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(共56张PPT)
第六章
数列
第29讲　数列的概念与简单表示
知识梳理　体系构建
【解析】
D
2．(教材经典题改编)(多选)根据如图所示的图形的规律及相对应的点数，下列说法正确的是 (　　)
A．第五个图形对应的点数为20
B．第五个图形对应的点数为21
C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4
D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－3
【解析】
　　　　设第n个图形对应的点数为an(n∈N*).因为a1＝1，a2＝1＋5，a3＝1＋2×5，a4＝1＋3×5，所以该数列的第5项为a5＝1＋4×5＝21，数列{an}的一个通项公式为an＝1＋5(n－1)＝5n－4.
BC
【解析】
ABC
4．(教材经典题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则{an}的通项公式为______________．
【解析】
　　　　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2(n－1)2＝－4n＋2；当n＝1时，a1＝S1＝－2，满足an＝－4n＋2，故{an}的通项公式为an＝－4n＋2.
an＝－4n＋2
【解析】
1．数列的有关概念
序号n
2．数列与函数的关系
(1) 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是________，对应的函数值是________________，记为an＝f(n).
(2) 当an＋1>an时，称{an}为递增数列；
当an＋1序号n
数列的第n项an
题型突破　能力进阶
目标
1
数列中的项与通项公式
　　　(1) 已知数列1，－3，5，－7，9，…，则该数列的第99项为 (　　)
A．－197　　　　B．197　　　　C．－199　　　　D．199
1
【解析】
　　　　通过观察，该数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1(2n－1)，所以a99＝
(－1)99+1(2×99－1)＝197.
B
　　　(2) 数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是an＝ (　　)
【解析】
1
C
已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
(1) 负号用(－1)n或(－1)n+1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．
(2) 分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．
(3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．
【解析】
D
7
目标
2
由an与Sn的关系求通项
　　　(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，则a8＋a9＋a10＝_____．
2
【解析】
　　　　由题可知，a8＋a9＋a10＝S10－S7＝100－49＝51.
51
(2) 已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，则{an}的通项公式为_____.
【解析】
【解析】
2
Sn与an的关系问题转化的两个方向：
(1) 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
(2) 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【解析】
an＝2n
目标
3
数列的函数性质
视角1　单调性与最值
【解析】
3－1
D
【解析】
3－1
an＝n＋1(n∈N*)
8和9
变式3-1　(1) 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为 (　　)
A．(－3，＋∞)　　　　　　　　B．(－2，＋∞)
C．[－2，＋∞)　　　　　　　　D．[－3，＋∞)
【解析】
　　　　由题意可得an＋1－an>0恒成立，即(n＋1)2＋b(n＋1)－n2－bn＝2n＋1＋b>0，即b>－2n－1.又n≥1，所以－2n－1≤－3，故b∈(－3，＋∞).
A
【解析】
视角2　周期性
【解析】
　　　　由a5＝1，得a4＝2，a3＝4，a2＝1，a1＝2或a2＝8，a1＝16.若a1＝2，a2＝1，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝4，…，则数列{an}是周期数列，其周期为3，因此
S2 025＝675×(2＋1＋4)＝4 725；
若a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝4，…，则数列{an}去掉前3项后是周期数列，其周期为3，因此S2 025＝674×(2＋1＋4)＋(16＋8＋4)＝4 746.综上，S2 025＝
4 725或4 746.
3－2
4 725或4 746
解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【解析】
60
【解析】
C
2．(2025·武汉4月调研)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为 (　　)
A．－9　　　　　B．－7　　　　C．－3　　　　D．－19
【解析】
　　　　令an＝2n－11<0，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，所以数列{an}的前3项为负，从第4项起为正，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝
－19.
D
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n－11，且a1＝10，则an的最小值是 (　　)
A．－15　　　　B．－14　　　　C．－11　　　　D．－6
【解析】
　　　　因为an＋1－an＝2n－11，所以当n≤5时，an＋1－an<0，当n>5时，an＋1－an>0，所以a1>a2>a3>a4>a5>a6又an＋1－an＝2n－11，所以a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝10＋(－9)＋(－7)＋(－5)＋(－3)＋(－1)＝－15，即an的最小值是－15.
