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(共52张PPT)
第4节　基本不等式
[课程标准要求]
夯实·必备知识
知识梳理
(1)基本不等式成立的条件: .
(2)等号成立的条件:当且仅当 .
a>0,b>0
a=b
释疑
·
2.算术平均数与几何平均数
算术平均数
几何平均数
3.基本不等式与最值
重要结论
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
×
√
×
√
B
3.(人教A版必修第一册P46例3改编)周长为12的矩形,其面积的最大值为
(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
D
提升·关键能力
利用基本不等式求最值
考点1
角度1　配凑法
A
解题策略
·
配凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.但前提是应保证“一正”
“二定”“三相等”.
A
角度2　常数代换法
A
[变式探究1] (变条件,凑常数)已知a>0,b>0,且a+2b=ab,则a+2b的最小值为
(　　)
A.12 B.9 C.8 D.6
C
B
解题策略
·
常数代换法主要解决以下最值问题
角度3　消元法
6
[例3] 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　.
解题策略
·
通过消元法求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.
B
利用基本不等式解决恒成立(能成立)问题
考点2
解题策略
·
含参数的不等式恒成立(能成立)问题,若能够分离参数,则将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:若a>f(x)恒成立,则a>f(x)max;若af(x)有解,则a>f(x)min;若a[针对训练] 已知函数f(x)=x2+ax+3(x∈R),若存在x∈(-∞,1),使关于x的不等式f(x)≤a有实数解,则实数a的取值范围是　　　　.
[2,+∞)
基本不等式的实际应用
考点3
[例5] (2026·广西南宁模拟)如图,某规划组计划建设一个矩形花草园,在矩形ABCD的中心位置建造一个面积为50 m2的矩形EFGH(EF>EH)花园,在矩形EFGH的四周铺设草坪,要求南北两侧的草坪宽0.5 m,东西两侧的草坪宽
1 m,则矩形ABCD面积的最小值为　　　　m2.
72
解题策略
·
利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,建立数学模型,求出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值.
[针对训练] (2026·云南昆明模拟)某工厂一年需要购买某种原材料100 t,计划每次购买x t.若每次的运费为5 000元,一年的储存费用为5 000x元,则每次购买　　 　　t原材料,总费用(运费和储存费之和)最低,且最低的总费用为
　　　　万元.
10
10
微点提能1　基本不等式链
微点解读
题型演绎
题型一　平面几何中的不等式链
[典例1] 数学里有一种证明方法叫无字证明,一般是指仅用图形语言而无须文字解释就能不证自明的证明方法.由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D是斜边AB上异于A,B的一个动点,设AD=a,BD=b,
A
解题策略
·
基本不等式链中的每一个不等式都有其几何解释,需要结合几何图形中线段的表示及其大小关系作出正确的选择.
[拓展演练] 东汉末至三国时期数学家赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成,该图可用来解释下列哪个命题(　　)
A.如果a>b,b>c,那么a>c
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立
D.如果a>b,c>0,那么ac>bc
C
题型二　利用不等式链求最值
AD
在解题时直接选择不等式链中的合适不等关系,可以简化解题过程;在不能直接使用不等式链时,要灵活变形配凑后使用不等式链,有些问题需要考虑更为一般的方法.
解题策略
·
ACD
谢谢观赏第4节　基本不等式
[课程标准要求] 1.掌握基本不等式≤(a,b≥0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.
a2+b2≥2ab成立的条件与≥成立的条件不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而≥成立的条件是a>0,b>0.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S2(简记:和定积最大).
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(简记:积定和最小).
1.+≥2(a,b同号).
2.ab≤()2(a,b∈R).
3.≥()2(a,b∈R).
4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(2)a>0,b>0,c>0,则≥.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　)
(2)当a,b异号时,+≤-2.(　　)
(3)若x>0,则函数f(x)=x2+的最小值等于4.(　　)
(4)对任意a,b∈R,a2+b2≥均成立.(　　)
【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.(人教A版必修第一册P49习题2.2 T5改编)已知函数f(x)=3-x-,则当x<0时,f(x)有(　　)
A.最大值3+2 B.最小值3+2
C.最大值3-2 D.最小值3-2
【答案】 B
【解析】 由题意,当x<0时,f(x)=3+[(-x)+(-)]≥3+2=3+2,当且仅当x=-时,等号成立.故选B.
