州铜仁模拟)若集合A={x∈N|0A∪B=(　　)
A.{1,2,3} B.{1}
C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
D
【解析】 由题意得A={1,2,3},B={1,4},所以A∪B={1,2,3,4}.故选D.
2.(2026·山西太原模拟)已知全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2,3},
B={-2,-1,0,1},则B∪( UA)=(　　)
A.{-2,-1,0,1,2,3}
B.{0,1}
C.{2,3}
D.{-3,-2,-1,0,1}
D
【解析】 如图,阴影部分对应的集合即B∪( UA),
因为全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2,3},B={-2,-1,0,1},
所以B∪( UA)={-3,-2,-1,0,1}.故选D.
角度2　利用集合的运算求参数
[例4] 已知集合A={1,a},B={-1,a2},若A∩B={a},则实数a的取值集合为(　　)
A.{0} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
A
【解析】 由A∩B={a},得a=-1或a=a2,
解得a=-1或a=0或a=1.
当a=-1时,A=B,不符合题意;
当a=1时,A={1,1},不符合集合中元素的互异性;
当a=0时,A={1,0},B={-1,0},符合题意.故选A.
解题策略
·
根据集合的运算结果求参数值或取值范围的步骤
(1)若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
(3)根据求解结果来确定参数值或取值范围.
[针对训练] (2026·河南驻马店模拟)已知集合M={x|-3A.[-3,2) B.(-3,2]
C.[-3,2] D.[2,4)
A
【解析】 因为M={x|-3所以-3≤a<2.
故选A.
教考衔接1　容斥问题
[教材母题] (人教A版必修第一册P35复习参考题1 T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
【解】 法一(利用容斥定理)　如图所示,
设A={参加游泳比赛的人},B={参加田径比赛的人},C={参加球类比赛的人},
由题意得,n(A∪B∪C)=28,n(A)=15,n(B)=8,n(C)=14,n(A∩B)=3,n(A∩C)=3,
n(A∩B∩C)=0,
所以28=15+8+14-3-3-n(B∩C),
则n(B∩C)=3,n(B∪C)=n(B)+n(C)-n(B∩C)=8+14-3=19,
所以n( U(B∪C))=n(U)-n(B∪C)=28-19=9,
所以参加田径和球类比赛的有3人,
只参加游泳一项比赛的有9人.
法二(利用方程思想)　如图,
设同时参加田径和球类比赛的有x人,
则28=15+8+14-3-3-x,
所以x=3,
即同时参加田径和球类比赛的有3人,
而只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9(人).
[名师解读] 用card(A)表示有限集合A中的元素个数,则有下面的容斥定理:
(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
求解有关容斥问题,一是考虑直接利用容斥定理,二是结合Venn图设未知数列方程求解.
[对接高考] (1)(2026·重庆渝中模拟)某校开展了多种多样的学生社团活动,其中数学社、国画社和地理社最受欢迎,高一某班有35名学生参加了这三个社团,其中有19人参加了数学社,有16人参加了地理社,有15人参加了国画社,有6人参加了数学社和地理社,有5人参加了地理社和国画社,已知每人至少都参加了一个社团,没有人同时参加三个社团,则只参加了一个社团的人数为(　　)
A.16 B.18 C.20 D.24
C
【解析】 (1)设A={参加数学社的人},B={参加地理社的人},C={参加国画社的人},
则card(A∪B∪C)=35,card(A∩B∩C)=0,
card(A)=19,card(B)=16,card(C)=15,
card(A∩B)=6,card(B∩C)=5,
得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),
即35=19+16+15-6-5-card(A∩C),得card(A∩C)=4,
所以只参加一个社团的人数为19-(4+6)+16-(6+5)+15-(4+5)=20.故选C.
(2)(2026·陕西西安模拟)学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况,已知每人至少参加了1个兴趣小组,其中参加音乐、科学、体育兴趣小组的人数分别为19,19,18,只同时参加了音乐和科学兴趣小组的人数为4,只同时参加了音乐和体育兴趣小组的人数为2,只同时参加了科学和体育兴趣小组的人数为4,则同时参加了3个兴趣小组的人数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
D
【解析】 (2)如图,设同时参加了3个兴趣小组的人数为x,
则13-x+11-x+12-x+2+4+4+x=30,
解得x=8,即同时参加了3个兴趣小组的人数为8.故选D.
