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第3节　等式性质与不等式性质
[课程标准要求]
1.梳理等式的性质.2.会比较两个数的大小.3.掌握不等式的性质,并能简单应用.
夯实·必备知识
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
>
=
<
2.等式的性质
性质1　对称性:如果a=b,那么 ;
性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么 ;
性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
b=a
a=c
3.不等式的性质
性质1　对称性:a>b ;
性质2　传递性:a>b,b>c ;
性质3　可加性:a>b a+c>b+c;
性质4　可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ;
性质5　同向可加性:a>b,c>d ;
性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ;
性质7　同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
ba>c
ac>bc
aca+c>b+d
ac>bd
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(　　)
(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d.(　　)
(3)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(4)设a=x2+2,b=2x,则a>b.(　　)
×
×
√
√
2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8)下列命题为真命题的是(　　)
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aB
C
ACD
提升·关键能力
比较数(式)的大小
考点1
[例1] (1)已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是
(　　)
A.y>x≥z B.z≥x>y
C.y>z≥x D.z≥y>x
D
(2)设a,b都是正数,且a≠b,则aabb与abba的大小关系是　　　　 　.
aabb>abba
解题策略
·
比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
注意:作商法的适用范围为同号两数比较大小或同号的乘积式、指数式比较大小.
[针对训练]
1.(2026·新疆乌鲁木齐模拟)已知M=x2-x+3,N=x+2,则M与N大小关系是
(　　)
A.M>N B.MC.M≥N D.M≤N
C
【解析】 因为M-N=x2-x+3-(x+2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以M≥N.故选C.
≥
不等式基本性质的应用
考点2
[例2] (多选)(2026·山东菏泽模拟)已知c<0ABD
解题策略
·
利用不等式性质判断命题真假的方法
(1)直接运用不等式的性质进行推理验证,注意不等式性质成立的前提条件.
(2)取特殊值验证,排除错误选项从而得到答案,取值注意三个原则:一是特殊值要符合题设条件;二是取值尽量要简单,便于计算;三是取值要有代表性.
AD
不等式性质的综合应用
考点3
[例3] (2026·山西临汾模拟)若3≤a≤5,-2≤b≤1,则2a-b的取值范围是(　　)
A.[8,9] B.[4,8]
C.[5,8] D.[5,12]
D
【解析】 由3≤a≤5,-2≤b≤1可得6≤2a≤10,-1≤-b≤2,故5≤2a-b≤12.故选D.
[变式探究1] (条件改为三个变量)若1A.(-2,2) B.(-6,-3)
C.(-6,0) D.(0,6)
C
【解析】 因为1因为-2[变式探究3] (条件改为多项式范围)若-1解题策略
·
求代数式的取值范围时,应通过已知和结论之间的关系充分利用不等式的性质变形求解,求解时常利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.
谢谢观赏第3节　等式性质与不等式性质
[课程标准要求] 1.梳理等式的性质.2.会比较两个数的大小.3.掌握不等式的性质,并能简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
作差法(a,b∈R).
2.等式的性质
性质1　对称性:如果a=b,那么b=a;
性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的性质
性质1　对称性:a>b b性质2　传递性:a>b,b>c a>c;
性质3　可加性:a>b a+c>b+c;
性质4　可乘性:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac性质5　同向可加性:a>b,c>d a+c>b+d;
性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ac>bd;
性质7　同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(　　)
(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d.(　　)
(3)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(4)设a=x2+2,b=2x,则a>b.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8)下列命题为真命题的是(　　)
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若a【答案】 B
【解析】 对于A,若a>b>0,则当c=0时,ac2=bc2,所以A错误;对于B,若a>b>0,则a2-b2=(a+b)(a-b)>0,所以a2>b2,所以B正确;对于C,若a0,所以a2>ab,所以C错误;对于D,若a0,所以>,所以D错误.故选B.
3.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T10改编)设a,b,m均为正数,且aA.<
B.=
C.>
D.与的大小关系随m变化而变化
【答案】 C
【解析】 由-==,因为a0,即->0,所以>.故选C.
