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重构数列问题
公共项问题
例1　(1) 设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列{bn}，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 027，n∈N*}中元素的个数为(　C　)
A．167 B．168
C．169 D．170
【解析】 由题意可知，数列{an}为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…，数列{bn}为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，…，将两数列中的元素按从小到大进行排序，构成数列{cn}：5，17，29，…，易知数列{cn}是首项为5，公差为12的等差数列，则cn＝5＋12(n－1)＝12n－7.由cn＝12n－7≤2 027，可得n≤＝169＋，因此，集合A∩中元素的个数为169.
(2) 已知两个等比数列{an}，{bn}，其中ɑn＝·2n，bn＝6·4n，它们的公共项从小到大排成数列{cn}，则c20＝__3×241__．
【解析】 令am＝bn，则·2m＝6·4n，化简得2m-2＝22n+1，则m－2＝2n＋1，即m＝2n＋3，故a2n＋3＝·22n+3＝6·4n，与bn＝6·4n一致．因此，数列{cn}的通项公式为cn＝6·4n，从而c20＝6×420＝3×241.
(3) 将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝(　C　)
A．237 B．238
C．239 D．240
【解析】 数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…，经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n－1}中的项，即2，8，32，128，…可以写成3n－1的形式，观察归纳可得an＝22n-1，所以a20＝22×20-1＝239.
处理两个数列的公共项问题的两种方法
(1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式．
(2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
特别地，两个等差数列的公共项构成等差数列，公差是原来两个公差的最小公倍数；公比分别为qm1和qm2的两个等比数列，公共项构成等比数列，公比为qm(m为m1和m2的最小公倍数).
变式1　已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 因为3n2－29n－2Sn＝0，所以Sn＝n2－n.当n＝1时，a1＝－＝－13；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝3n－16.当n＝1时也满足an＝3n－16，故数列{an}的通项公式为an＝3n－16.
(2) 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】 设bm＝an，即2m＝3n－16，m，n∈N*.因为bm＝2m，所以bm＋1＝2m+1＝2·2m＝2(3n－16)＝6n－32＝3－16，由2n－ N*，可知bm＋1 {an}，即bm＋1不是两个数列的公共项．bm＋2＝2m+2＝22·2m＝4(3n－16)＝12n－64＝3(4n－16)－16，由4n－16∈N*，可知bm＋2∈{an}，所以bm＋2是两个数列的公共项，因此，若ck＝bm＝an，则ck＋1＝bm＋2＝a4n－16，所以＝＝＝4，且c1＝2，所以两数列的公共项所构成的新数列{cn}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以数列{cn}的前n项和Tn＝＝.
增减项问题
例2　(2025·杭州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 由an＋1＝2Sn＋3，得n≥2时，an＝2Sn－1＋3，两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2).又{an}是等比数列，所以q＝3.当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝3a1，解得a1＝3，所以an＝3n.
(2) 在数列{an}的相邻项ak与ak＋1(k∈N*)之间插入k个相同的数(－1)k，使其与原数列构成新数列{bn}，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T40.
【解答】 数列{bn}为3，－1，32，1，1，33，－1，－1，－1，34，…，可进行如下划分：3，(－1，32)，(1，1，33)，(－1，－1，－1，34)，…，得前n组的项数Xn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.当n＝8时，X8＝36，当n＝9时，X9＝45，所以T40＝3＋32＋33＋34＋…＋38＋(－1)×1＋1×2＋(－1)×3＋…＋1×6＋(－1)×7＋1×4＝＋3－7＋4＝×(38－1)＝9 840.
对于增加项或减少项数列问题，弄清插入(或减少)的项数及插入(或减少)的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法即可求解．
变式2　(2025·广州三模)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，等比数列{bn}的公比为q，由题意得即又a1＝b1＝1，d≠0，解得d＝1，q＝2，所以an＝1＋n－1＝n，bn＝1×2n-1＝2n-1.