谢谢观赏第1节　集　合
[课程标准要求] 1.了解集合的含义,了解全集与空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系,理解集合之间包含与相等的含义.3.能求两个集合的并集、交集与给定子集的补集.4.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或 表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法.
集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*或N+ Z Q R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A).
(2)真子集:如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).
(3)相等:若A B,且B A,则A=B.
(4)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
(1)A B包含两层含义:AB或A=B.
(2)若A B,要分A=和A≠两种情况讨论,不要忽略A=的情况.
3.集合的基本运算
运算 表示
集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A, 或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A, 且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U, 且x A} UA
1.若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集.
2.A∩B=A A B,A∪B=A B A.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)集合{-5,8}和{(-5,-8)}表示同一个集合.(　　)
(2)任何集合至少有两个子集.(　　)
(3)一个集合可以表示为{s,k,t,k}.(　　)
(4)对任意集合A,B,都有(A∩B) (A∪B).(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(2025·八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B等于(　　)
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0,1,4}
【答案】 C
【解析】 由题意得A∩B={0,1}.故选C.
3.(人教A版必修第一册P14习题1.3 T1改编)定义集合A={x|f(x)=},B={x|x2-2x-3<
0},则A∩B=　　　　　　　　　,A∪ RB=　　　　　　　　.
【答案】 {x|-1【解析】 因为集合A={x|f(x)=}={x|-1≤x≤1},集合B={x|x2-2x-3<0}={x|-14.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5改编)设集合A={1,-a},B={0,3-a,3a-8},若A B,则实数a=　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为集合A={1,-a},B={0,3-a,3a-8},A B,所以-a=0或-a=3a-8,解得a=0或a=2.当a=0时,A={1,0},B={0,3,-8},不符合题意;当a=2时,A={1,-2},B={0,1,-2},符合题意.
集合的含义与表示
[例1] (1)(2026·江苏盐城模拟)已知集合A={x∈N|∈Z},则用列举法表示A=(　　)
A.{-2,0,1,2,4} B.{-2,0,2,4}
C.{0,2,4} D.{2,4}
(2)已知集合A={x|3ax-2≤0},若1∈A且2 A,则(　　)
A.C.
【答案】 (1)C　(2)C
【解析】 (1)由∈Z得,x-1=±1或±3,即x=0,2,4,-2,又x∈N,所以x=0,2,4,故A={0,2,4}.故选C.
(2)由题意解得解决集合含义问题的关键有三点:一是明确构成集合的元素;二是明确元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
[针对训练]
1.(2026·宁夏银川模拟)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≤y,x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　)
A.1 B.3 C.6 D.9
【答案】 C
【解析】 由题意得,B={(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)},所以集合B含有6个元素.
故选C.
2.(2026·甘肃庆阳模拟)已知集合A={1,|a-1|,a+2},且2∈A,则实数a的值为　　　　.
【答案】 3
【解析】 因为2∈A,所以分为以下两种情况:
①|a-1|=2 a=3或a=-1,当a=3时,集合A={1,2,5},满足题意;
当a=-1时,集合A={1,2,1},不符合集合中元素的互异性,故舍去;
②a+2=2 a=0,此时集合A={1,1,2},不符合集合中元素的互异性,故舍去.
综上,a=3.
集合间的基本关系
[例2] 已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|aA.(1,2] B.(0,1)
C.[1,2] D.[0,1]
【答案】 B
【解析】 因为A={x|1≤x≤2},B={x|a所以解得0[变式探究1] (变集合A需注意元素互异性)将集合A改为A={2a,},集合B及条件不变,求a的取值范围.
【解】 由题意得2a∈B,且∈B,
所以
所以
所以0所以a的取值范围是(0,)∪(,).
[变式探究2] (变集合A需要讨论空集)将集合A改为A={x|-a+【解】 当a≤0时,A= B,符合题意;
当a>0时,由题意得,所以0综上,a的取值范围是(-∞,].
(1)判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的两个集合,只需要观察其元素并结合定义判断它们之间的关系;对于用描述法表示的两个集合,要从所含元素的特征来分析;对于表示形式不一样的两个集合,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
(2)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系的问题时,必须考虑空集的情况,否则容易造成漏解.
(3)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴来直观解决这类问题.