A
4．(2025·滁州一模改)已知数列{an}的第1项和第2项均为1，以后各项由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)给出．若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn}，则b2 026＋b2 027＝ (　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】
　　　　因为an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，a1＝a2＝1，所以数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，此数列各项除以3的余数依次构成的数列{bn}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，{bn}是以8为周期的周期数列，所以b2 026＋b2 027＝1＋2＝3.
C
配套精练
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
C
【解析】
BC
6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图(1)所示的分形规律，可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，白圈的个数为bn，则下列结论正确的是 (　　)
A．a4＝8　　　　B．b5＝13　　　　C．an＋1＝2an＋bn　　　　D．bn＋1＝2an－bn
图(1)
图(2)
【解析】
　　　　由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈两个黑圈，所以an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋bn，故C正确，D错误；
又因为a1＝0，b1＝1，所以a2＝1，b2＝1，a3＝2×1＋1＝3，b3＝1＋1＝2，a4＝2×3＋2＝8，b4＝3＋2＝5，a5＝2×8＋5＝21，b5＝8＋5＝13，故A，B正确．
【答案】ABC
【解析】
要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误．
因为当n≤4时，an<0，当n≥5时，an>0，所以当n＝4时，Sn取得最小值，故D正确．
【答案】ABD
【解析】
9．(2025·岳阳质检)已知数列{an}满足4n-1a1＋4n-2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，则an＝________．
【解析】
4－3n
【解析】
【答案】(－∞，－5]∪[1，＋∞)
【解答】
【解答】
　　　　若a6＝4，则a5＝8或a5＝1.当a5＝8时，a4＝16，则a3＝32或a3＝5.当a3＝32时，a2＝64；当a3＝5时，a2＝10.当a2＝64时，a1＝128或a1＝21；当a2＝10时，a1＝20或a1＝3.当a5＝1时，a4＝2，a3＝4，a2＝8或a2＝1.当a2＝8时，a1＝16；当a2＝1时，a1＝2.综上，a1可取值的集合为{2，3，16，20，21，128}．
12．(2026·临沂期中节选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝6×5n.
(1) 证明：数列{an－5n}是等比数列；
【解答】
12．(2026·临沂期中节选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝6×5n.
【解答】
【解析】
【答案】C
【解答】
(1) 求A；
【解答】
【解答】
(3) 已知∠ACB的平分线交AB于点D，且BD＝2AD，求sin ∠ACB.第六章　数　　列
第29讲　数列的概念与简单表示
激活思维
1．(教材经典题改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
2．(教材经典题改编)(多选)根据如图所示的图形的规律及相对应的点数，下列说法正确的是(　　)
(第2题)
A．第五个图形对应的点数为20
B．第五个图形对应的点数为21
C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4
D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－3
3．(教材经典题改编)(多选)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　　)
A．数列{an}的首项为a1＝　　　　
B．数列{an}的通项公式为an＝
C．数列{an}为递减数列　　　　
D．数列{an}为递增数列
4．(教材经典题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则{an}的通项公式为____．
5．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则an的最小值为____．
聚焦知识
1．数列的有关概念
名称 概念
通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的____之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an} 的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.常见用法还有：an＝
2．数列与函数的关系
(1) 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是____，对应的函数值是____，记为an＝f(n).