3.(人教A版必修第一册P46例3改编)周长为12的矩形,其面积的最大值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】 D
【解析】 设矩形的长、宽分别为x,y,则2(x+y)=12,即x+y=6.所以S=xy≤()2=9,当且仅当x=y=3时,等号成立.因此面积的最大值是9.故选D.
4.[人教A版必修第一册P48习题2.2 T1(2)改编](-6【答案】
【解析】 因为-60,a+6>0,由基本不等式可得≤=,当且仅当3-a=a+6,即a=-时,等号成立.
利用基本不等式求最值
角度1　配凑法
[例1] (2026·辽宁沈阳模拟)已知x∈(0,+∞),则y=x++的最小值为(　　)
A. B.2 C.2 D.
【答案】 A
【解析】 由x∈(0,+∞),
得2x+1>1,
又y=x++=+≥2=,
当且仅当=,即x=时,等号成立.故选A.
配凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.但前提是应保证“一正”“二定”“三相等”.
[针对训练] 若0A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 当0角度2　常数代换法
[例2] (2026·江苏宿迁模拟)若a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为(　　)
A.9 B.18 C.24 D.27
【答案】 A
【解析】 由a>0,b>0,a+2b=3,得+=(a+2b)(+)=(15++)≥(15+2)=9,当且仅当=,即a=b=1时,等号成立,所以+的最小值为9.故选A.
[变式探究1] (变条件,凑常数)已知a>0,b>0,且a+2b=ab,则a+2b的最小值为(　　)
A.12 B.9 C.8 D.6
【答案】 C
【解析】 因为a>0,b>0,a+2b=ab,所以+=1,
所以a+2b=(a+2b)(+)=4++≥4+2=8,
当且仅当即a=4,b=2时,等号成立,所以a+2b的最小值为8.故选C.
[变式探究 2] (变结论,用常数)已知a>0,b>0,且+=1,则a+2b的最小值为(　　)
A. B.3+2
C.5 D.6
【答案】 B
【解析】 因为a>0,b>0,且+=1,
所以a+2b=[(a+b)+b](+)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当=,即a=1,b=+1时,等号成立,
因此所求最小值为3+2.
故选B.
[变式探究3] (变结论,改为局部常数代换)已知条件不变,求+的最小值.
【解】 a>0,b>0,则+=+=1++≥1+2=3,
当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,
所以+的最小值为3.
常数代换法主要解决以下最值问题
已知形如或可化为x+y=m(m为常数,m≠0),求+(ab≠0)的最值,或已知形如或可化为+=t(t为常数,t≠0),求cx+dy(cd≠0)的最值.步骤:求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将+看作是(+)·或将cx+dy看作是(cx+dy)·(+),变形后即可利用基本不等式求最值.
角度3　消元法
[例3] 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　.
【答案】 6
【解析】 法一(换元消元法)　由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,
所以3xy≤()2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时,等号成立,所以x+3y+()2≥x+3y+xy=9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,
令x+3y=t,则t>0,且t2+12t-108≥0,解得t≥6,即x+3y的最小值为6.
法二(代入消元法)　由x+3y+xy=9,x>0,y>0,得x=,
所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6
=12-6=6,当且仅当3(1+y)=,即x=3,y=1时,等号成立,所以x+3y的最小值为6.
通过消元法求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.
[针对训练] (2026·湖南永州模拟)设a>1,b>1且ab-(a+b)=1,则ab的最小值为(　　)
A.2+2 B.3+2
C.1+ D.2
【答案】 B
【解析】 因为ab-1=a+b≥2,当且仅当a=b=1+时,等号成立,
所以ab-2-1≥0,令t=(t>1),则t2-2t-1≥0,解得t≥1+或t≤1-(舍去),
所以ab=t2≥=3+2,所以ab有最小值3+2.故选B.
利用基本不等式解决恒成立(能成立)问题
[例4] 若对任意x∈(0,+∞),不等式≥恒成立,则a的最小值是　　　　.
【答案】
【解析】 因为x>0,所以a≥=恒成立.
又≤=,当且仅当x=2时,等号成立.
所以a≥,则a的最小值是.