集合的基本运算
角度1　集合的运算
[例3] (1)(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B等于(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
(2)(2026·北京昌平模拟)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|1A.(1,2] B.(1,2)
C.[2,3) D.(2,3)
【答案】 (1)D　(2)B
【解析】 (1)B={x|x3=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1}.故选D.
(2)由A={x|x≥2},U=R,可得 RA={x|x<2},又B={x|1(1)进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
(2)数形结合思想的应用.
①离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;
②连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
[针对训练]
1.(2026·贵州铜仁模拟)若集合A={x∈N|0A.{1,2,3} B.{1}
C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
【答案】 D
【解析】 由题意得A={1,2,3},B={1,4},所以A∪B={1,2,3,4}.故选D.
2.(2026·山西太原模拟)已知全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2,3},B={-2,-1,0,1},则B∪( UA)=(　　)
A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{0,1}
C.{2,3} D.{-3,-2,-1,0,1}
【答案】 D
【解析】 如图,阴影部分对应的集合即B∪( UA),
因为全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2,3},B={-2,-1,0,1},
所以B∪( UA)={-3,-2,-1,0,1}.故选D.
角度2　利用集合的运算求参数
[例4] 已知集合A={1,a},B={-1,a2},若A∩B={a},则实数a的取值集合为(　　)
A.{0} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
【答案】 A
【解析】 由A∩B={a},得a=-1或a=a2,
解得a=-1或a=0或a=1.
当a=-1时,A=B,不符合题意;
当a=1时,A={1,1},不符合集合中元素的互异性;
当a=0时,A={1,0},B={-1,0},符合题意.故选A.
根据集合的运算结果求参数值或取值范围的步骤
(1)若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
(3)根据求解结果来确定参数值或取值范围.
[针对训练] (2026·河南驻马店模拟)已知集合M={x|-3若M∪N={x|-3A.[-3,2) B.(-3,2]
C.[-3,2] D.[2,4)
【答案】 A
【解析】 因为M={x|-3所以-3≤a<2.
故选A.
教考衔接1　容斥问题
[教材母题] (人教A版必修第一册P35复习参考题1 T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多
少人
【解】 法一(利用容斥定理)　如图所示,
设A={参加游泳比赛的人},B={参加田径比赛的人},C={参加球类比赛的人},
由题意得,n(A∪B∪C)=28,n(A)=15,n(B)=8,n(C)=14,n(A∩B)=3,n(A∩C)=3,n(A∩B∩C)=0,
所以28=15+8+14-3-3-n(B∩C),
则n(B∩C)=3,n(B∪C)=n(B)+n(C)-n(B∩C)=8+14-3=19,
所以n( U(B∪C))=n(U)-n(B∪C)=28-19=9,
所以参加田径和球类比赛的有3人,
只参加游泳一项比赛的有9人.
法二(利用方程思想)　如图,
设同时参加田径和球类比赛的有x人,
则28=15+8+14-3-3-x,
所以x=3,
即同时参加田径和球类比赛的有3人,
而只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9(人).
[名师解读] 用card(A)表示有限集合A中的元素个数,则有下面的容斥定理:
(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+
card(A∩B∩C).
求解有关容斥问题,一是考虑直接利用容斥定理,二是结合Venn图设未知数列方程求解.
[对接高考] (1)(2026·重庆渝中模拟)某校开展了多种多样的学生社团活动,其中数学社、国画社和地理社最受欢迎,高一某班有35名学生参加了这三个社团,其中有19人参加了数学社,有16人参加了地理社,有15人参加了国画社,有6人参加了数学社和地理社,有5人参加了地理社和国画社,已知每人至少都参加了一个社团,没有人同时参加三个社团,则只参加了一个社团的人数为(　　)
A.16 B.18 C.20 D.24
(2)(2026·陕西西安模拟)学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况,已知每人至少参加了1个兴趣小组,其中参加音乐、科学、体育兴趣小组的人数分别为19,19,18,只同时参加了音乐和科学兴趣小组的人数为4,只同时参加了音乐和体育兴趣小组的人数为2,只同时参加了科学和体育兴趣小组的人数为4,则同时参加了3个兴趣小组的人数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】 (1)C　(2)D
【解析】 (1)设A={参加数学社的人},B={参加地理社的人},C={参加国画社的人},
则card(A∪B∪C)=35,card(A∩B∩C)=0,
card(A)=19,card(B)=16,card(C)=15,
card(A∩B)=6,card(B∩C)=5,
得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+
card(A∩B∩C),
即35=19+16+15-6-5-card(A∩C),
得card(A∩C)=4,
所以只参加一个社团的人数为19-(4+6)+16-(6+5)+15-(4+5)=20.故选C.