(2) 当an＋1>an时，称{an}为递增数列；
当an＋1题型突破　能力进阶
举题说法
数列中的项与通项公式
例1　(1) 已知数列1，－3，5，－7，9，…，则该数列的第99项为(　　)
A．－197 B．197
C．－199 D．199
(2) 数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是an＝(　　)
A．(10n－1) B．(10n－1)
C． D．(10n－1)
已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
(1) 负号用(－1)n或(－1)n+1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．
(2) 分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．
(3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．
变式1　(1) 数列，－，，－，…的一个通项公式为an＝(　　)
A．(－1)n B．(－1)n-1
C．(－1)n D．(－1)n-1
(2) 设数列，，2，，…，则2是这个数列的第____项．
由an与Sn的关系求通项
例2　(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，则a8＋a9＋a10＝____．
(2) 已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，则{an}的通项公式为____．
(3) 已知数列{an}的首项为1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn＝＋1，则数列{an}的通项公式为____．
Sn与an的关系问题转化的两个方向：
(1) 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
(2) 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
变式2　设各项都不为0的数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝2·an，a1＝2，则数列{an}的通项公式为____．
数列的函数性质
视角1　单调性与最值
例 3-1　(1) 已知数列{cn}满足cn＝n∈N*，若数列{cn}为递增数列，则实数a的取值范围为(　　)
A．[2，3) B．(1，3)
C．(1，2) D．(2，3)
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝，则数列{an}的通项公式为____；若bn＝·an，则数列{bn}的最大项为第____项．
解决数列单调性问题的方法：(1) 作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列；(2) 作商比较法，根据与1的大小判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列．
变式 3-1　(1) 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－3，＋∞)　　　　 B．(－2，＋∞)
C．[－2，＋∞)　　　　 D．[－3，＋∞)
(2) 设bn＝·(2n－1)，则数列{bn}的最大项的值为____．
视角2　周期性
例 3-2　(2025·徐州2月调研)(教材经典：冰雹猜想)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a5＝1，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 025＝____.
解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
变式 3-2　(2025·南昌信息卷)已知数列{an}的各项均为正数，an＋1＝则{an}的前40项和的最小值为____．
随堂内化
1．数列0，，，，，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝　　　　 B．an＝
C．an＝　　　　 D．an＝
2．(2025·武汉4月调研)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为(　　)
A．－9　 B．－7
C．－3 D．－19
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n－11，且a1＝10，则an的最小值是(　　)
A．－15 B．－14
C．－11 D．－6
4．(2025·滁州一模改)已知数列{an}的第1项和第2项均为1，以后各项由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)给出．若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn}，则b2 026＋b2 027＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．若数列{an}的前6项为1，－，，－，，－，则数列{an}的通项公式可以为an＝(　　)
A． B．
C．(－1)n· D．(－1)n+1·
2．(2026·保定期中)已知数列{an}中，a1＝－2，a＝an＋1＋7，则a2 027＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
3．已知数列{an}满足anan＋1＝2an＋1－an－1，且a1＝3，则a2 026＝(　　)
A． B．－4
C． D．
4．(2025·马鞍山一模)已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
二、 多项选择题
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝0，an＋1＋2Sn＝n，则(　　)
A．a2＝－1 B．a5＝0
C．an＋an＋1＝1 D．Sn＝
6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图(1)所示的分形规律，可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，白圈的个数为bn，则下列结论正确的是(　　)
图(1) 图(2)
(第6题)
A．a4＝8 B．b5＝13
C．an＋1＝2an＋bn D．bn＋1＝2an－bn
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　)
A．数列{an}有最小项，且有最大项　　　　
B．使an∈Z的项共有5项
C．满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个　　　　
D．使Sn取得最小值的n为4
三、 填空题
8．(2025·张家口二模)已知数列{an}不是递增数列，且an＝则实数k的取值范围为____．
9．(2025·岳阳质检)已知数列{an}满足4n-1a1＋4n-2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，则an＝__．
10．已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋2＝3logan(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn，若cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，则实数m的取值范围为____．
四、 解答题
11．(2025·汕头一模)已知数列{an}满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝
(1) 设数列{an}的前n项和为Sn，当m＝1 024时，求S12；
(2) 若a6＝4，求m所有可能的取值集合M.
12．(2026·临沂期中节选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝6×5n.
(1) 证明：数列{an－5n}是等比数列；
(2) 令bn＝，求数列{bn}的最大项．
B组　滚动小练
13．(2026·无锡期中)在四边形ABCD中，＝λ，＝(1，－)，＝(4，2).若四边形ABCD的面积为12，则实数λ的值为(　C　)
A．3 B．
C． D．
14．(2026·邯郸期中)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c>a>b，2sin B＝.
