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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§2.1认识一元二次方程
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意；
B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意；
C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意；
D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意．
故选:B
2．（本题3分）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
解：∵ 方程为
当时，代入方程左边得，
由题可知，
∴ 是方程的根，
当时，代入方程左边得，
由题可知，
∴ 是方程的根
∴方程的根为．故选:C
3．（本题3分）关于x的一元二次方程化为一般形式为（ ）
A． B． C． D．
解：原方程为，
将方程左边按照单项式乘多项式法则展开
得，
该方程的一般形式为．故选:B
4．（本题3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．1或 C．1 D．
解：由题意得：，且，
解得：．故选:D
5．（本题3分）已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
解：将代入，得，解得．故选:A
6．（本题3分）已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：设二次函数，
由于二次项系数为，且，
则抛物线开口向上，与轴交于，两点，
原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标，
由于，则抛物线开口向上，
如图：
则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧，
即得到．故选:C
7．（本题3分）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．或2 B． C．2 D．0
解：是一元二次方程的一个根，
，
解得或，
又原方程是一元二次方程，
二次项系数，即，
而和都满足，
因此的值为或.故选:A
8．（本题3分）已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确
解：∵方程 的两根为，，，
∴方程 的两根为，，，
∴，
，
∴，因此①正确；
∵，
∴，
∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确；
综上，①正确，②正确．故选:A
二、填空题（每小题3分 共15分）
9．（本题3分）若是关于的方程的一个根，则的值为______．
解：∵是关于的方程的一个根，
∴，即，
∴
．
10．（本题3分）若为方程的解，则的值为__________．
解：为方程的解
整理得
．
11．（本题3分）若是一元二次方程的解，则k的值为____________．
解：是一元二次方程的解
整理得
解得 ．
12．（本题3分）已知是关于的方程的一个根，则________．
解：∵是关于的方程的一个根，
∴，即，
∴．
13．（本题3分）若m是方程的一个根，则代数式的值为______．
解：∵根据题意，是方程的一个根，
∴ ，变形得 ，
∵，
∴，
将代入所求代数式
，
∵，
∴原式．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
（1）解：，
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；
（2）解：，
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；
（3）解：
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；
（4）解：
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项．
15．（本题8分）已知关于x的一元二次方程：．
(1)若的一个解是，求k．
(2)当时，解方程．
（1）解：把代入得：
，解得．
（2）解：当时，方程化为，
，
∴，
∴，
∴；．
16．（本题8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求m的值及方程的另一根；
(2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（1）解：把代入
得，解得：
设另一根为，
则，即
另一个根是．
（2）解：依题得
不论取何值，
不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
17．（本题8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程有一个根是1，请求出的值和另一个根．
（1）解：∵关于x的一元二次方程为有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得；
（2）解：∵方程有一个根是1，
∴，
解得，
∴方程为，
解得，，
∴方程的另一个根是7．
18．（本题9分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根．
（1）解：原方程可变为，
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又，，
解得，，
∴且；
（2）解：根据题意知：，
解得：，
则方程为，即，
则，
∴，
解得．
19．（本题10分）已知．
(1)化简A；
(2)若a为方程的一个解，求A的值．
（1）解：
；
（2）解：∵a为方程的一个解，
，
，
，
．
20．（本题12分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的“倒方程”是______；
(2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____．
（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；
（2）解：由题知，方程的倒方程为，
将代入此方程得，，
解得；
（3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是，
∵m是此方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴．
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§2.1认识一元二次方程
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
3．（本题3分）关于x的一元二次方程化为一般形式为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．1或 C．1 D．
5．（本题3分）已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（本题3分）已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．或2 B． C．2 D．0
8．（本题3分）已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确
二、填空题（每小题3分 共15分）
9．（本题3分）若是关于的方程的一个根，则的值为______．
10．（本题3分）若为方程的解，则的值为__________．
11．（本题3分）若是一元二次方程的解，则k的值为____________．
12．（本题3分）已知是关于的方程的一个根，则________．
13．（本题3分）若m是方程的一个根，则代数式的值为______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．（本题8分）已知关于x的一元二次方程：．
(1)若的一个解是，求k．
(2)当时，解方程．
16．（本题8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求m的值及方程的另一根；
(2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
17．（本题8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程有一个根是1，请求出的值和另一个根．
18．（本题9分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根．
19．（本题10分）已知．
(1)化简A；
(2)若a为方程的一个解，求A的值．
20．（本题12分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的“倒方程”是______；
(2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____．
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