含参数的不等式恒成立(能成立)问题,若能够分离参数,则将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:若a>f(x)恒成立,则a>f(x)max;若af(x)有解,则a>f(x)min;若a求解.
[针对训练] 已知函数f(x)=x2+ax+3(x∈R),若存在x∈(-∞,1),使关于x的不等式f(x)≤a有实数解,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 [2,+∞)
【解析】 由题意得x2+ax+3-a≤0在x∈(-∞,1)上有解,则x2+3≤a(1-x)在(-∞,1)上有解,由于x∈(-∞,1),则1-x>0,则a≥有解.
由于==(1-x)+-2≥2-2=2(当且仅当1-x=,即x=-1时,等号成立),所以实数a的取值范围是[2,+∞).
基本不等式的实际应用
[例5] (2026·广西南宁模拟)如图,某规划组计划建设一个矩形花草园,在矩形ABCD的中心位置建造一个面积为50 m2的矩形EFGH(EF>EH)花园,在矩形EFGH的四周铺设草坪,要求南北两侧的草坪宽0.5 m,东西两侧的草坪宽1 m,则矩形ABCD面积的最小值为
　　　　m2.
【答案】 72
【解析】 设EF=x m,则EH= m,其中x>0,
因为EF>EH,则x>,
可得x>5,
由题意可得AB=(x+2) m,AD=(+1) m,
所以矩形ABCD的面积为S=AB·AD=(x+2)(+1)=x++52≥2+52=72(m2),
当且仅当x=(x>5),即x=10时,等号成立,
因此,矩形ABCD面积的最小值为72 m2.
利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,建立数学模型,求出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值.
[针对训练] (2026·云南昆明模拟)某工厂一年需要购买某种原材料100 t,计划每次购买x t.若每次的运费为5 000元,一年的储存费用为5 000x元,则每次购买　　　　t原材料,总费用(运费和储存费之和)最低,且最低的总费用为　　　　万元.
【答案】 10　10
【解析】 由题意可得总费用y=×5 000+5 000x=+5 000x,x>0,
所以y=+5 000x≥2=100 000,
当且仅当=5 000x,即x=10时,等号成立.
即每次购买10 t原材料,总费用最低,且最低的总费用为10万元.
微点提能1　基本不等式链
基本不等式链≤≤≤(其中a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立),其中,,,分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数,基本不等式链即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.若0<<题型一　平面几何中的不等式链
[典例1] 数学里有一种证明方法叫无字证明,一般是指仅用图形语言而无须文字解释就能不证自明的证明方法.
由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D是斜边AB上异于A,B的一个动点,设AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明是(　　)
A.≤ B.≤
C.≥ D.≥
【答案】 A
【解析】 由题设得AB=a+b,且CO=AO=BO=,
其中OD=|AD-AO|=|a-|=||或OD=|BD-BO|=|b-|=||,
所以CD===,
由题图知CD≥CO,即≥.故选A.
基本不等式链中的每一个不等式都有其几何解释,需要结合几何图形中线段的表示及其大小关系作出正确的选择.
[拓展演练] 东汉末至三国时期数学家赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成,该图可用来解释下列哪个命题(　　)
A.如果a>b,b>c,那么a>c
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立
D.如果a>b,c>0,那么ac>bc
【答案】 C
【解析】 选项A,B,D是不等式的性质,不能由给定的图形解释;
对于C,设小直角三角形的直角边长分别为a,b,大正方形的边长为,
大正方形的面积为a2+b2,4个小直角三角形的面积之和为4×ab=2ab,
由题图知a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.故选C.
题型二　利用不等式链求最值
[典例2] (多选)已知x,y为正数,且2x+y=1,则下列结论正确的是(　　)
A.xy的最大值为
B.4x2+y2的最小值为1
C.x(x+y)的最大值为
D.的最小值为9
【答案】 AD
【解析】 对于A,xy=×2x×y≤×=,当且仅当x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为,故A正确;
对于B,法一　由≤得≤,所以4x2+y2≥,
当且仅当x=,y=时,等号成立,所以4x2+y2的最小值为,故B错误;
法二　因为4x2+y2=4x2+(1-2x)2=8x2-4x+1,又y=1-2x>0,
即0所以当x=时,4x2+y2取得最小值,故B错误;
对于C,x(x+y)=x(x+1-2x)=-x2+x,因为0所以f(x)=-x2+x在(0,)上单调递增,所以-x2+x<-+=,即x(x+y)<,故C不正确;
对于D,=+=(2x+y)(+)=5++≥5+2=9,
当且仅当x=y=时,等号成立,故D正确.故选AD.