(第14题)
(1) 求A；
(2) 若a＝b，c＝2，求△ABC的面积；
(3) 已知∠ACB的平分线交AB于点D，且BD＝2AD，求sin ∠ACB.第六章　数　　列
第29讲　数列的概念与简单表示
激活思维
1．(教材经典题改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　D　)
A．　 B．　
C．　 D．
【解析】 a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
2．(教材经典题改编)(多选)根据如图所示的图形的规律及相对应的点数，下列说法正确的是(　BC　)
(第2题)
A．第五个图形对应的点数为20
B．第五个图形对应的点数为21
C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4
D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－3
【解析】 设第n个图形对应的点数为an(n∈N*).因为a1＝1，a2＝1＋5，a3＝1＋2×5，a4＝1＋3×5，所以该数列的第5项为a5＝1＋4×5＝21，数列{an}的一个通项公式为an＝1＋5(n－1)＝5n－4.
3．(教材经典题改编)(多选)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　ABC　)
A．数列{an}的首项为a1＝　　　　
B．数列{an}的通项公式为an＝
C．数列{an}为递减数列　　　　
D．数列{an}为递增数列
【解析】 由a1＝S1＝，知A正确；当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，当n＝1时，也满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝，可知B，C正确，D错误．
4．(教材经典题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则{an}的通项公式为__an＝－4n＋2__．
【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2(n－1)2＝－4n＋2；当n＝1时，a1＝S1＝－2，满足an＝－4n＋2，故{an}的通项公式为an＝－4n＋2.
5．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则an的最小值为____．
【解析】 由题意得an＝＝1－.因为n为正整数，所以2n≥2，0<≤，1－≥，所以an≥.
聚焦知识
1．数列的有关概念
名称 概念
通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的__序号n__之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an} 的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.常见用法还有：an＝
2．数列与函数的关系
(1) 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是__序号n__，对应的函数值是__数列的第n项an__，记为an＝f(n).
(2) 当an＋1>an时，称{an}为递增数列；
当an＋1题型突破　能力进阶
举题说法
数列中的项与通项公式
例1　(1) 已知数列1，－3，5，－7，9，…，则该数列的第99项为(　B　)
A．－197 B．197
C．－199 D．199
【解析】 通过观察，该数列的一个通项公式为an＝(－1)n+1(2n－1)，所以a99＝(－1)99+1(2×99－1)＝197.
(2) 数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是an＝(　C　)
A．(10n－1) B．(10n－1)
C． D．(10n－1)
【解析】 数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式是bn＝10n－1，则数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的一个通项公式是cn＝×(10n－1)＝1－，则数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是an＝.
已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
(1) 负号用(－1)n或(－1)n+1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．
(2) 分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．
(3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．
变式1　(1) 数列，－，，－，…的一个通项公式为an＝(　D　)
A．(－1)n B．(－1)n-1
C．(－1)n D．(－1)n-1
(2) 设数列，，2，，…，则2是这个数列的第__7__项．
【解析】 由题知，数列的一个通项公式为an＝，令＝2，解得n＝7.
由an与Sn的关系求通项
例2　(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，则a8＋a9＋a10＝__51__．
【解析】 由题可知，a8＋a9＋a10＝S10－S7＝100－49＝51.
(2) 已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，则{an}的通项公式为__an＝__．
【解析】 当n＝1时，有2a1＝1×21，所以a1＝1，当n≥2时，由2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，得2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n-1an－1＝(n－1)·2n-1，两式相减得2nan＝n·2n－(n－1)2n-1＝(n＋1)·2n-1，此时an＝，a1＝1也满足上式，所以{an}的通项公式为an＝.
(3) 已知数列{an}的首项为1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn＝＋1，则数列{an}的通项公式为__an＝__．
【解析】 在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，Sn＝＋1，即S＝an(Sn－1)，所以S＝(Sn－Sn－1)·(Sn－1)，化简得－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝n，解得Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－.因为a1＝1不满足上式，所以an＝
Sn与an的关系问题转化的两个方向：
(1) 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
(2) 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
变式2　设各项都不为0的数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝2·an，a1＝2，则数列{an}的通项公式为__an＝2n__．
【解析】 因为Tn＝2·an，所以当n≥2时，Tn－1＝2·an－1，两式相除可得an＝.因为an≠0，所以an－1＝2n-1.又a1＝2，所以an＝2n.