(2)如图,设同时参加了3个兴趣小组的人数为x,则13-x+11-x+12-x+2+4+4+x=30,
解得x=8,即同时参加了3个兴趣小组的人数为8.故选D.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的含义与表示 1,3,11
集合间的基本关系 5,7,8,9
集合的基本运算 2,4,6,10,12,13,14
一、选择题
1.(2026·河北沧州模拟)已知集合A={x|x3-8<0},则(　　)
A.1∈A B.2∈A
C.0 A D.{0,1,2} A
【答案】 A
【解析】 由题可知0∈A,1∈A,2 A.故选A.
2.(2026·广东佛山模拟)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3A.{x|2≤x<7} B.{x|2≤x<10}
C.{x|3【答案】 B
【解析】 由题意得A∪B={x|2≤x<7}∪{x|33.设集合A={x|2x-1>m},若2∈A,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,3] B.[3,+∞)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
【答案】 C
【解析】 因为2∈A,所以2×2-1>m,所以m<3.故选C.
4.已知集合A={-3,-2,0,2},B={x|-1A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】 B
【解析】 由已知A={-3,-2,0,2},B={x|-15.(2026·河北唐山模拟)已知集合A={x|-2≤x≤10},非空集合B={y|1-m≤y≤1+m},若B A,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,3]
C.[0,3] D.(0,3]
【答案】 C
【解析】 因为集合A={x|-2≤x≤10},非空集合B={y|1-m≤y≤1+m},且B A,
所以解得0≤m≤3.故选C.
6.(2026·云南昆明模拟)已知集合M={x|-1≤x≤3},N={x|m≤x≤3m}.若M∩N≠,则m的取值范围是(　　)
A.(-1,) B.[0,3]
C.(-∞,-)∪[0,3] D.[-1,3]
【答案】 B
【解析】 因为M∩N≠,所以解得0≤m≤3,所以m的取值范围是[0,3].故选B.
7.(2026·北京西城模拟)已知集合A={x|x2+2x=0},B={x|x+1>0},则(　　)
A.A∩B= B.A B
C.B A D.( RA)∩B≠
【答案】 D
【解析】 由题意得A={x|x2+2x=0}={0,-2},B={x|x>-1},所以A∩B={0},故A,B,C错误; RA=(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞),所以( RA)∩B=(-1,0)∪(0,+∞),故D正确.故选D.
8.(2026·安徽宣城模拟)已知集合A={0,4,a2},B={0,4,3a-2},若A=B,则a的值是(　　)
A.1或2 B.-1或0
C.1 D.-1
【答案】 C
【解析】 由题意得a2=3a-2,即(a-1)(a-2)=0,解得a=1或a=2.当a=1时,a2=3a-2=1,满足题意;当a=2时,a2=3a-2=4,不符合集合元素的互异性.所以a=1.故选C.
9.(多选)集合U,S,T,F的关系如图所示,那么下列关系中正确的是(　　)
A.S T B.T US
C.F US D.T UF
【答案】 AC
【解析】 由题图可知,S是T的子集,故A正确;T不是 US的子集,故B错误;F是 US的子集,故C正确;T不是 UF的子集,故D错误.故选AC.
10.(多选)(2026·江西萍乡模拟)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A U,B U,且A∩B={3,5},
( UA)∩( UB)={2,4},则下列说法正确的有(　　)
A.4∈A
B.6∈A∪B
C.集合A可能是{1,3,5,6}
D.( UA)∪( UB)={1,2,4,6}
【答案】 BCD
【解析】 由题意知( UA)∩( UB)= U(A∪B)={2,4},所以A∪B={1,3,5,6}.
对于A,因为A∪B={1,3,5,6},且4 A∪B,所以4 A,A选项错误;
对于B,由于A∪B={1,3,5,6},所以6∈A∪B,B选项正确;
对于C,因为A∩B={3,5},所以3,5既属于A又属于B,若A={1,3,5,6},
当B={3,5}时, U(A∪B)={2,4}, UA={2,4},此时满足所有已知条件,C选项正确;
对于D,因为 A∩B={3,5},所以( UA)∪( UB)= U(A∩B)={1,2,4,6},D选项正确.故选BCD.