4.(多选)(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知实数x,y满足1A.3C.2【答案】 ACD
【解析】 因为1比较数(式)的大小
[例1] (1)已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(　　)
A.y>x≥z B.z≥x>y
C.y>z≥x D.z≥y>x
(2)设a,b都是正数,且a≠b,则aabb与abba的大小关系是　　　　　　　　.
【答案】 (1)D　(2)aabb>abba
【解析】 (1)由x2=4x+z-y-4知z-y=x2-4x+4=(x-2)2≥0,即z≥y;
由x+y2+2=0知,x=-(y2+2),则y-x=y2+2+y=(y+)2+>0,即y>x.
综上所述,z≥y>x.故选D.
(2)=aa-b·bb-a=.
若a>b,则>1,a-b>0,所以>1,所以aabb>abba;
若a1,所以aabb>abba.综上,aabb>abba.
比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
注意:作商法的适用范围为同号两数比较大小或同号的乘积式、指数式比较大小.
[针对训练]
1.(2026·新疆乌鲁木齐模拟)已知M=x2-x+3,N=x+2,则M与N大小关系是(　　)
A.M>N B.MC.M≥N D.M≤N
【答案】 C
【解析】 因为M-N=x2-x+3-(x+2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以M≥N.故选C.
2.已知P=a2+a+1,Q=(a∈R),则P,Q的大小关系为P　　　　Q.
【答案】 ≥
【解析】 因为P=a2+a+1=(a+)2+>0,a2-a+1=(a-)2+>0,所以Q>0.
由=(a2+a+1)(a2-a+1)=(a2+1)2-a2=a4+a2+1≥1,可得P≥Q.
不等式基本性质的应用
[例2] (多选)(2026·山东菏泽模拟)已知c<0A.acC.> D.<
【答案】 ABD
【解析】 因为c<0因为c<0令a=3,b=2,c=-3,则=0,=,
此时<,故C错误;
因为c<0>0,即<,故D正确.故选ABD.
利用不等式性质判断命题真假的方法
(1)直接运用不等式的性质进行推理验证,注意不等式性质成立的前提条件.
(2)取特殊值验证,排除错误选项从而得到答案,取值注意三个原则:一是特殊值要符合题设条件;二是取值尽量要简单,便于计算;三是取值要有代表性.
[针对训练] (多选)下列命题中,不正确的是(　　)
A.若a>b,则>
B.若a2x>a2y,则x>y
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若<<0,则ab>b2
【答案】 AD
【解析】 对于A,令a>0,b=0,则=,选项A不正确,符合题意;
对于B,由a2x>a2y得a2>0,故x>y,选项B正确,不符合题意;
对于C,由c>d得-d>-c,因为a>b,所以a-d>b-c,选项C正确,不符合题意;
对于D,由<<0得,>>0,则-b>-a>0,故bab,选项D不正确,符合题意.故选AD.
不等式性质的综合应用
[例3] (2026·山西临汾模拟)若3≤a≤5,-2≤b≤1,则2a-b的取值范围是(　　)
A.[8,9] B.[4,8]
C.[5,8] D.[5,12]
【答案】 D
【解析】 由3≤a≤5,-2≤b≤1可得6≤2a≤10,-1≤-b≤2,故5≤2a-b≤12.故选D.
[变式探究1] (条件改为三个变量)若1A.(-2,2) B.(-6,-3)
C.(-6,0) D.(0,6)
【答案】 C
【解析】 因为1因为-2[变式探究2] (条件不变,变结论)已知条件不变,求,,的取值范围.
【解】 ①因为3≤a≤5,所以≤≤,
当b=0时,=0;
当0当-2≤b<0时,0<-b≤2,
所以0<-≤,所以-≤<0.
综上,∈[-,].
②因为-2≤b≤1,所以0≤b2≤4,
又≤≤,所以∈[0,].
③因为-≤≤,
所以≤2-≤,
所以≤≤,
即∈[,].
[变式探究3] (条件改为多项式范围)若-1【解】 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得
因为-1所以-<(a+b)-(a-b)<,即2a+3b∈(-,).