(2) 令cn＝3an，去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*)，余下的项顺序不变，构成新数列{tn}，写出数列{tn}的前4项，并求{tn}的前2n项和S2n.
【解答】 由(1)得cn＝3an＝3n，去掉第3k项后，前4项依次为3，9，81，243，S2n＝t1＋t2＋t3＋…＋t2n＝c1＋c2＋c4＋c5＋…＋c3n－2＋c3n－1＝(c1＋c4＋…＋c3n－2)＋(c2＋c5＋…＋c3n－1)＝(31＋34＋…＋33n-2)＋(32＋35＋…＋33n-1)＝＋＝.综上，S2n＝.
计数数列
例3　(2025·天津二模节选)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，d∈N*，q∈N*，2a3＋a2＝b3，a3－a2＝b1，a1＝b1＋1.
(1) 求数列{an}与{bn}的通项公式及i；
【解答】 设an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn-1，d∈N*，q∈N*，由已知得d＝a3－a2＝b1，a1＝b1＋1，所以an＝a1＋(n－1)d＝b1＋1＋(n－1)b1＝nb1＋1，所以2a3＋a2＝2(3b1＋1)＋2b1＋1＝8b1＋3，b3＝b1q2，所以8b1＋3＝b1q2，b1＝d∈N* b1≥1>0，所以q2＝8＋.又因为d＝b1∈N*，q∈N*，所以b1＝3，所以q＝3，所以an＝3n＋1，bn＝3n，所以i＝ai＝×19＝19a18＝19×55＝1 045.
(2) 记{an}落在区间(bk，bk＋1)之内的项的个数为{ck}，k∈N*，求c1，c2及数列{ck}的通项公式．
【解答】 因为(b1，b2)＝(3，9)，a1＝4，a2＝7，所以c1＝2.因为(b2，b3)＝(9，27)，所以b2配套精练
1．已知数列{an}，{bn}满足an＝2n－1，bn＝3n－2，由这两个数列的公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为(　D　)
A．cn＝3n－2 B．cn＝4n－1
C．cn＝5n－3 D．cn＝6n－5
【解析】 因为数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，所以这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1，公差为6的等差数列，故cn＝1＋(n－1)×6＝6n－5.
2．(多选)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有(　ABD　)
A．an＝6n－5
B．当k＝2时，bn＝2n－1
C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项
D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6
【解析】 对于A，an＝1＋6(n－1)＝6n－5，故A正确；对于B，C，当k＝2时，{bn}的公差d1＝＝2，所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，则b19＝2×19－1＝37，令an＝6n－5＝37，解得n＝7，所以b19是数列{an}中的项，故B正确，C错误；对于D，当k＝6时，可知{bn}的公差d2＝，则b8＝1＋×7＝7，a2＝1＋6＝7，即b8＝a2，故D正确．
3．(2025·郑州一模)(多选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则(　ACD　)
A．a1＋a2＋a3＋a4＝26
B．b5＝10
C．a4D．c1＋c2＋…＋c10＝170
【解析】 对于A，因为an＋1＝2an＋1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，所以＝2，故数列{an＋1}为等比数列．又a1＋1＝2，所以an＝2n－1，则a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋7＋15＝26，故A正确．对于B，bn＝2log2(1＋2n－1)－1＝2n－1，则b5＝2×5－1＝9，故B错误．对于C，因为a4＝15，b15＝29，a5＝31，所以a44．(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则(　BC　)
A．an＝5n
B．an＝5n
C．{an}的前n项和
D．{an}的前n项和为
【解析】 令4n＋1＝5m(n，m∈N*)，所以n＝＝＝＝k(k∈N*)(m＝1，2，3，…)，所以数列{5m}为数列{4n＋1}的子数列，所以an＝5n(n＝1，2，3，…)，所以{an}的前n项和为＝.