数列的函数性质
视角1　单调性与最值
例 3-1　(1) 已知数列{cn}满足cn＝n∈N*，若数列{cn}为递增数列，则实数a的取值范围为(　D　)
A．[2，3) B．(1，3)
C．(1，2) D．(2，3)
【解析】 因为{cn}为递增数列，所以解得2(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝，则数列{an}的通项公式为__an＝n＋1(n∈N*)__；若bn＝·an，则数列{bn}的最大项为第__8和9__项．
【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n＋1，所以an＝n＋1(n≥2).当n＝1时，a1＝S1＝2也满足上式，所以an＝n＋1(n∈N*).bn＝n-1·(n＋1)，当n≥2时，bn－1＝nn-2，所以＝，令＝1，得n＝9，当n<9时，>1，即bn>bn－1；当n＝9时，＝1，即bn＝bn－1；当n>9时，<1，即bn解决数列单调性问题的方法：(1) 作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列；(2) 作商比较法，根据与1的大小判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列．
变式 3-1　(1) 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为(　A　)
A．(－3，＋∞)　　　　 B．(－2，＋∞)
C．[－2，＋∞)　　　　 D．[－3，＋∞)
【解析】 由题意可得an＋1－an>0恒成立，即(n＋1)2＋b(n＋1)－n2－bn＝2n＋1＋b>0，即b>－2n－1.又n≥1，所以－2n－1≤－3，故b∈(－3，＋∞).
(2) 设bn＝·(2n－1)，则数列{bn}的最大项的值为__15×9__．
【解析】 bn＋1－bn＝(2n＋1)·n+2－(2n－1)·n+1＝n+1，当n≤7时，bn＋1>bn；当n≥8时，bn＋1b9>…>bn>…，故数列{bn}的最大项为b8，且b8＝15×9.
视角2　周期性
例 3-2　(2025·徐州2月调研)(教材经典：冰雹猜想)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a5＝1，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 025＝__4_725或4_746__.
【解析】 由a5＝1，得a4＝2，a3＝4，a2＝1，a1＝2或a2＝8，a1＝16.若a1＝2，a2＝1，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝4，…，则数列{an}是周期数列，其周期为3，因此S2 025＝675×(2＋1＋4)＝4 725；若a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝4，…，则数列{an}去掉前3项后是周期数列，其周期为3，因此S2 025＝674×(2＋1＋4)＋(16＋8＋4)＝4 746.综上，S2 025＝4 725或4 746.
解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
变式 3-2　(2025·南昌信息卷)已知数列{an}的各项均为正数，an＋1＝则{an}的前40项和的最小值为__60__．
【解析】 令a1＝m>0，则a2＝，a3＝，a4＝，a5＝m，…，所以{an}是周期为4的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝＋≥2＝6，当且仅当m＝2时取等号，则{an}的前40项和为10(a1＋a2＋a3＋a4)≥60.所以S40的最小值为60.
随堂内化
1．数列0，，，，，…的一个通项公式是(　C　)
A．an＝　　　　 B．an＝
C．an＝　　　　 D．an＝
【解析】 已知数列可化为0，，，，，…，故此数列的一个通项公式为an＝.
2．(2025·武汉4月调研)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为(　D　)
A．－9　 B．－7
C．－3 D．－19
【解析】 令an＝2n－11<0，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，所以数列{an}的前3项为负，从第4项起为正，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19.
3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n－11，且a1＝10，则an的最小值是(　A　)
A．－15 B．－14
C．－11 D．－6
【解析】 因为an＋1－an＝2n－11，所以当n≤5时，an＋1－an<0，当n>5时，an＋1－an>0，所以a1>a2>a3>a4>a5>a64．(2025·滁州一模改)已知数列{an}的第1项和第2项均为1，以后各项由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)给出．若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn}，则b2 026＋b2 027＝(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因为an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，a1＝a2＝1，所以数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，此数列各项除以3的余数依次构成的数列{bn}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，{bn}是以8为周期的周期数列，所以b2 026＋b2 027＝1＋2＝3.
配套精练
A组　夯基精练
一、 单项选择题
1．若数列{an}的前6项为1，－，，－，，－，则数列{an}的通项公式可以为an＝(　D　)
A． B．
C．(－1)n· D．(－1)n+1·
【解析】 通过观察数列{an}的前6项，可以发现有如下规律：奇数项为正，偶数项为负，故用(－1)n+1表示各项的正负；各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故第n项的绝对值是，所以an＝(－1)n+1·.