求代数式的取值范围时,应通过已知和结论之间的关系充分利用不等式的性质变形求解,求解时常利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
比较大小 3,5,7,11
不等式性质 1,2,4,6
综合应用 8,9,10,12
一、选择题
1.已知a,b,c,d∈R,则“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 当a=3,b=-2,c=0,d=2时,a+c>b+d,但c>d不成立,充分性不成立;
若a>b且c>d,则必有a+c>b+d,必要性成立.
所以“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件.故选B.
2.若a>b>0,c>d,则下列结论正确的是(　　)
A.a-b<0 B.ac>bd
C.ac2>bc2 D.>
【答案】 D
【解析】 因为a>b>0,c>d,
对于A,a-b>0,故A错误;
对于B,不妨取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2=bd,故B错误;
对于C,取c=0,则ac2=0=bc2,故C错误;
对于D,由题意可知,c2+1>0,由不等式的基本性质可得>,故D正确.故选D.
3.已知0A.MN
C.M=N D.M≥N
【答案】 B
【解析】 因为0所以M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,
所以M>N.故选B.
4.(2026·北京海淀模拟)设a,b,c∈R,abc≠0,且a>b>c,则(　　)
A.+>2 B.+<2
C.2a>b+c D.a+b>c
【答案】 C
【解析】 对于A,不妨取a=2,b=1,c=-,则+=2-4=-2<2,故A错误;
对于B,不妨设a=-1,b=-2,c=-6,则+=2+3=5>2,故B错误;
对于C,因为a>b>c,所以2a>b+c,故C正确;
对于D,不妨设a=-1,b=-2,c=-2.5,则a+b=-3<-2.5=c,故D错误.故选C.
5.两次去加油站,甲方案为加固定金额的油,乙方案为加固定体积的油.在油价波动的情况下,更省钱的方案是(　　)
A.加固定金额的油 B.加固定体积的油
C.两种方案一样 D.要视具体价格而定
【答案】 A
【解析】 设两次加油的油价分别为x,y(x,y>0,且x≠y),乙方案每次加油的量为a(a>0),甲方案每次加油的钱数为b(b>0),
则乙方案的平均油价为=,甲方案的平均油价为==,
因为-=>0,
所以>,
即甲方案更省钱.故选A.
6.(多选)(2026·山东德州模拟)若>>0,则(　　)
A.|a|<|b| B.<0
C.abc<0 D.>1
【答案】 AB
【解析】 若>>0,则||>||>0,即>>0,显然|c|>0,|a|>0,|b|>0,所以>,两边同乘|a||b|,得|a|<|b|,故A正确;
若>>0,则>,则->0,即>0,可得<0,故B正确;
取a=2,b=4,c=1,满足>>0,但abc=8>0,故C错误;
取a=2,b=4,c=1,满足>>0,但=<1,故D错误.故选AB.
二、填空题
7.比较大小:-　　　 -.(选填“>”或“<”)
【答案】 >
【解析】 要比较-与-的大小关系,即比较+与+的大小关系,
因为-=2-2>0,所以>,
所以+>+,所以->-.
8.(2026·吉林长春模拟)若正整数a,b满足3【答案】
【解析】 =+,要使其最大,则a,b都最小即可,因为3三、解答题
9.(1)比较大小:与,a>b>0.
(2)若a>b>0,c|c|,求证:<.
(1)【解】 法一(作差法)　-
=
=
=.
因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0,
所以>0,
所以>.
法二(作商法)　因为a>b>0,所以>0,>0,2ab>0,
所以===1+>1,所以>.
(2)【证明】 因为c-d>0,
又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以0<<,①
因为a>b,d>c,所以a+d>b+c.
又|b|>|c|,且b>0,c<0,
所以b+c>0,
所以0由①②得<.
10.(1)已知2(2)已知1(3)已知a>b>c,2a+b+c=0,求的取值范围.
【解】 (1)因为1因为2所以a-2b的取值范围为(-10,1),的取值范围为(,3).