5．(2025·湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则a5＝__14__，{an}的前202项和为__49 609__．
【解析】 {3n＋2}与{4n}的公共项为12n－4，去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，所以a5＝14，易知每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和：11＋12＋14＋16＋17＝70，23＋24＋26＋28＋29＝130，35＋36＋38＋40＋41＝190，…，以求得的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列．因为(202－2)÷5＝40，所以{an}的前202项和为4＋5＋40×70＋＝49 609.
6．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S－S＝8n，则Sn＝__2n－1__；若bn＝2Sn－1，从{Sn}中删去{bn}中的项，按照原来的顺序构成新的数列{cn}，则{cn}的前100项和T100＝__10 650__.
【解析】 依题意S＝a＝1，S－S＝8n，所以n≥2时，S＝S＋(S－S)＋(S－S)＋…＋(S－S)＝1＋8＋16＋…＋8(n－1)＝1＋(n－1)＝4n2－4n＋1＝(2n－1)2.由于an>0，Sn>0，所以Sn＝2n－1(n≥2)，又S1＝a1＝1也符合上式，故Sn＝2n－1.bn＝2Sn－1＝22n-1－1，b1＝1，b2＝7，b3＝31，b4＝127，b5＝511，{bn}是递增数列，又因为{Sn}中各项均为奇数，S104＝2×104－1＝207，而127<207<511，所以数列{Sn}的前104项中有数列{bn}的4项，即1，7，31，127，所以T100＝－(1＋7＋31＋127)＝10 650.
7．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*).
(1) 求{an}的通项公式；
【解答】 由an＋1＝Sn＋2(n∈N*)，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，则an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2).又a2＝S1＋2＝a1＋2＝4，满足an＋1＝2an，所以an＋1＝2an(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.
(2) 保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55.
【解答】 由题知b＝an＝2n，数列{bn}的其余项为1，则T55＝(b1＋b3＋b6＋b10＋b15＋b21＋b28＋b36＋b45＋b55)＋45×1＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10)＋45＝S10＋45＝＋45＝2 091.
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 在2Sn＝3an－3①中，令n＝1，得a1＝3.当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3②，①－②得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n.
(2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除掉属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.
【解答】 因为bn＝3n，所以数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}的前5项：3，9，27，81，243都在数列{bn}的前105项中，这5项的和为363，数列{bn}的前105项为3，6，9，…，它们的和为105×3＋105×52×3＝16 695.所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}的前105项和减去3，9，27，81，243的和，故T100＝16 695－363＝16 332.
9．(2025·襄阳模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列．给定k∈N*，记集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk.
(1) 求b1，b2的值；
【解答】 设数列{an}的公差为d，因为a1，a2，a5－1成等比数列，且a1＝1，所以a1(a5－1)＝a，即1×(1＋4d－1)＝(1＋d)2，即4d＝(1＋d)2，解得d＝1，所以an＝n.对于集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}，当k＝1时，{n|1≤n≤2，n∈N*}＝{1，2}，所以b1＝2；当k＝2时，{n|2≤n≤4，n∈N*}＝{2，3，4}，所以b2＝3.
(2) 求满足b1＋b2＋…＋bn>2 025的最小自然数n的值．
【解答】 由集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk，结合(1)可得bk＝2k－k＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－＋n＝2·(2n－1)－＋.当n＝10时，可得2×(210－1)－＋＝2 001<2 025；当n＝11时，可得2×(211－1)－＋＝4 039>2 025.因为Tn＋1－Tn＝2·(2n+1－1)－＋－＝2n+1－n>0，所以数列{Tn}为递增数列，可知n的最小值是11.(共31张PPT)
第六章
微专题7　重构数列问题
数列
视角
1
公共项问题
　　　(1) 设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列{bn}，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 027，n∈N*}中元素的个数为 (　　)
A．167　　　　B．168　　　　C．169　　　　D．170
1
【解析】
C
【解析】
1
3×241
　　　(3) 将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝
(　　)
A．237　　　　B．238　　　　C．239　　　　D．240
【解析】
　　　　数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…，经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n－1}中的项，即2，8，32，128，…可以写成3n－1的形式，观察归纳可得an＝22n-1，所以a20＝22×20-1＝239.