2．(2026·保定期中)已知数列{an}中，a1＝－2，a＝an＋1＋7，则a2 027＝(　C　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
【解析】 因为a1＝－2，an＋1＝a－7，所以a2＝a－7＝4－7＝－3，a3＝a－7＝9－7＝2，a4＝a－7＝4－7＝－3，a5＝a－7＝9－7＝2，…，所以数列{an}从第2项起，偶数项均为－3，奇数项均为2，则a2 027＝2.
3．已知数列{an}满足anan＋1＝2an＋1－an－1，且a1＝3，则a2 026＝(　A　)
A． B．－4
C． D．
【解析】 由题意可知3a2＝2a2－3－1 a2＝－4，同理a3＝－，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝3，a8＝－4，…，故{an}是以6为周期的数列，所以a2 026＝a6×337＋4＝a4＝.
4．(2025·马鞍山一模)已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为(　C　)
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 令an＝≥0，解得n≤3或n>.当n≤3时，an≥0，故当n＝1，2时，Sn递增，且S3＝S2；当4≤n≤8时，an<0，故当n＝4，5，6，7，8时，Sn递减；当n≥9时，an>0，Sn递增．又a1＝，a2＝，a3＝0，a4＝－，…，a8＝－5，所以S8二、 多项选择题
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝0，an＋1＋2Sn＝n，则(　BC　)
A．a2＝－1 B．a5＝0
C．an＋an＋1＝1 D．Sn＝
【解析】 由题意知2Sn＝－an＋1＋n，则当n≥2时，2Sn－1＝－an＋n－1，两式相减可得2(Sn－Sn－1)＝an－an＋1＋1，即an＋an＋1＝1.当n＝1时，2S1＝－a2＋1，因为S1＝a1＝0，所以a2＝1，S1＝0≠，所以a3＝1－a2＝0，a4＝1－a3＝1，a5＝1－a4＝0.
6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图(1)所示的分形规律，可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，白圈的个数为bn，则下列结论正确的是(　ABC　)
图(1) 图(2)
(第6题)
A．a4＝8 B．b5＝13
C．an＋1＝2an＋bn D．bn＋1＝2an－bn
【解析】 由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈两个黑圈，所以an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋bn，故C正确，D错误；又因为a1＝0，b1＝1，所以a2＝1，b2＝1，a3＝2×1＋1＝3，b3＝1＋1＝2，a4＝2×3＋2＝8，b4＝3＋2＝5，a5＝2×8＋5＝21，b5＝8＋5＝13，故A，B正确．
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．数列{an}有最小项，且有最大项　　　　
B．使an∈Z的项共有5项
C．满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个　　　　
D．使Sn取得最小值的n为4
【解析】 因为an＝(n∈N*)，所以an＋1－an＝－＝.令an＋1－an>0，即(2n－7)·(2n－9)<0，解得0，则当1≤n≤3或n≥5时，an＋1－an<0.令an＝>0，解得n>，所以a1＝－>a2＝－>a3＝－3>a4＝－9，a5>a6>a7>…>0，所以数列{an}有最小项a4＝－9，且有最大项a5＝9，故A正确．由an∈Z，知∈Z，又n∈N*，所以n＝3或n＝4或n＝5或n＝6或n＝9，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确．要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误．因为当n≤4时，an<0，当n≥5时，an>0，所以当n＝4时，Sn取得最小值，故D正确．
三、 填空题
8．(2025·张家口二模)已知数列{an}不是递增数列，且an＝则实数k的取值范围为____．
【解析】 因为{an}不是递增数列，所以k≤0或解得k≤，所以k的取值范围为.
9．(2025·岳阳质检)已知数列{an}满足4n-1a1＋4n-2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，则an＝__4－3n__．
【解析】 由4n-1a1＋4n-2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，可得＋＋…＋＝(n∈N*)，所以＋＋…＋＝(n∈N*，n≥2)，两式相减得＝－＝＝(n∈N*，n≥2)，所以an＝4－3n(n∈N*，n≥2).当n＝1时，41-1a1＝1，所以a1＝1也适合上式，所以an＝4－3n.