(2)令2a+3b=m(a-b)+n(3a+2b)=(m+3n)a+(-m+2n)b,
则解得
因为1所以-3<-(a-b)<-1,
又因为1<3a+2b<5,
所以-2<2a+3b<4.
所以2a+3b的取值范围为(-2,4).
(3)因为a>b>c,2a+b+c=0,
所以a>0,c<0,b=-2a-c.
因为a>b>c,
所以-2a-c即3a>-c,得>-3,
将b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,即c<-a,得<-1,所以-3<<-1.
所以的取值范围为(-3,-1).
11.两人共同参加一个游戏,游戏规则如下:其中一人在集合A={x3,x2y,xy2,y3}(x>0,y>0且x≠y)中任取2个元素并求和,剩下2个元素给另一个人并求和,和大者胜出.则先取者取下列哪2个元素能够保证必胜(　　)
A.x3,x2y B.x3,xy2
C.x3,y3 D.x2y,xy2
【答案】 C
【解析】 若先取者取x3和x2y,
则(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)(x2-y2)=(x+y)2(x-y),
不能确定大小关系,A错误;
若先取者取x3和xy2,
则(x3+xy2)-(x2y+y3)=x(x2+y2)-y(x2+y2)=(x2+y2)(x-y),
不能确定大小关系,B错误;
若先取者取x3和y3,
则(x3+y3)-(x2y+xy2)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
根据x>0,y>0且x≠y,可得上式大于0,C正确,D错误.故选C.
12.若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是　　　　.
【答案】 [15,19]
【解析】 由题意得x+y=4-z,2x-y=5-z,所以x=3-,y=1-,
由x,y,z≥0得解得0≤z≤3,
故M=4x+3y+5z=4(3-)+3(1-)+5z=+15∈[15,19].第3节　等式性质与不等式性质
[课程标准要求] 1.梳理等式的性质.2.会比较两个数的大小.3.掌握不等式的性质,并能简单
应用.
1.两个实数比较大小的方法
作差法(a,b∈R).
2.等式的性质
性质1　对称性:如果a=b,那么　　　　;
性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么　　　　;
性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的性质
性质1　对称性:a>b 　　　　;
性质2　传递性:a>b,b>c 　　　　;
性质3　可加性:a>b a+c>b+c;
性质4　可乘性:a>b,c>0 　　　　;a>b,c<0 　　　　;
性质5　同向可加性:a>b,c>d 　　　　;
性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 　　　　;
性质7　同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(　　)
(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d.(　　)
(3)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(4)设a=x2+2,b=2x,则a>b.(　　)
2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8)下列命题为真命题的是(　　)
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若a3.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T10改编)设a,b,m均为正数,且aA.<
B.=
C.>
D.与的大小关系随m变化而变化
4.(多选)(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知实数x,y满足1A.3C.2比较数(式)的大小
[例1] (1)已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(　　)
A.y>x≥z B.z≥x>y
C.y>z≥x D.z≥y>x
(2)设a,b都是正数,且a≠b,则aabb与abba的大小关系是　　　　　　　　.
听课记录:
比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
注意:作商法的适用范围为同号两数比较大小或同号的乘积式、指数式比较大小.
[针对训练]
1.(2026·新疆乌鲁木齐模拟)已知M=x2-x+3,N=x+2,则M与N大小关系是(　　)
A.M>N B.MC.M≥N D.M≤N
2.已知P=a2+a+1,Q=(a∈R),则P,Q的大小关系为P　　　　Q.
不等式基本性质的应用
[例2] (多选)(2026·山东菏泽模拟)已知c<0A.acC.> D.<
听课记录:
利用不等式性质判断命题真假的方法
(1)直接运用不等式的性质进行推理验证,注意不等式性质成立的前提条件.
(2)取特殊值验证,排除错误选项从而得到答案,取值注意三个原则:一是特殊值要符合题设条件;二是取值尽量要简单,便于计算;三是取值要有代表性.