C
1
处理两个数列的公共项问题的两种方法
(1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式．
(2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
特别地，两个等差数列的公共项构成等差数列，公差是原来两个公差的最小公倍数；公比分别为qm1和qm2的两个等比数列，公共项构成等比数列，公比为qm(m为m1和m2的最小公倍数).
变式1　已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
变式1　(2) 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】
视角
2
增减项问题
　　　(2025·杭州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
2
【解答】
　　　　由an＋1＝2Sn＋3，得n≥2时，an＝2Sn－1＋3，两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2).又{an}是等比数列，所以q＝3.当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝3a1，解得a1＝3，所以an＝3n.
　　　(2025·杭州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3.
(2) 在数列{an}的相邻项ak与ak＋1(k∈N*)之间插入k个相同的数(－1)k，使其与原数列构成新数列{bn}，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T40.
【解答】
2
对于增加项或减少项数列问题，弄清插入(或减少)的项数及插入(或减少)的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法即可求解．
变式2　(2025·广州三模)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】
变式2　(2025·广州三模)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．
(2) 令cn＝3an，去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*)，余下的项顺序不变，构成新数列{tn}，写出数列{tn}的前4项，并求{tn}的前2n项和S2n.
【解答】
视角
3
计数数列
　　　(2025·天津二模节选)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，d∈N*，q∈N*，2a3＋a2＝b3，a3－a2＝b1，a1＝b1＋1.
3
【解答】
　　　(2025·天津二模节选)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，d∈N*，q∈N*，2a3＋a2＝b3，a3－a2＝b1，a1＝b1＋1.
(2) 记{an}落在区间(bk，bk＋1)之内的项的个数为{ck}，k∈N*，求c1，c2及数列{ck}的通项公式．
3
【解答】
　　　　因为(b1，b2)＝(3，9)，a1＝4，a2＝7，所以c1＝2.因为(b2，b3)＝(9，27)，所以b2因为(bk，bk＋1)＝(3k，3k+1)，所以bk配套精练
1．已知数列{an}，{bn}满足an＝2n－1，bn＝3n－2，由这两个数列的公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为 (　　)
A．cn＝3n－2　　　　B．cn＝4n－1　　　　C．cn＝5n－3　　　　D．cn＝6n－5
【解析】
　　　　因为数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，所以这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1，公差为6的等差数列，故cn＝1＋(n－1)×6＝6n－5.
D
2．(多选)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有 (　　)
A．an＝6n－5
B．当k＝2时，bn＝2n－1
C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项
D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6
【解析】
　　　　对于A，an＝1＋6(n－1)＝6n－5，故A正确；
【答案】ABD
3．(2025·郑州一模)(多选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则 (　　)
A．a1＋a2＋a3＋a4＝26 B．b5＝10
C．a4【解析】
对于B，bn＝2log2(1＋2n－1)－1＝2n－1，则b5＝2×5－1＝9，故B错误．
对于C，因为a4＝15，b15＝29，a5＝31，所以a4【答案】ACD
4．(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 (　　)
A．an＝5n B．an＝5n
【解析】
BC
5．(2025·湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则a5＝_____，{an}的前202项和为_________．
【解析】
14
49 609
【解析】
由于an>0，Sn>0，所以Sn＝2n－1(n≥2)，又S1＝a1＝1也符合上式，故Sn＝2n－1.bn＝2Sn－1＝22n-1－1，b1＝1，b2＝7，b3＝31，b4＝127，b5＝511，{bn}是递增数列，
【答案】2n－1　10 650
7．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*).