10．已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋2＝3logan(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn，若cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，则实数m的取值范围为__(－∞，－5]∪[1，＋∞)__．
【解析】 由题意知an＝n，n∈N*.因为bn＋2＝3logan(n∈N*)，所以bn＝3logan－2＝3n－2.因为cn＋1－cn＝(3n＋1)×n+1－(3n－2)×n＝9(1－n)×n+1，n∈N*.所以当n＝1时，c2＝c1＝.当n≥2时，cn＋1c3>c4>…>cn.所以当n＝1或2时，cn取最大值.又cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，所以m2＋m－1≥，即m2＋4m－5≥0，解得m≥1或m≤－5.
四、 解答题
11．(2025·汕头一模)已知数列{an}满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝
(1) 设数列{an}的前n项和为Sn，当m＝1 024时，求S12；
【解答】 当m＝1 024时，a1＝210，所以a2＝29，a3＝28，…，a10＝2，a11＝20，而a12＝3×1＋1＝4，所以S12＝(20＋21＋…＋210)＋4＝＋4＝211＋3＝2 051.
(2) 若a6＝4，求m所有可能的取值集合M.
【解答】 若a6＝4，则a5＝8或a5＝1.当a5＝8时，a4＝16，则a3＝32或a3＝5.当a3＝32时，a2＝64；当a3＝5时，a2＝10.当a2＝64时，a1＝128或a1＝21；当a2＝10时，a1＝20或a1＝3.当a5＝1时，a4＝2，a3＝4，a2＝8或a2＝1.当a2＝8时，a1＝16；当a2＝1时，a1＝2.综上，a1可取值的集合为{2，3，16，20，21，128}．
12．(2026·临沂期中节选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝6×5n.
(1) 证明：数列{an－5n}是等比数列；
【解答】 因为a1＝1，an＋an＋1＝6×5n，所以an＋1－5n+1＝5n－an＝－(an－5n)，所以＝－1，又a1－5＝－4，所以数列{an－5n}是以－4为首项，－1为公比的等比数列．
(2) 令bn＝，求数列{bn}的最大项．
【解答】 由(1)知an－5n＝－4·(－1)n-1＝4·(－1)n，所以an＝5n＋4·(－1)n，所以bn＝＝，则＝＝＝3.令＝f(n)＝，n∈N*，易得f(1)＝，f(2)＝，显然f(n)单调递减，所以当n≥2时，<1，即bn＋11，b2>b1，所以数列{bn}的最大项为b2＝.
B组　滚动小练
13．(2026·无锡期中)在四边形ABCD中，＝λ，＝(1，－)，＝(4，2).若四边形ABCD的面积为12，则实数λ的值为(　C　)
A．3 B．
C． D．
【解析】 因为＝λ，所以AB∥CD.由题知||＝＝，||＝＝2.因为·＝1×4＋(－)×2＝0，所以⊥，即AB⊥AD，则S△ABD＝××2＝3.又四边形ABCD的面积为12，所以S△BDC＝12－3＝9，所以×||×||＝×||×||＝××2＝9，所以λ＝.
14．(2026·邯郸期中)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c>a>b，2sin B＝.
(第14题)
(1) 求A；
【解答】 由题得2a sin B－b＝0，由正弦定理得2sin A sin B＝sin B．因为sin B≠0，所以sin A＝.又c>a，所以A∈，所以A＝.
(2) 若a＝b，c＝2，求△ABC的面积；
【解答】 因为2a sin B－b＝0，a＝b，所以sin B＝.又c>a>b，B∈，所以B＝，所以C＝.因为c＝2，所以a＝，b＝1，所以S△ABC＝ab＝.所以△ABC的面积为.
(3) 已知∠ACB的平分线交AB于点D，且BD＝2AD，求sin ∠ACB.
【解答】 设∠ACB＝2α，则∠ABC＝－2α，因为c>a>b，所以2α>.在△BDC中，由正弦定理可得＝.在△ADC中，由正弦定理可得＝.所以＝＝，所以sin ＝，cos ＝.所以sin ∠ACB＝sin 2α＝sin ＝cos ＋sin ＝×＋×＝.

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