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2025-2026学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有两个事件，事件（1）在十字交叉路口，遇到红灯亮起；（2）掷一枚硬币，国徽面朝上.下列判断正确的是（　　）
A. （1）是随机事件，（2）是确定性事件 B. （1）（2）都是确定性事件
C. （1）是确定性事件，（2）是随机事件 D. （1）（2）都是随机事件
2.公元2026年是我国农历丙午年，属马年，春节期间，大小媒体会呈现大量以马为主题的文案，金马贺岁、马到成功！下列文字图案中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况是（　　）
A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
4.二次函数y=-（x-1）2+2的顶点坐标是（　　）
A. （1，-2） B. （1，2） C. （-1，2） D. （-1，-2）
5.在平面中，已知⊙O的半径为4cm,点P在⊙O内，则OP的长（　　）
A. 等于或大于4cm B. 大于4cm C. 小于4cm D. 等于4cm
6.某商品的价格为100元，连续两次降价x%后的价格为81元，则x为（　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 19
7.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE.若AE⊥BD，则∠CAD的度数是（　　）
A. 160° B. 150° C. 140° D. 130°
8.盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球.从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（　　）
A. B. C. D.
9.如图，等腰直角△ABC内接于半圆⊙O，D是上一点，沿弦AD翻折后与弦AC相交于点E.若E是的中点，则的值是（　　）
A. B. C. D.
10.小强同学用描点法画二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象.先取了自变量x的8个值x1，x2，...，x8，满足x1＜x2＜…＜x8，且相邻两数的差相等，然后计算出对应的函数值并列表如下.其中有一个函数值算错了.错误的是（　　）
x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
y 11.9 36.7 77.5 134.3 205.1 295.9 400.7 521.5
A. 295.9 B. 205.1 C. 134.3 D. 77.5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中,点P(-3,-5)关于y轴对称的点的坐标是________。
12.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 231 801
“射中9环以上”的频率
（结果保留小数点后两位） 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 （结果保留小数点后一位）．
13.报纸上刊登广告每平方厘米版面收取相同的广告费.李华要刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付180元的广告费，如果他要把版面的长宽都扩大为原来的3倍，则要付 元广告费.
14.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是 .
15.如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的三边上，若△ABC和△DEF的边长分别是6和4，则△ADF的周长是 ，△ADF的内切圆的半径是 .
16.抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）经过（-1，-2），（1，0），（m,0）三点，其中m≠1.下列结论：①b=1；②若抛物线与y轴的交点在正半轴，则-1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2+（b-1）x+c+1＞0的解集是-1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h,k），则k＞0或k≤-2；⑤抛物线y=ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜-1.其中正确的是 （填写序号）.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2+mx-8=0有一个根是x=4，求m的值及方程的另一个根.
18.(本小题8分)
如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABF，连接BD，EF，BD与EF相交于点M
(1) 小强同学猜想M是EF的中点，他过点E作EH∥BF交BD于点H，然后发现了证明这个结论的方法．请帮小强同学完成证明过程
(2) 若正方形的边长为6，CE=2DE，直接写出AM的长
19.(本小题8分)
如图，线段AB的长为1，点C在线段AB上，满足关系式AC2=BC AB
(1) 求线段AC的长度
(2) 点D在线段AC上，且AD2=CD AC．直接写出线段AD与AC的数量关系
20.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点M，AC⊥BD
(1) 求证：∠AOB+∠COD=180°
(2) 已知AB=8，CD=6．
①直接写出⊙O的半径的长；
②若BC=3，直接写出劣弧的中点到弦AD的距离
21.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的6×6的网格，正方形的顶点称为格点，图中B，M均为格点．点A，C在网格线上，⊙O是△ABC的外接圆．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条
(1) 在图（1）中，画△ABC的中线AD
(2) 在图（1）中，画线段AC关于点M对称的线段A1C1
(3) 在图（2）中，在边AC上画点N，使AB2=AN AC
(4) 在图（2）中，过点A画⊙O的切线
22.(本小题10分)
某商品的进价为每件40元，市场调查反映：商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．商场决定在不亏本的前提下降价销售
(1) 若每件商品降价x元销售，直接写出该商品每星期的销售利润y（单位：元）与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围
(2) 若每星期的销售利润为5720元，求该商品的实际售价
(3) 如何定价才能使销售利润最大？
23.(本小题10分)
问题背景
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，M是边AB上一点，N是四边形ABCD边上一点，∠AMN=∠BMC．
(1) 探究：如图（1），若N是边AD上一点，求证：
(2) 变式：如图（2），若N是边CD的中点，BC=2AD，求的值；
问题迁移
(3) 如图（3），在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠BCD=90°．点M在边AB上，∠AMD=∠BMC．若BC=5，，直接写出MC的长
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3经过点P（1，-4），与坐标轴分别交于A，B，C三点．直线y=kx与抛物线交于D，E两点
(1) 直接写出a的值和A，B两点的坐标
(2) 如图（1），直线x=m与直线DE相交于点F，与抛物线相交于点G，若k=-1，以O，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值
(3) 如图（2），点M在抛物线上，DM∥AB，直线ME，PE分别交y轴于点N，Q，当k（k≠-4）变化时，是否为定值，若是，求其值，若不是，请说明理由
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】（3，-5）
12.【答案】0.8
13.【答案】1620
14.【答案】180°
15.【答案】10