在解题时直接选择不等式链中的合适不等关系,可以简化解题过程;在不能直接使用不等式链时,要灵活变形配凑后使用不等式链,有些问题需要考虑更为一般的方法.
[拓展演练] (多选)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　)
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
【答案】 ACD
【解析】 对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时,等号成立,B错误;
对于C,由≥=,得a2+b2≥,
当且仅当a=b=时,等号成立,C正确;
对于D,+==≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,D正确.
故选ACD.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
利用基本不等式求最值 1,2,3,5,9,11
基本不等式的综合应用 4,6,7,12
基本不等式的实际应用 8,10
一、选择题
1.(2026·河北保定模拟)已知x,y是非零实数,则+的最小值为(　　)
A.6 B.12 C.2 D.4
【答案】 A
【解析】 +≥2=6,当且仅当=,即|y|=|x|>0时,等号成立,
所以+的最小值为6.故选A.
2.(2026·广东东莞模拟)已知x>0,y>0,且+2y=1,则2x+的最小值为(　　)
A.4 B.4-1
C.6 D.8
【答案】 D
【解析】 2x+=(+2y)(2x+)=2++4xy+2=4++4xy≥4+2=8,
当且仅当=4xy,即x=2,y=时,等号成立.所以2x+的最小值为8.
故选D.
3.已知-3A.- B.
C.- D.不存在
【答案】 A
【解析】 由于-30,故y=x=-≥-=-,当且仅当x2=9-x2,即x=-时,等号成立,所以y=x的最小值为-.故选A.
4.已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为(　　)
A. B.1 C. D.2
【答案】 A
【解析】 由x>a,可得x-a>0,
又由2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=4+2a,
当且仅当2(x-a)=,即x=a+1时,等号成立,
因为对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,所以4+2a≥5,解得a≥,
所以实数a的最小值为.
故选A.
5.(2026·天津红桥模拟)已知a>0,b>0,则++b的最小值为(　　)
A.4 B.2
C.4 D.2
【答案】 D
【解析】 因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=b+≥2=2,
当且仅当=,且b=,即a=2,b=1时,等号成立,所以++b的最小值为2.
故选D.
6.(多选)(2026·云南昭通模拟)下列结论正确的是(　　)
A.若x∈R,则x+≥2
B.若a
C.若x>3,则x+≥4
D.若a>0,b>0,a+b≤1,则0【答案】 BD
【解析】 对于A,当x<0时,x+为负数,故A错误;
对于B,若a,故B正确;
对于C,x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,又因为x>3,所以x+>4,故C错误;
对于D,若a>0,b>0,a+b≤1,则≤,0二、填空题
7.若存在a>0,b>0,使得不等式+≤能成立,则m的最小值等于　　　　.
【答案】 9
【解析】 因为a>0,b>0,所以2a+b>0,
所以m≥(+)(2a+b)=5++,
又+≥2=4,当且仅当=,即a=b时,等号成立,
因为存在a>0,b>0,使得不等式+≤能成立,
所以m≥=9.所以m的最小值等于9.
8.(2026·河南郑州模拟)已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为AD,AB上的点,当△AEF的周长为4时,△AEF面积的最大值为　　　　.
【答案】 12-8
【解析】 如图,设AE=x,AF=y(0≤x≤2,0≤y≤2),则EF=,
因为△AEF的周长为4,所以x+y+=4,
因为x+y+=4≥2+,当且仅当x=y时,等号成立,
故≤=4-2,则xy≤24-16,则△AEF的面积满足xy≤12-8.
故△AEF面积的最大值为12-8.
三、解答题
9.(1)已知x<,求y=3x+1+的最大值;
(2)已知 x>-1,求 y=的最小值.
【解】 (1)由x<,可得3x-2<0,
所以y=3x+1+=3x-2++3
=-[(2-3x)+]+3
≤-2+3=-3,
当且仅当2-3x=,即x=-时,等号成立,
所以y=3x+1+的最大值为-3.
