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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§2.3一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）设，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A． B．
C． D．
解：对于一元二次方程，若两根为，则，．
∵一元二次方程为，
∴，，，
∴，，
则A对应正确结论．故选:A
2．（本题3分）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
解：设矩形两条邻边长分别为，，
，是方程的两个根，
由根与系数的关系得．
矩形的周长为．故选:C
3．（本题3分）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解:对于一元二次方程 ，
若方程两根为 ，
则两根之和 ，
∵ 原方程为 ，
∴ ，，
∴ ．故选:A
4．（本题3分）若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵方程中，，，，
∴，，
∴．故选:D
5．（本题3分）一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为
解：对于一元二次方程 ，可得 ，，，
计算根的判别式：
，
∴方程有两个不相等的实数根，选项A，B错误；
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和 ，∴选项D错误；
两根之积 ，∴选项C正确．故选:C
6．（本题3分）如果，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．3
解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴．故选:C
7．（本题3分）若是关于x的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
解：设该方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系，得，
解得，
即该方程的另一个根为故选:B
8．（本题3分）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B．11 C．1 D．
解：∵，是一元二次方程的两个根，，，，
∴，，
∴．故选:D
二、填空题（每小题3分 共15分）
9．（本题3分）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______．
解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为，
∵ 其中一个根为，
∴ ，解得 ，即另一个根为．
10．（本题3分）已知，是方程的两个实数根，则=________．
解：∵，是方程的两个实数根，
∴ ．
11．（本题3分）一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______．
解：设该一元二次方程为，
由题意可知，方程的两个根分别为，，
根据根与系数的关系，得，
代入得，
解得，
∴这个方程的常数项是6．
12．（本题3分）若是一元二次方程的两实数根，则的值是________．
解：对于方程可得 ，
∴．
13．（本题3分）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____．
解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴，
则原式
．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∴，
解得，，
由（1）可知：，
∴．
15．（本题8分）关于的一元二次方程的两个实数根分别为．
(1)求的取值范围；
(2)若，求和的值．
（1）解：∵的两个实数根分别为，
，
即，
；
（2）解：把代入方程得：，
，
由一元二次方程根与系数的关系得：，
，
．
16．（本题8分）已知一元二次方程有两个实数根，．
(1)求的取值范围．
(2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
（1）解：∵一元二次方程有两个实数根、，
∴
∴
∴；
（2）解：存在．
∵一元二次方程有两个根，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴．
17．（本题8分）已知关于的方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值．
（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
即，
解得；
（2）解：∵与是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴
解方程
得．
18．（本题9分），是方程的两个根，请计算下列式子的值．
(1)与的值是多少？
(2)值是多少？
（1）解：对于，其中，，
，
；
（2）解：．
19．（本题10分）已知关于的方程．
(1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解；
(2)当该方程是一元二次方程时，
①求证：该方程有两个不相等的实数根；
②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示）
（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程，
把代入，得，
解得，
∴该方程的解为；
(2)①证明：由题可得，，，，，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根；
②解：∵和是该方程的两个解，
∴，，
∴，
所以．
20．（本题12分）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点：
知识点一：根的判别式；
知识点二：求根公式；
知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则．
根据以上知识点完成下列问题：
(1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个实数根为，
①计算 ， ；
②求的值；
(3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值．
（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
判别式，
解得：，
的取值范围为；
（2）解：①根据题意得：方程，
由根与系数的关系得：，，
②
；
（3）解：方程有两个实数根，
判别式，
解得：，
由根与系数的关系得：、，
，
，
，
整理得：，
解得：或，
，
．
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§2.3一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题（每小题3分 共24分）
1．（本题3分）设，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
3．（本题3分）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为
6．（本题3分）如果，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．3
7．（本题3分）若是关于x的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（本题3分）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B．11 C．1 D．
二、填空题（每小题3分 共15分）
9．（本题3分）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______．
10．（本题3分）已知，是方程的两个实数根，则=________．
11．（本题3分）一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______．
12．（本题3分）若是一元二次方程的两实数根，则的值是________．
13．（本题3分）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
15．（本题8分）关于的一元二次方程的两个实数根分别为．
(1)求的取值范围；
(2)若，求和的值．
16．（本题8分）已知一元二次方程有两个实数根，．
(1)求的取值范围．
(2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
17．（本题8分）已知关于的方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值．
18．（本题9分），是方程的两个根，请计算下列式子的值．
(1)与的值是多少？
(2)值是多少？
19．（本题10分）已知关于的方程．
(1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解；
(2)当该方程是一元二次方程时，
①求证：该方程有两个不相等的实数根；
②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示）
20．（本题12分）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点：
知识点一：根的判别式；
知识点二：求根公式；
知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则．
根据以上知识点完成下列问题：
(1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个实数根为，
①计算 ， ；
②求的值；
(3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值．
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