二、填空题
11.(2026·安徽合肥模拟)已知集合A={x|ax2-4x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则a的取值集合为　　　　.
【答案】 {0,4}
【解析】 ①若a=0,则-4x+1=0,解得x=,满足集合A 中只有一个元素;
②若a≠0,则ax2-4x+1=0为一元二次方程,因为集合A有且只有一个元素,所以Δ=16-4a=0,解得a=4.
综上,a的取值集合为{0,4}.
12.已知集合A={x|0≤x≤1},非空集合B={x|b【答案】 [0,]
【解析】 由题意得B≠,因为A∩B=B B A,所以0≤b<1-b≤1,解得0≤b<.则b的取值范围是[0,].
13.(多选)(2026·江苏苏州模拟)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|ax≤a2},若A∩B={x|-2≤x≤2},则实数a的值可能是(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
【答案】 ACD
【解析】 法一　因为A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤2}=A,则A B.
对于B={x|ax≤a2},
若a=0,则B=R,符合题意;
若a>0,则B={x|x≤a},可得a≥2;
若a<0,则B={x|x≥a},可得a≤-2.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞),结合选项可知A,C,D正确,B错误.故选ACD.
法二　由题意得A={x|-2≤x≤2}.
当a=-2时,B={x|x≥-2},A∩B={x|-2≤x≤2},符合题意;
当a=-1时,B={x|x≥-1},A∩B={x|-1≤x≤2},不符合题意;
当a=0时,B=R,A∩B={x|-2≤x≤2},符合题意;
当a=2时,B={x|x≤2},A∩B={x|-2≤x≤2},符合题意.故选ACD.
14.某“社区直销店”第一天直销蔬菜19种,第二天直销蔬菜13种,第三天直销蔬菜18种.其中,前两天直销的蔬菜中有3种相同,后两天直销的蔬菜中有4种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有　　　　种,这三天直销的蔬菜最少有　　　　种.
【答案】 16　29
【解析】 设A,B,C分别表示第一天、第二天、第三天直销蔬菜的品种所组成的集合,三天中直销的相同蔬菜有x种,第一天与第三天直销的蔬菜有x+y种相同,
依题意可得Venn图如图所示,
第一天直销但第二天没直销的蔬菜有(16-y)+y=16(种).
因为图中所标注的各数均为自然数,所以x∈{0,1,2,3},y∈{0,1,2,…,14},
这三天直销的蔬菜品种有(16-y)+y+(3-x)+x+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y,
又因为y≤14,所以43-y≥29,
所以这三天直销的蔬菜最少有29种.第1节　集　合
[课程标准要求] 1.了解集合的含义,了解全集与空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系,理解集合之间包含与相等的含义.3.能求两个集合的并集、交集与给定子集的补集.4.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性: 　　　　、　　　　、　　　　.
(2)元素与集合的关系是　　　　或　　　　,用符号　　　　或　　　　表示.
(3)集合的表示法:　　　　、 　　　　、　　　　.
(4)常见数集的记法.
集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 　　　 　　　 　　 　 　　
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中　　　　　　　　都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作　　　　(或B A).
(2)真子集:如果集合A B,但存在元素x∈B,且　　　　,就称集合A是集合B的真子集,记作
　　　　(或BA).
(3)相等:若A B,且　　　　,则A=B.
(4)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为.空集是　　　　的子集,是　　　　　　　　的真子集.
(1)A B包含两层含义:AB或A=B.
(2)若A B,要分A=和A≠两种情况讨论,不要忽略A=的情况.
3.集合的基本运算
运算 表示
集合语言 图形语言 记法
并集 　　　 　　　 　　　
交集 　　　 　　　 　　　
补集 　　　 　　　 　　　
1.若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集.
2.A∩B=A A B,A∪B=A B A.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)集合{-5,8}和{(-5,-8)}表示同一个集合.(　　)
(2)任何集合至少有两个子集.(　　)
(3)一个集合可以表示为{s,k,t,k}.(　　)
(4)对任意集合A,B,都有(A∩B) (A∪B).(　　)
2.(2025·八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B等于(　　)
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0,1,4}
3.(人教A版必修第一册P14习题1.3 T1改编)定义集合A={x|f(x)=},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=　　　　　　　　　,A∪ RB=　　　　　　　　.