(2)当x>-1时,x+1>0,
则y===x+1+≥2=6,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
所以y=的最小值为6.
10.如图所示,已知A,B,C三地在海岸线上,B地在A地正东方向12 km处,C地在A地正东方向3 km处,海岛P在C地正南方向3 km处,一艘小船正从海岛P以10 km/h的速度沿直线向海岸线航行,最终在海岸线上的D地登岸,D地在C地正东方向x km处,其中0(1)已知x=4,若小明从海岛P乘坐小船出发,登岸后立即以5 km/h的速度沿海岸线骑车从D地径直匀速驶向B地,求小明从海岛P出发抵达B地所花的时间(精确到0.1 h);
(2)小明与朋友相约B地,已知他从海岛P乘坐小船出发时,朋友正沿着海岸线骑车从A地出发匀速驶向B地,若小明登岸时恰好遇见朋友,求朋友骑行的最大速度.
【解】 (1)由题意可得AC=3 km,PC=3 km,CD=4 km,BD=12-3-4=5(km),PC⊥CD,
由勾股定理可得PD===5(km),
因此,小明从海岛P到达B地所花的时间为t=+=+=1.5(h).
(2)由题意可得AC=3 km,PC=3 km,CD=x km,PC⊥CD,
由勾股定理可得PD==(km),
设朋友骑行的速度为v km/h,
由题意可得=,
即=,
可得====≤=(km/h),
所以v≤10 km/h,当且仅当x=(0因此,朋友骑行的最大速度为10 km/h.
11.设正实数a,b满足a+2b=1,则的最小值为(　　)
A. B.17
C.8+4 D.16
【答案】 C
【解析】 由题意知===++8≥2+8=8+4,
当且仅当=,即时,等号成立.
因此,的最小值为8+4.故选C.
12.(多选)(2026·广东佛山模拟)已知a,b>0,且ab=a+2b+6,则(　　)
A.ab的最小值为18
B.a2+b2的最小值为36
C.+的最小值为
D.a+b的最小值为3+4
【答案】 ACD
【解析】 对于A,由于ab=a+2b+6≥2+6,即(-3)(+)≥0,
则≥3,即ab≥18,当且仅当a=2b=6时,等号成立,所以ab的最小值为18,故A正确;
对于B,由a2+b2≥2ab≥36,当且仅当a=b且a=2b时,等号成立,
显然不能同时成立,取不到等号,故B错误;
对于C,因为ab=a+2b+6,所以+===1-≥1-=,
当且仅当a=2b=6时,等号成立,
即+的最小值为,故C正确;
对于D,因为a>0,b=>0,所以a>2,
所以a+b=a+=a-2++3≥2+3=4+3,
当且仅当a-2=,即a=2+2,b=1+2时,等号成立,
则a+b的最小值为3+4,故D正确.故选ACD.第4节　基本不等式
[课程标准要求] 1.掌握基本不等式≤(a,b≥0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:　 .
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　　.
a2+b2≥2ab成立的条件与≥成立的条件不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而≥成立的条件是a>0,b>0.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式表明:两个正数的　　　　　　　不小于它们的　　　　　　　.
3.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S2(简记:和定积最大).
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(简记:积定和最小).
1.+≥2(a,b同号).
2.ab≤()2(a,b∈R).
3.≥()2(a,b∈R).
4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(2)a>0,b>0,c>0,则≥.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　)
(2)当a,b异号时,+≤-2.(　　)
(3)若x>0,则函数f(x)=x2+的最小值等于4.(　　)
(4)对任意a,b∈R,a2+b2≥均成立.(　　)
2.(人教A版必修第一册P49习题2.2 T5改编)已知函数f(x)=3-x-,则当x<0时,f(x)有(　　)
A.最大值3+2 B.最小值3+2
C.最大值3-2 D.最小值3-2
3.(人教A版必修第一册P46例3改编)周长为12的矩形,其面积的最大值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
4.[人教A版必修第一册P48习题2.2 T1(2)改编](-6利用基本不等式求最值
角度1　配凑法
[例1] (2026·辽宁沈阳模拟)已知x∈(0,+∞),则y=x++的最小值为(　　)
A. B.2 C.2 D.
听课记录:
配凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.但前提是应保证“一正”“二定”“三相等”.