16.【答案】①②④⑤

17.【答案】m=-2，方程的另一个根为-2．
18.【答案】【小题1】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠ADC=∠ABC=90°，∠CDB=45°，
∵旋转，
∴AE=AF，DE=BF，∠EAF=90°，∠ABF=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠ABC=180°，
∴F，B，C三点共线，
∵EH∥BF，
∴∠EHM=∠FBM，∠DEH=∠DCB=90°，∠HEM=∠BFM，
∵∠CDB=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∴DE=HE，
∵DE=BF，
∴HE=BF，
又∵∠EHM=∠FBM，∠HEM=∠BFM，
∴△EHM≌△FBM（ASA），
∴EM=FM，
∴M是EF的中点
【小题2】∵正方形的边长为6，CE=2DE，
∴AD=CD=6，∠ADE=90°，
∵CE=2DE，
∴CE=4，DE=2，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
由（1）知：M是EF的中点，
∴

19.【答案】【小题1】设线段AC的长度为x,则BC=1-x,
∵AC2=BC AB，
∴x2=（1-x）×1，
x2+x-1=0，
，
解得， （不符合题意，舍去），
∴
【小题2】设线段AD的长度为x,则线段，
∵AD2=CD AC，
∴，
，
解得，x2=-1（不符合题意，舍去），
∴；
∴，
∴点D在线段AC上，且AD2=CD AC，则线段AD与AC的数量关系

20.【答案】【小题1】证明：∵AC⊥BD，
∴∠BMC=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∵∠AOB=2∠ACB，∠COD=2∠CBD，
∴∠AOB+∠COD=2（∠ACB+∠CBD）=2×90°=180°
【小题2】解：①⊙O的半径的长为5；理由如下：
如图1，AB=8，CD=6．延长BO交⊙O于点E，连接AE，
∵∠AOB+∠AOE=180°，∠AOB+∠COD=180°，
∴∠AOE=∠COD，
∴AE=CD=6，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：，
∴，
即⊙O的半径的长为5；
②劣弧的中点到弦AD的距离为．理由如下：
如图2，取劣弧的中点F，连接OF交AD于点H，
∵AC⊥BD，
∴∠AMB=∠BMC=∠CMD=∠AMD=90°，
在直角三角形ABM中，由勾股定理得：BM2+AM2=AB2=82=64，
在直角三角形CDM中，由勾股定理得：CM2+DM2=CD2=62=36，
在直角三角形BCM中，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2=32=9，
在直角三角形ADM中，由勾股定理得：AM2+DM2=AD2，
∴AD2=64+36-9=91，
解得：（负值已舍去），
∵点F是的中点，
∴OF⊥AD，
∴，∠AHO=90°，
由①得，OF=OA=OB=5，
在直角三角形AOH中，由勾股定理得：，
∴，
即劣弧的中点到弦AD的距离为