4.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T5改编)设集合A={1,-a},B={0,3-a,3a-8},若A B,则实数a=　　　　.
集合的含义与表示
[例1] (1)(2026·江苏盐城模拟)已知集合A={x∈N|∈Z},则用列举法表示A=(　　)
A.{-2,0,1,2,4} B.{-2,0,2,4}
C.{0,2,4} D.{2,4}
(2)已知集合A={x|3ax-2≤0},若1∈A且2 A,则(　　)
A.C.
听课记录:
解决集合含义问题的关键有三点:一是明确构成集合的元素;二是明确元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
[针对训练]
1.(2026·宁夏银川模拟)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≤y,x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　)
A.1 B.3 C.6 D.9
2.(2026·甘肃庆阳模拟)已知集合A={1,|a-1|,a+2},且2∈A,则实数a的值为　　　　.
集合间的基本关系
[例2] 已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|aA.(1,2] B.(0,1)
C.[1,2] D.[0,1]
听课记录:
[变式探究1] (变集合A需注意元素互异性)将集合A改为A={2a,},集合B及条件不变,求a的取值范围.
听课记录:
[变式探究2] (变集合A需要讨论空集)将集合A改为A={x|-a+听课记录:
(1)判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的两个集合,只需要观察其元素并结合定义判断它们之间的关系;对于用描述法表示的两个集合,要从所含元素的特征来分析;对于表示形式不一样的两个集合,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
(2)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系的问题时,必须考虑空集的情况,否则容易造成
漏解.
(3)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴来直观解决这类问题.
集合的基本运算
角度1　集合的运算
[例3] (1)(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B等于(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
(2)(2026·北京昌平模拟)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|1A.(1,2] B.(1,2)
C.[2,3) D.(2,3)
听课记录:
(1)进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.
(2)数形结合思想的应用.
①离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;
②连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
[针对训练]
1.(2026·贵州铜仁模拟)若集合A={x∈N|0A.{1,2,3} B.{1}
C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
2.(2026·山西太原模拟)已知全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2,3},B={-2,-1,0,1},则B∪( UA)=(　　)
A.{-2,-1,0,1,2,3}
B.{0,1}
C.{2,3}
D.{-3,-2,-1,0,1}
角度2　利用集合的运算求参数
[例4] 已知集合A={1,a},B={-1,a2},若A∩B={a},则实数a的取值集合为(　　)
A.{0} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
听课记录:
根据集合的运算结果求参数值或取值范围的步骤
(1)若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
(3)根据求解结果来确定参数值或取值范围.
[针对训练] (2026·河南驻马店模拟)已知集合M={x|-3{x|-3A.[-3,2) B.(-3,2]
C.[-3,2] D.[2,4)
教考衔接1　容斥问题
[教材母题] (人教A版必修第一册P35复习参考题1 T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
[名师解读] 用card(A)表示有限集合A中的元素个数,则有下面的容斥定理:
(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
求解有关容斥问题,一是考虑直接利用容斥定理,二是结合Venn图设未知数列方程求解.
[对接高考] (1)(2026·重庆渝中模拟)某校开展了多种多样的学生社团活动,其中数学社、国画社和地理社最受欢迎,高一某班有35名学生参加了这三个社团,其中有19人参加了数学社,有16人参加了地理社,有15人参加了国画社,有6人参加了数学社和地理社,有5人参加了地理社和国画社,已知每人至少都参加了一个社团,没有人同时参加三个社团,则只参加了一个社团的人数为(　　)
A.16 B.18
C.20 D.24
(2)(2026·陕西西安模拟)学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况,已知每人至少参加了1个兴趣小组,其中参加音乐、科学、体育兴趣小组的人数分别为19,19,18,只同时参加了音乐和科学兴趣小组的人数为4,只同时参加了音乐和体育兴趣小组的人数为2,只同时参加了科学和体育兴趣小组的人数为4,则同时参加了3个兴趣小组的人数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8第1节　集　合
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的含义与表示 1,3,11
集合间的基本关系 5,7,8,9
集合的基本运算 2,4,6,10,12,13,14
一、选择题
1.(2026·河北沧州模拟)已知集合A={x|x3-8<0},则(　　)
A.1∈A B.2∈A
C.0 A D.{0,1,2} A
【答案】 A
【解析】 由题可知0∈A,1∈A,2 A.故选A.