[针对训练] 若0A. B. C. D.
角度2　常数代换法
[例2] (2026·江苏宿迁模拟)若a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为(　　)
A.9 B.18 C.24 D.27
听课记录:
[变式探究1] (变条件,凑常数)已知a>0,b>0,且a+2b=ab,则a+2b的最小值为(　　)
A.12 B.9 C.8 D.6
听课记录:
[变式探究 2] (变结论,用常数)已知a>0,b>0,且+=1,则a+2b的最小值为(　　)
A. B.3+2
C.5 D.6
听课记录:
[变式探究3] (变结论,改为局部常数代换)已知条件不变,求+的最小值.
听课记录:
常数代换法主要解决以下最值问题
已知形如或可化为x+y=m(m为常数,m≠0),求+(ab≠0)的最值,或已知形如或可化为+=t(t为常数,t≠0),求cx+dy(cd≠0)的最值.步骤:求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将+看作是(+)·或将cx+dy看作是(cx+dy)·(+),变形后即可利用基本不等式求最值.
角度3　消元法
[例3] 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　.
听课记录:
通过消元法求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.
[针对训练] (2026·湖南永州模拟)设a>1,b>1且ab-(a+b)=1,则ab的最小值为(　　)
A.2+2 B.3+2
C.1+ D.2
利用基本不等式解决恒成立(能
成立)问题
[例4] 若对任意x∈(0,+∞),不等式≥恒成立,则a的最小值是 　　　　.
听课记录:
含参数的不等式恒成立(能成立)问题,若能够分离参数,则将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法为:若a>f(x)恒成立,则a>f(x)max;若af(x)有解,则a>f(x)min;若a[针对训练] 已知函数f(x)=x2+ax+3(x∈R),若存在x∈(-∞,1),使关于x的不等式f(x)≤a有实数解,则实数a的取值范围是　　　　.
基本不等式的实际应用
[例5] (2026·广西南宁模拟)如图,某规划组计划建设一个矩形花草园,在矩形ABCD的中心位置建造一个面积为50 m2的矩形EFGH(EF>EH)花园,在矩形EFGH的四周铺设草坪,要求南北两侧的草坪宽0.5 m,东西两侧的草坪宽1 m,则矩形ABCD面积的最小值为　　　　m2.
听课记录:
利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,建立数学模型,求出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值.
[针对训练] (2026·云南昆明模拟)某工厂一年需要购买某种原材料100 t,计划每次购买x t.若每次的运费为5 000元,一年的储存费用为5 000x元,则每次购买　　　　t原材料,总费用(运费和储存费之和)最低,且最低的总费用为　　　　万元.
微点提能1　基本不等式链
基本不等式链≤≤≤(其中a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立),其中,,,分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数,基本不等式链即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.若0题型一　平面几何中的不等式链
[典例1] 数学里有一种证明方法叫无字证明,一般是指仅用图形语言而无须文字解释就能不证自明的证明方法.由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.
如图,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D是斜边AB上异于A,B的一个动点,设AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明是(　　)
A.≤ B.≤
C.≥ D.≥
基本不等式链中的每一个不等式都有其几何解释,需要结合几何图形中线段的表示及其大小关系作出正确的选择.
[拓展演练] 东汉末至三国时期数学家赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成,该图可用来解释下列哪个命题(　　)
A.如果a>b,b>c,那么a>c
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立
D.如果a>b,c>0,那么ac>bc
题型二　利用不等式链求最值
[典例2] (多选)已知x,y为正数,且2x+y=1,则下列结论正确的是(　　)
A.xy的最大值为
B.4x2+y2的最小值为1
C.x(x+y)的最大值为
D.的最小值为9
在解题时直接选择不等式链中的合适不等关系,可以简化解题过程;在不能直接使用不等式链时,要灵活变形配凑后使用不等式链,有些问题需要考虑更为一般的方法.