[针对训练] (多选)下列命题中,不正确的是(　　)
A.若a>b,则>
B.若a2x>a2y,则x>y
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若<<0,则ab>b2
不等式性质的综合应用
[例3] (2026·山西临汾模拟)若3≤a≤5,-2≤b≤1,则2a-b的取值范围是(　　)
A.[8,9] B.[4,8]
C.[5,8] D.[5,12]
听课记录:
[变式探究1] (条件改为三个变量)若1A.(-2,2) B.(-6,-3)
C.(-6,0) D.(0,6)
听课记录:
[变式探究2] (条件不变,变结论)已知条件不变,求,,的取值范围.
听课记录:
[变式探究3] (条件改为多项式范围)若-1听课记录:
求代数式的取值范围时,应通过已知和结论之间的关系充分利用不等式的性质变形求解,求解时常利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.第3节　等式性质与不等式性质
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
比较大小 3,5,7,11
不等式性质 1,2,4,6
综合应用 8,9,10,12
一、选择题
1.已知a,b,c,d∈R,则“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 当a=3,b=-2,c=0,d=2时,a+c>b+d,但c>d不成立,充分性不成立;
若a>b且c>d,则必有a+c>b+d,必要性成立.
所以“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件.故选B.
2.若a>b>0,c>d,则下列结论正确的是(　　)
A.a-b<0 B.ac>bd
C.ac2>bc2 D.>
【答案】 D
【解析】 因为a>b>0,c>d,
对于A,a-b>0,故A错误;
对于B,不妨取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2=bd,故B错误;
对于C,取c=0,则ac2=0=bc2,故C错误;
对于D,由题意可知,c2+1>0,由不等式的基本性质可得>,故D正确.故选D.
3.已知0A.MN
C.M=N D.M≥N
【答案】 B
【解析】 因为0所以M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,
所以M>N.故选B.
4.(2026·北京海淀模拟)设a,b,c∈R,abc≠0,且a>b>c,则(　　)
A.+>2 B.+<2
C.2a>b+c D.a+b>c
【答案】 C
【解析】 对于A,不妨取a=2,b=1,c=-,则+=2-4=-2<2,故A错误;
对于B,不妨设a=-1,b=-2,c=-6,则+=2+3=5>2,故B错误;
对于C,因为a>b>c,所以2a>b+c,故C正确;
对于D,不妨设a=-1,b=-2,c=-2.5,则a+b=-3<-2.5=c,故D错误.故选C.
5.两次去加油站,甲方案为加固定金额的油,乙方案为加固定体积的油.在油价波动的情况下,更省钱的方案是(　　)
A.加固定金额的油 B.加固定体积的油
C.两种方案一样 D.要视具体价格而定
【答案】 A
【解析】 设两次加油的油价分别为x,y(x,y>0,且x≠y),乙方案每次加油的量为a(a>0),甲方案每次加油的钱数为b(b>0),
则乙方案的平均油价为=,甲方案的平均油价为==,
因为-=>0,
所以>,
即甲方案更省钱.故选A.
6.(多选)(2026·山东德州模拟)若>>0,则(　　)
A.|a|<|b| B.<0
C.abc<0 D.>1
【答案】 AB
【解析】 若>>0,则||>||>0,即>>0,显然|c|>0,|a|>0,|b|>0,所以>,两边同乘|a||b|,得|a|<|b|,故A正确;
若>>0,则>,则->0,即>0,可得<0,故B正确;
取a=2,b=4,c=1,满足>>0,但abc=8>0,故C错误;
取a=2,b=4,c=1,满足>>0,但=<1,故D错误.故选AB.
二、填空题
7.比较大小:-　　　 -.(选填“>”或“<”)
【答案】 >
【解析】 要比较-与-的大小关系,即比较+与+的大小关系,
因为-=2-2>0,所以>,
所以+>+,所以->-.
8.(2026·吉林长春模拟)若正整数a,b满足3【答案】
【解析】 =+,要使其最大,则a,b都最小即可,因为3三、解答题
9.(1)比较大小:与,a>b>0.
(2)若a>b>0,c|c|,求证:<.