2.(2026·广东佛山模拟)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3A.{x|2≤x<7} B.{x|2≤x<10}
C.{x|3【答案】 B
【解析】 由题意得A∪B={x|2≤x<7}∪{x|33.设集合A={x|2x-1>m},若2∈A,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,3] B.[3,+∞)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
【答案】 C
【解析】 因为2∈A,所以2×2-1>m,所以m<3.故选C.
4.已知集合A={-3,-2,0,2},B={x|-1A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】 B
【解析】 由已知A={-3,-2,0,2},B={x|-15.(2026·河北唐山模拟)已知集合A={x|-2≤x≤10},非空集合B={y|1-m≤y≤1+m},若B A,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,3]
C.[0,3] D.(0,3]
【答案】 C
【解析】 因为集合A={x|-2≤x≤10},非空集合B={y|1-m≤y≤1+m},且B A,
所以解得0≤m≤3.故选C.
6.(2026·云南昆明模拟)已知集合M={x|-1≤x≤3},N={x|m≤x≤3m}.若M∩N≠,则m的取值范围是(　　)
A.(-1,) B.[0,3]
C.(-∞,-)∪[0,3] D.[-1,3]
【答案】 B
【解析】 因为M∩N≠,所以解得0≤m≤3,所以m的取值范围是[0,3].故选B.
7.(2026·北京西城模拟)已知集合A={x|x2+2x=0},B={x|x+1>0},则(　　)
A.A∩B= B.A B
C.B A D.( RA)∩B≠
【答案】 D
【解析】 由题意得A={x|x2+2x=0}={0,-2},B={x|x>-1},所以A∩B={0},故A,B,C错误; RA=(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞),所以( RA)∩B=(-1,0)∪(0,+∞),故D正确.故选D.
8.(2026·安徽宣城模拟)已知集合A={0,4,a2},B={0,4,3a-2},若A=B,则a的值是(　　)
A.1或2 B.-1或0
C.1 D.-1
【答案】 C
【解析】 由题意得a2=3a-2,即(a-1)(a-2)=0,解得a=1或a=2.当a=1时,a2=3a-2=1,满足题意;当a=2时,a2=3a-2=4,不符合集合元素的互异性.所以a=1.故选C.
9.(多选)集合U,S,T,F的关系如图所示,那么下列关系中正确的是(　　)
A.S T B.T US
C.F US D.T UF
【答案】 AC
【解析】 由题图可知,S是T的子集,故A正确;T不是 US的子集,故B错误;F是 US的子集,故C正确;T不是 UF的子集,故D错误.故选AC.
10.(多选)(2026·江西萍乡模拟)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A U,B U,且A∩B={3,5},
( UA)∩( UB)={2,4},则下列说法正确的有(　　)
A.4∈A
B.6∈A∪B
C.集合A可能是{1,3,5,6}
D.( UA)∪( UB)={1,2,4,6}
【答案】 BCD
【解析】 由题意知( UA)∩( UB)= U(A∪B)={2,4},所以A∪B={1,3,5,6}.
对于A,因为A∪B={1,3,5,6},且4 A∪B,所以4 A,A选项错误;
对于B,由于A∪B={1,3,5,6},所以6∈A∪B,B选项正确;
对于C,因为A∩B={3,5},所以3,5既属于A又属于B,若A={1,3,5,6},
当B={3,5}时, U(A∪B)={2,4}, UA={2,4},此时满足所有已知条件,C选项正确;
对于D,因为 A∩B={3,5},所以( UA)∪( UB)= U(A∩B)={1,2,4,6},D选项正确.故选BCD.
二、填空题
11.(2026·安徽合肥模拟)已知集合A={x|ax2-4x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则a的取值集合为　　　　.
【答案】 {0,4}
【解析】 ①若a=0,则-4x+1=0,解得x=,满足集合A 中只有一个元素;
②若a≠0,则ax2-4x+1=0为一元二次方程,因为集合A有且只有一个元素,所以Δ=16-4a=0,解得a=4.
综上,a的取值集合为{0,4}.
12.已知集合A={x|0≤x≤1},非空集合B={x|b【答案】 [0,]
【解析】 由题意得B≠,因为A∩B=B B A,所以0≤b<1-b≤1,解得0≤b<.则b的取值范围是[0,].