[拓展演练] (多选)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　)
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值第4节　基本不等式
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
利用基本不等式求最值 1,2,3,5,9,11
基本不等式的综合应用 4,6,7,12
基本不等式的实际应用 8,10
一、选择题
1.(2026·河北保定模拟)已知x,y是非零实数,则+的最小值为(　　)
A.6 B.12 C.2 D.4
【答案】 A
【解析】 +≥2=6,当且仅当=,即|y|=|x|>0时,等号成立,
所以+的最小值为6.故选A.
2.(2026·广东东莞模拟)已知x>0,y>0,且+2y=1,则2x+的最小值为(　　)
A.4 B.4-1
C.6 D.8
【答案】 D
【解析】 2x+=(+2y)(2x+)=2++4xy+2=4++4xy≥4+2=8,
当且仅当=4xy,即x=2,y=时,等号成立.所以2x+的最小值为8.
故选D.
3.已知-3A.- B.
C.- D.不存在
【答案】 A
【解析】 由于-30,故y=x=-≥-=-,当且仅当x2=9-x2,即x=-时,等号成立,所以y=x的最小值为-.故选A.
4.已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为(　　)
A. B.1 C. D.2
【答案】 A
【解析】 由x>a,可得x-a>0,
又由2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=4+2a,
当且仅当2(x-a)=,即x=a+1时,等号成立,
因为对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,所以4+2a≥5,解得a≥,
所以实数a的最小值为.
故选A.
5.(2026·天津红桥模拟)已知a>0,b>0,则++b的最小值为(　　)
A.4 B.2
C.4 D.2
【答案】 D
【解析】 因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=b+≥2=2,
当且仅当=,且b=,即a=2,b=1时,等号成立,所以++b的最小值为2.
故选D.
6.(多选)(2026·云南昭通模拟)下列结论正确的是(　　)
A.若x∈R,则x+≥2
B.若a
C.若x>3,则x+≥4
D.若a>0,b>0,a+b≤1,则0【答案】 BD
【解析】 对于A,当x<0时,x+为负数,故A错误;
对于B,若a,故B正确;
对于C,x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,又因为x>3,所以x+>4,故C错误;
对于D,若a>0,b>0,a+b≤1,则≤,0二、填空题
7.若存在a>0,b>0,使得不等式+≤能成立,则m的最小值等于　　　　.
【答案】 9
【解析】 因为a>0,b>0,所以2a+b>0,
所以m≥(+)(2a+b)=5++,
又+≥2=4,当且仅当=,即a=b时,等号成立,
因为存在a>0,b>0,使得不等式+≤能成立,
所以m≥=9.所以m的最小值等于9.
8.(2026·河南郑州模拟)已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为AD,AB上的点,当△AEF的周长为4时,△AEF面积的最大值为　　　　.
【答案】 12-8
【解析】 如图,设AE=x,AF=y(0≤x≤2,0≤y≤2),则EF=,
因为△AEF的周长为4,所以x+y+=4,
因为x+y+=4≥2+,当且仅当x=y时,等号成立,
故≤=4-2,则xy≤24-16,则△AEF的面积满足xy≤12-8.
故△AEF面积的最大值为12-8.
三、解答题
9.(1)已知x<,求y=3x+1+的最大值;
(2)已知 x>-1,求 y=的最小值.
【解】 (1)由x<,可得3x-2<0,
所以y=3x+1+=3x-2++3
=-[(2-3x)+]+3
≤-2+3=-3,
当且仅当2-3x=,即x=-时,等号成立,
所以y=3x+1+的最大值为-3.
(2)当x>-1时,x+1>0,
则y===x+1+≥2=6,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
所以y=的最小值为6.
10.如图所示,已知A,B,C三地在海岸线上,B地在A地正东方向12 km处,C地在A地正东方向3 km处,海岛P在C地正南方向3 km处,一艘小船正从海岛P以10 km/h的速度沿直线向海岸线航行,最终在海岸线上的D地登岸,D地在C地正东方向x km处,其中0(1)已知x=4,若小明从海岛P乘坐小船出发,登岸后立即以5 km/h的速度沿海岸线骑车从D地径直匀速驶向B地,求小明从海岛P出发抵达B地所花的时间(精确到0.1 h);
(2)小明与朋友相约B地,已知他从海岛P乘坐小船出发时,朋友正沿着海岸线骑车从A地出发匀速驶向B地,若小明登岸时恰好遇见朋友,求朋友骑行的最大速度.