(1)【解】 法一(作差法)　-
=
=
=.
因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0,
所以>0,
所以>.
法二(作商法)　因为a>b>0,所以>0,>0,2ab>0,
所以===1+>1,所以>.
(2)【证明】 因为c-d>0,
又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以0<<,①
因为a>b,d>c,所以a+d>b+c.
又|b|>|c|,且b>0,c<0,
所以b+c>0,
所以0由①②得<.
10.(1)已知2(2)已知1(3)已知a>b>c,2a+b+c=0,求的取值范围.
【解】 (1)因为1因为2所以a-2b的取值范围为(-10,1),的取值范围为(,3).
(2)令2a+3b=m(a-b)+n(3a+2b)=(m+3n)a+(-m+2n)b,
则解得
因为1所以-3<-(a-b)<-1,
又因为1<3a+2b<5,
所以-2<2a+3b<4.
所以2a+3b的取值范围为(-2,4).
(3)因为a>b>c,2a+b+c=0,
所以a>0,c<0,b=-2a-c.
因为a>b>c,
所以-2a-c即3a>-c,得>-3,
将b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,即c<-a,得<-1,所以-3<<-1.
所以的取值范围为(-3,-1).
11.两人共同参加一个游戏,游戏规则如下:其中一人在集合A={x3,x2y,xy2,y3}(x>0,y>0且x≠y)中任取2个元素并求和,剩下2个元素给另一个人并求和,和大者胜出.则先取者取下列哪2个元素能够保证必胜(　　)
A.x3,x2y B.x3,xy2
C.x3,y3 D.x2y,xy2
【答案】 C
【解析】 若先取者取x3和x2y,
则(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)(x2-y2)=(x+y)2(x-y),
不能确定大小关系,A错误;
若先取者取x3和xy2,
则(x3+xy2)-(x2y+y3)=x(x2+y2)-y(x2+y2)=(x2+y2)(x-y),
不能确定大小关系,B错误;
若先取者取x3和y3,
则(x3+y3)-(x2y+xy2)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
根据x>0,y>0且x≠y,可得上式大于0,C正确,D错误.故选C.
12.若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是　　　　.
【答案】 [15,19]
【解析】 由题意得x+y=4-z,2x-y=5-z,所以x=3-,y=1-,
由x,y,z≥0得解得0≤z≤3,
故M=4x+3y+5z=4(3-)+3(1-)+5z=+15∈[15,19].第3节　等式性质与不等式性质
一、选择题
1.已知a,b,c,d∈R,则“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若a>b>0,c>d,则下列结论正确的是(　　)
A.a-b<0 B.ac>bd
C.ac2>bc2 D.>
3.已知0A.MN
C.M=N D.M≥N
4.(2026·北京海淀模拟)设a,b,c∈R,abc≠0,且a>b>c,则(　　)
A.+>2 B.+<2
C.2a>b+c D.a+b>c
5.两次去加油站,甲方案为加固定金额的油,乙方案为加固定体积的油.在油价波动的情况下,更省钱的方案是(　　)
A.加固定金额的油 B.加固定体积的油
C.两种方案一样 D.要视具体价格而定
6.(多选)(2026·山东德州模拟)若>>0,则(　　)
A.|a|<|b| B.<0
C.abc<0 D.>1
二、填空题
7.比较大小:-　　　 -.(选填“>”或“<”)
8.(2026·吉林长春模拟)若正整数a,b满足3三、解答题
9.(1)比较大小:与,a>b>0.
(2)若a>b>0,c|c|,求证:<.
10.(1)已知2(2)已知1(3)已知a>b>c,2a+b+c=0,求的取值范围.
11.两人共同参加一个游戏,游戏规则如下:其中一人在集合A={x3,x2y,xy2,y3}(x>0,y>0且x≠y)中任取2个元素并求和,剩下2个元素给另一个人并求和,和大者胜出.则先取者取下列哪2个元素能够保证必胜(　　)
A.x3,x2y B.x3,xy2
C.x3,y3 D.x2y,xy2
12.若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是　　　　.

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