(1) 求{an}的通项公式；
【解答】
　　　　由an＋1＝Sn＋2(n∈N*)，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，则an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2).又a2＝S1＋2＝a1＋2＝4，满足an＋1＝2an，所以an＋1＝2an(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.
7．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*).
(2) 保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55.
【解答】
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
　　　　在2Sn＝3an－3①中，令n＝1，得a1＝3.当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3②，①－②得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n.
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3.
(2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除掉属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.
【解答】
　　　　因为bn＝3n，所以数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}的前5项：3，9，27，81，243都在数列{bn}的前105项中，这5项的和为363，数列{bn}的前105项为3，6，9，…，它们的和为105×3＋105×52×3＝16 695.
所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}的前105项和减去3，9，27，81，243的和，故T100＝16 695－363＝16 332.
9．(2025·襄阳模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列．给定k∈N*，记集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk.
(1) 求b1，b2的值；
【解答】
9．(2025·襄阳模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列．给定k∈N*，记集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk.
(2) 求满足b1＋b2＋…＋bn>2 025的最小自然数n的值．
【解答】重构数列问题
公共项问题
例1　(1) 设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列{bn}，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 027，n∈N*}中元素的个数为(　　)
A．167 B．168
C．169 D．170
(2) 已知两个等比数列{an}，{bn}，其中ɑn＝·2n，bn＝6·4n，它们的公共项从小到大排成数列{cn}，则c20＝____．
(3) 将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝(　　)
A．237 B．238
C．239 D．240
处理两个数列的公共项问题的两种方法
(1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式．
(2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
特别地，两个等差数列的公共项构成等差数列，公差是原来两个公差的最小公倍数；公比分别为qm1和qm2的两个等比数列，公共项构成等比数列，公比为qm(m为m1和m2的最小公倍数).
变式1　已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.
增减项问题
例2　(2025·杭州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 在数列{an}的相邻项ak与ak＋1(k∈N*)之间插入k个相同的数(－1)k，使其与原数列构成新数列{bn}，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T40.
对于增加项或减少项数列问题，弄清插入(或减少)的项数及插入(或减少)的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法即可求解．
变式2　(2025·广州三模)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 令cn＝3an，去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*)，余下的项顺序不变，构成新数列{tn}，写出数列{tn}的前4项，并求{tn}的前2n项和S2n.
计数数列
例3　(2025·天津二模节选)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，d∈N*，q∈N*，2a3＋a2＝b3，a3－a2＝b1，a1＝b1＋1.
(1) 求数列{an}与{bn}的通项公式及i；
(2) 记{an}落在区间(bk，bk＋1)之内的项的个数为{ck}，k∈N*，求c1，c2及数列{ck}的通项公式．
配套精练
1．已知数列{an}，{bn}满足an＝2n－1，bn＝3n－2，由这两个数列的公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为(　　)
A．cn＝3n－2 B．cn＝4n－1
C．cn＝5n－3 D．cn＝6n－5
2．(多选)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有(　　)
A．an＝6n－5
B．当k＝2时，bn＝2n－1
C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项
D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6
3．(2025·郑州一模)(多选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则(　　)
A．a1＋a2＋a3＋a4＝26
B．b5＝10
C．a4D．c1＋c2＋…＋c10＝170
4．(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则(　　)
A．an＝5n
B．an＝5n
C．{an}的前n项和
D．{an}的前n项和为
5．(2025·湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则a5＝____，{an}的前202项和为____．
6．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S－S＝8n，则Sn＝____；若bn＝2Sn－1，从{Sn}中删去{bn}中的项，按照原来的顺序构成新的数列{cn}，则{cn}的前100项和T100＝____.
7．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*).
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55.
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除掉属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.
9．(2025·襄阳模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列．给定k∈N*，记集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk.
(1) 求b1，b2的值；
(2) 求满足b1＋b2＋…＋bn>2 025的最小自然数n的值．

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