【解】 (1)由题意可得AC=3 km,PC=3 km,CD=4 km,BD=12-3-4=5(km),PC⊥CD,
由勾股定理可得PD===5(km),
因此,小明从海岛P到达B地所花的时间为t=+=+=1.5(h).
(2)由题意可得AC=3 km,PC=3 km,CD=x km,PC⊥CD,
由勾股定理可得PD==(km),
设朋友骑行的速度为v km/h,
由题意可得=,
即=,
可得====≤=(km/h),
所以v≤10 km/h,当且仅当x=(0因此,朋友骑行的最大速度为10 km/h.
11.设正实数a,b满足a+2b=1,则的最小值为(　　)
A. B.17
C.8+4 D.16
【答案】 C
【解析】 由题意知===++8≥2+8=8+4,
当且仅当=,即时,等号成立.
因此,的最小值为8+4.故选C.
12.(多选)(2026·广东佛山模拟)已知a,b>0,且ab=a+2b+6,则(　　)
A.ab的最小值为18
B.a2+b2的最小值为36
C.+的最小值为
D.a+b的最小值为3+4
【答案】 ACD
【解析】 对于A,由于ab=a+2b+6≥2+6,即(-3)(+)≥0,
则≥3,即ab≥18,当且仅当a=2b=6时,等号成立,所以ab的最小值为18,故A正确;
对于B,由a2+b2≥2ab≥36,当且仅当a=b且a=2b时,等号成立,
显然不能同时成立,取不到等号,故B错误;
对于C,因为ab=a+2b+6,所以+===1-≥1-=,
当且仅当a=2b=6时,等号成立,
即+的最小值为,故C正确;
对于D,因为a>0,b=>0,所以a>2,
所以a+b=a+=a-2++3≥2+3=4+3,
当且仅当a-2=,即a=2+2,b=1+2时,等号成立,
则a+b的最小值为3+4,故D正确.故选ACD.第4节　基本不等式
一、选择题
1.(2026·河北保定模拟)已知x,y是非零实数,则+的最小值为(　　)
A.6 B.12 C.2 D.4
2.(2026·广东东莞模拟)已知x>0,y>0,且+2y=1,则2x+的最小值为(　　)
A.4 B.4-1
C.6 D.8
3.已知-3A.- B.
C.- D.不存在
4.已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为(　　)
A. B.1 C. D.2
5.(2026·天津红桥模拟)已知a>0,b>0,则++b的最小值为(　　)
A.4 B.2 C.4 D.2
6.(多选)(2026·云南昭通模拟)下列结论正确的是(　　)
A.若x∈R,则x+≥2
B.若a
C.若x>3,则x+≥4
D.若a>0,b>0,a+b≤1,则0二、填空题
7.若存在a>0,b>0,使得不等式+≤能成立,则m的最小值等于 　　　　.
8.(2026·河南郑州模拟)已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为AD,AB上的点,当△AEF的周长为4时,△AEF面积的最大值为　　　　.
三、解答题
9.(1)已知x<,求y=3x+1+的最大值;
(2)已知 x>-1,求 y=的最小值.
10.如图所示,已知A,B,C三地在海岸线上,B地在A地正东方向12 km处,C地在A地正东方向3 km处,海岛P在C地正南方向3 km处,一艘小船正从海岛P以10 km/h的速度沿直线向海岸线航行,最终在海岸线上的D地登岸,D地在C地正东方向x km处,其中0(1)已知x=4,若小明从海岛P乘坐小船出发,登岸后立即以5 km/h的速度沿海岸线骑车从D地径直匀速驶向B地,求小明从海岛P出发抵达B地所花的时间(精确到0.1 h);
(2)小明与朋友相约B地,已知他从海岛P乘坐小船出发时,朋友正沿着海岸线骑车从A地出发匀速驶向B地,若小明登岸时恰好遇见朋友,求朋友骑行的最大速度.
11.设正实数a,b满足a+2b=1,则的最小值为(　　)
A. B.17
C.8+4 D.16
12.(多选)(2026·广东佛山模拟)已知a,b>0,且ab=a+2b+6,则(　　)
A.ab的最小值为18
B.a2+b2的最小值为36
C.+的最小值为
D.a+b的最小值为3+4

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