21.【答案】【小题1】如图（1），AD即为所求；
【小题2】如图（1），A1C1即为所求；
【小题3】如图（2），点N即为所求；
由作图可知：∠ABD=∠ACD，∠ACB=∠ACD，
∴∠ACB=∠ABN，
又∵∠BAC=∠BAN，
∴△ACB∽△ABN，
∴，
∴AB2=AC AN，
故点N即为所求
【小题4】如图（2）AT即为所求；
连接AO，BO，DO，
由（3）可知：∠ABD=∠ACB，
∴AB=AD，
∴AB=AD，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD，
由作图可知：四边形ANBT为平行四边形，
∴AT∥BD，
∴AO⊥AT，
∵AO为半径，
∴AT是⊙O的切线
22.【答案】【小题1】由题意，y=（300+20x）（60-40-x）=-20x2+100x+6000，
∴若每件商品降价x元销售，直接写出该商品每星期的销售利润y（单位：元）与x之间的函数关系式0≤x≤60-40，即0≤x≤20
【小题2】当y=-20x2+100x+6000=5720时，
解得x=7或x=-2（舍去），
60-7=53（元），
答：该商品的实际售价为53元
【小题3】∵y=-20x2+100x+6000，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当x=2.5，即实际售价为60-2.5=57.5元时，利润最大．
答：定价为每件57.5元时销售利润最大
23.【答案】【小题1】证明：∵∠A=∠B，∠AMN=∠BMC，
∴△AMN∽△BMC，
∴
【小题2】解：如图，过点D作MN∥DH，延长DH交CM于点G，
则∠AHD=∠AMN，
∵∠AMN=∠BMC，
∴∠AHD=∠BMC，
又∵∠A=∠B，
∴△AHD∽△BMC，
∴，
∴，
∵∠GHM=∠AHD=∠BMC=∠GMH，
∴GH=GM，
∵MN∥DH，
=，
∵N为CD中点，
∴CN=DN，
∴CM=GM，
∴M为CG中点，
∴GH=MC，
∴，
∴，
即
【小题3】解：如图，过点D作DN⊥AB，过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥PC，
在Rt△PBC中，BC=5，∠PBC=60°，
∴∠BCP=90°-∠PBC=30°，，，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCQ=90°-∠BCP=60°，
在Rt△DCQ中，，∠DCQ=60°，
∴，，
∵∠DNP=∠NPQ=∠PQD=90°，
∴四边形NPQD是矩形，
∴，，
∵∠MND=∠MPC=90°，∠AMD=∠BMC，
∴△MND∽△MPC，
∴，
设MP=a,则，
∴，
解得，
∴，
在Rt△MPC中，

24.【答案】【小题1】将P（1，-4）代入y=ax2-2ax-3，得，
-4=a-2a-3，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
将y=0代入y=x2-2x-3，得x2-2x-3=0，
解得x=-1或x=3，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）
【小题2】∵k=-1，
∴直线DE的解析式为y=-x,
由题意可知，点F的坐标为（m,-m），点G的坐标为（m,m2-2m-3），
∴FG=|m2-2m-3-（-m）|=|m2-m-3|，
将x=0代入y=x2-2x-3，得y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），OC=3，
∵以O，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形，
又∵OC∥FG，
∴OC=FG，
∴|m2-m-3|=3，即m2-m-3=±3；
①当m2-m-3=-3时，
化简，得m2-m=0，
解得m=0或1，
当m=0时，OC与FG重合，与题意不符，故舍去，
∴m=1；
②当m2-m-3=3时，
化简，得m2-m-6=0，
解得m=-2或3；
综上所述，m的值为-2或1或3
【小题3】设点D的坐标为（x1，kx1），点E的坐标为（x2，kx2），
抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线，
当直线DE与抛物线y=x2-2x-3相交时，
kx=x2-2x-3，
化简，得x2-（k+2）x-3=0，
由一元二次方程根与系数的关系可得，x1+x2=k+2，x1x2=-3，
∵DM∥AB，
∴点D与点M关于抛物线的对称轴对称，
∴点M的坐标为（2-x1，kx1），
设直线ME的解析式为y=k1x+b1，
将点M（2-x1，kx1），E（x2，kx2），代入y=k1x+b1，得：
，
解得，
∵x1+x2=k+2，x1x2=-3，
∴，
∴直线ME的解析式为y=（x2-x1）x-2x2-6，
将x=0代入y=（x2-x1）x-2x2+6，得y=-2x2-6，
∴点N的坐标为（0，-2x2-6），
∴ON=|-2x2-6|=|2x2+6|，
设直线PE的解析式为y=k2x+b2，
将P（1，-4），E（x2，kx2）代入y=k2x+b2，得：
，
解得，
∵x1+x2=k+2，即k=x1+x2-2，
∴，
∵x1x2=-3，
∴，
∴直线PE的解析式为，
将x=0代入，得y=-x2-3，
∴点Q的坐标为（0，-x2-3），
∴OQ=|-x2-3|=|x2+3|，
∴为定值

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