13.(多选)(2026·江苏苏州模拟)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|ax≤a2},若A∩B={x|-2≤x≤2},则实数a的值可能是(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
【答案】 ACD
【解析】 法一　因为A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤2}=A,则A B.
对于B={x|ax≤a2},
若a=0,则B=R,符合题意;
若a>0,则B={x|x≤a},可得a≥2;
若a<0,则B={x|x≥a},可得a≤-2.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞),结合选项可知A,C,D正确,B错误.故选ACD.
法二　由题意得A={x|-2≤x≤2}.
当a=-2时,B={x|x≥-2},A∩B={x|-2≤x≤2},符合题意;
当a=-1时,B={x|x≥-1},A∩B={x|-1≤x≤2},不符合题意;
当a=0时,B=R,A∩B={x|-2≤x≤2},符合题意;
当a=2时,B={x|x≤2},A∩B={x|-2≤x≤2},符合题意.故选ACD.
14.某“社区直销店”第一天直销蔬菜19种,第二天直销蔬菜13种,第三天直销蔬菜18种.其中,前两天直销的蔬菜中有3种相同,后两天直销的蔬菜中有4种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有　　　　种,这三天直销的蔬菜最少有　　　　种.
【答案】 16　29
【解析】 设A,B,C分别表示第一天、第二天、第三天直销蔬菜的品种所组成的集合,三天中直销的相同蔬菜有x种,第一天与第三天直销的蔬菜有x+y种相同,
依题意可得Venn图如图所示,
第一天直销但第二天没直销的蔬菜有(16-y)+y=16(种).
因为图中所标注的各数均为自然数,所以x∈{0,1,2,3},y∈{0,1,2,…,14},
这三天直销的蔬菜品种有(16-y)+y+(3-x)+x+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y,
又因为y≤14,所以43-y≥29,
所以这三天直销的蔬菜最少有29种.第一章　集合与常用逻辑用语、不等式
第1节　集　合
一、选择题
1.(2026·河北沧州模拟)已知集合A={x|x3-8<0},则(　　)
A.1∈A B.2∈A
C.0 A D.{0,1,2} A
2.(2026·广东佛山模拟)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3A.{x|2≤x<7} B.{x|2≤x<10}
C.{x|33.设集合A={x|2x-1>m},若2∈A,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,3] B.[3,+∞)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
4.已知集合A={-3,-2,0,2},B={x|-1A.2 B.4
C.8 D.16
5.(2026·河北唐山模拟)已知集合A={x|-2≤x≤10},非空集合B={y|1-m≤y≤1+m},若B A,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,3]
C.[0,3] D.(0,3]
6.(2026·云南昆明模拟)已知集合M={x|-1≤x≤3},N={x|m≤x≤3m}.若M∩N≠,则m的取值范围是(　　)
A.(-1,] B.[0,3]
C.(-∞,-]∪[0,3] D.[-1,3]
7.(2026·北京西城模拟)已知集合A={x|x2+2x=0},B={x|x+1>0},则(　　)
A.A∩B= B.A B
C.B A D.( RA)∩B≠
8.(2026·安徽宣城模拟)已知集合A={0,4,a2},B={0,4,3a-2},若A=B,则a的值是(　　)
A.1或2 B.-1或0
C.1 D.-1
9.(多选)集合U,S,T,F的关系如图所示,那么下列关系中正确的是(　　)
A.S T B.T US
C.F US D.T UF
10.(多选)(2026·江西萍乡模拟)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A U,B U,且A∩B={3,5},
( UA)∩( UB)={2,4},则下列说法正确的有(　　)
A.4∈A
B.6∈A∪B
C.集合A可能是{1,3,5,6}
D.( UA)∪( UB)={1,2,4,6}
二、填空题
11.(2026·安徽合肥模拟)已知集合A={x|ax2-4x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则a的取值集合为　　　　.
12.已知集合A={x|0≤x≤1},非空集合B={x|b13.(多选)(2026·江苏苏州模拟)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|ax≤a2},若A∩B={x|-2≤x≤2},则实数a的值可能是(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
14.某“社区直销店”第一天直销蔬菜19种,第二天直销蔬菜13种,第三天直销蔬菜18种.其中,前两天直销的蔬菜中有3种相同,后两天直销的蔬菜中有4种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有　　　　种,这三天直销的蔬菜最少有　　　　种.

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