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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§2.2一元二次方程的解法
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）一元二次方程的根是（ ）
A．5 B． C． D．25
2．（本题3分）用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）方程的解为（ ）
A． B． C． D．以上结论都不对
4．（本题3分）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（本题3分）已知方程的解是或，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（本题3分）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（ ）
①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根；
③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每小题3分 共15分）
9．（本题3分）方程的根为________．
10．（本题3分）完成解题过程，用因式分解法解方程．
（1）
解：移项，得_____．
因式分解，得_____．
于是得_____或_____，
_____，_____．
（2）
解：移项，得_____．
因式分解，得_____．
于是得_____，_____．
11．（本题3分）方程的解是___________；
12．（本题3分）方程的解是 _____．
13．（本题3分）解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）解方程与不等式组：
(1)解方程：
(2)解不等式组：
15．（本题8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
16．（本题8分）解方程．
(1)
(2)
(3)；
(4)
17．（本题8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解．
18．（本题9分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．
19．（本题10分）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以．
(1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号)
①；②；③；④．
(2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；
(3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值．
20．（本题12分）某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求：
(1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？
(2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算）
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§2.2一元二次方程的解法
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）一元二次方程的根是（ ）
A．5 B． C． D．25
解： ，
∴移项得 ，
对等式两边开平方，可得 ，
即原方程的根为 ．故选:C
2．（本题3分）用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：
．故选:C
3．（本题3分）方程的解为（ ）
A． B． C． D．以上结论都不对
解：∵原方程为，
展开左边得，
整理为标准形式得，
计算判别式得，
由求根公式得方程的解为，该解不等于或，
∴选项A，B，C都错误，故选D．
4．（本题3分）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
解：∵，
∴或，
解得或．故选:D
5．（本题3分）已知方程的解是或，则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
解：设，则方程化为，
的解为或，
∴或，
解得或，
故选：C．
6．（本题3分）学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程，
故选：B．
7．（本题3分）下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误；
②对于方程，，
∵，
∴，
∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确；
③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得，
当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误；
综上，正确的说法有1个．故选:B
8．（本题3分）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（ ）
①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根；
③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根．
A．个 B．个 C．个 D．个
解：∵一元二次方程的根的判别式为，
①当时，，
若，则，此时方程无实数根，故①错误；
②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确；
③当时，，
∵，
∴，
∴，此时方程无实数根，故③正确；
④当时，，
此时方程总有实数根，故④正确；
综上所述，正确的个数有个．故选:C
二、填空题（每小题3分 共15分）
9．（本题3分）方程的根为________．
解：
移项得
开平方得
解得，．
10．（本题3分）完成解题过程，用因式分解法解方程．
（1）
解：移项，得_____．
因式分解，得_____．
于是得_____或_____，
_____，_____．
（2）
解：移项，得_____．
因式分解，得_____．
于是得_____，_____．
解: 0 3
11．（本题3分）方程的解是___________；
解：
．
12．（本题3分）方程的解是 _____．
解：原方程移项得，
提取公因式得，即，
∴或，
解得，.
13．（本题3分）解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______．
解：设，则，，
原方程可化为，
两边同时乘以得，
整理得，
得到关于的整式方程是．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）解方程与不等式组：
(1)解方程：
(2)解不等式组：
（1）解：
解得，；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
15．（本题8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程，
∴
∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根；
(2)解：可以，理由如下：
由求根公式得，
∴，
∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数，
∴为正整数
∴为整数，且
∵为整数，
∴的可能取值为，
当时，，两根为和，均为正整数；
当时，，两根为和，均为正整数；
当时，，不符合要求；
当时，，不符合要求
∴该方程的两个实数根可以都为正整数．
16．（本题8分）解方程．
(1)
(2)
(3)；
(4)
（1）解：
或
∴，；
（2）解：
∴
∴，；
（3）解：
或
∴，；
（4）解：
或
∴，．
17．（本题8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解．
（1）解：∵，，
∴
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）可知
∴当时，一元二次方程为，
解得，
18．（本题9分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．
(1)证明：∵，
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：
，
解得，，
方程的一个根是另一个根的倍，
分两种情况讨论： 当时，，解得；
当时，，解得；
综上，的值为或.
19．（本题10分）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以．
(1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号)
①；②；③；④．
(2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；
(3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值．
（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解，
故①是同族方程；
解方程得：，不满足两个实数解都为整数解，
故②不是同族方程；
解方程得：，不满足两个实数解都为整数解，
故③不是同族方程；
解方程得：，满足两个实数解都为整数解，
故④是同族方程；
故是同族方程的是①④；
(2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解，
∴ ，即．
∵ 有意义，
∴ ．
∴ ．
故对任意一个完美方程，总有
（3）由一元二次方程得：，，
解得：，
∵一元二次方程属于同族方程，
∴是整数，
∴正整数k的值为1或3．
20．（本题12分）某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求：
(1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？
(2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算）
（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品
由题意得：
两边同乘，得
化简得
整理得
解得，
∵每天加工数量为正数
∴不符合题意，舍去
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴
答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品．
（2）解：甲乙合作每天加工数量为（件）
所需时间为（天）
∵不满1天按1天计算，
∴ 至少需要18天
答：至少需要18天．
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