资源简介

第十八章 分式 单元测试2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．已知，则P还原的值等于（ ）
A． B． C．4000 D．400
2．若分式“”，可以进行约分化简，则“□“不可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．x
3．（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（ ）
A． B． C． D．
5．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
7．将的分母化为整数，得（　　　）
A． B．
C． D．
8．计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
9．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（）
A． B．
C． D．
10．已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（　　）
A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
11．分母中含有___________，叫做___________．
12．化简：______（结果化为最简形式）．
13．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg．
14．计算：_______．（结果中只含有正整数指数幂）
15．一个各个数位互不相等且均不为的四位数，满足．则满足题意的的最小值为_________．对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为_________．
三、解答题
16．我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为
解决下列问题：
(1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”；
(2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值.
17．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
(1)请你直接写出方程的正整数解___________．
(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________．
(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
18．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大．
证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)，
因为，显然当越小时，积越大．
所以当，即时，取最大值．
（1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）．
①，②，③，④；
（2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【实际应用】
洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的．
序号 第一次 第二次
用水量 污物残存量 用水量 污物残含量
1 5 15
2 8 12
3 10 10
4 11 9
5 14 6
小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）．
（3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由．
19．某种缨小蜂体长约为，质量只有约．
(1)用科学记数法表示上述两个数据；
(2)一个鸡蛋的质量大约是，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？
20．晨晨家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程：千米 续航里程：a千米
每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元
注：续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程．
(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 ．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程在什么范围时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D A A C D A A C
1．【答案】B
【知识点】还原用科学记数法表示的小数
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
2．【答案】B
【知识点】约分、分式乘法
【分析】本题主要考查分式的乘法，分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可．
【详解】解：A、分母为，分子有，可约分，结果为，故A不符合题意；
B、分母为，无法在整数范围内分解，无法与分子约分，故B符合题意；
C、分母为，分子有，可约分，结果为，故C不符合题意；
D、分母为，分子有，可约分，结果为，故D不符合题意．
故选：B．
3．【答案】D
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解．
【详解】解：
故选：D．
4．【答案】A
【知识点】判断分式变形是否正确、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意；
B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意；
D、，不是分式化简，故本选项不符合题意；
故选：A
5．【答案】A
【知识点】列分式方程、分式方程的经济问题
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“第二批数量与第一批数量一样多”这一等量关系，结合总价、单价、数量的关系列出方程．
【详解】解：∵设第一批柑橘单价为元，
∴第一批购进的数量为箱，
又∵第二批单价比第一批便宜4元，
∴第二批单价为元，购进的数量为箱，
∵第二批数量与第一批数量一样多，
∴可列方程，
故选A．
6．【答案】C
【知识点】分式的判断
【详解】解：A、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴A是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
B、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴B是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
C、∵选项中的分子、分母都是整式，分母含有字母，∴C是分式，故此选项符合题意；
D、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴D是整式，不是分式，故此选项不符合题意．
7．【答案】D
【知识点】求使分式变形成立的条件
【分析】根据分式的基本性质求解．　　
【详解】解：将的分母化为整数，可得．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
8．【答案】A
【知识点】整数指数幂的运算
【分析】根据整数指数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】解：原式=
故选：A．
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键
9．【答案】A
【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天．
【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件．
∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务，
∴．
故选：A．
10．【答案】C
【知识点】分式加减混合运算、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了分式的加减、求代数式的值，由得出即可判断①；由结合得出，代入计算即可判断②；由得出，结合即可判断③；由得出，结合，代入计算即可判断④．
【详解】解：，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，
，，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
解得：，故④错误，
综上所述，正确的是①②③，
故选：C．
11．【答案】 未知数的方程 分式方程
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，熟记分式方程的定义直接填空即可得到得到答案．
【详解】解：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，
故答案为：未知数的方程，分式方程．
12．【答案】/
【知识点】约分
【分析】本题考查的是分式的约分，分子利用平方差公式分解因式，然后与分母约分，得到最简结果即可．
【详解】解：分子是平方差形式，可分解为 ，
因此原式为，
约去公因式，得，
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解．
【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为，
因此甲原料所占的比例为，
对于的饮料成品，需要甲原料的质量为．
故答案为：．
14．【答案】/
【知识点】积的乘方运算、负整数指数幂、整数指数幂的运算
【详解】解：原式．
15．【答案】
【知识点】整式的加减运算、分式加减乘除混合运算、不等式的性质
【分析】根据最小，可得，，，根据即可确定的最小值；规定化简，再根据整除特性得到为整数，令，，则，即可得到是整数，根据得出，，即可求出，，要使最大，可得，，，，即可得答案．
【详解】解：∵，，，互不相等，且均不为，
∴当，，时，最小，
∵，
∴，
∴；
∵对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，
∴，
∵
∴，
∴，
∵能被的各个数位上的数字之和整除，
∴为整数，
∴为整数，
设，，
∵，
∴，，，
∴为整数，
∵，
∴是整数，
∴是的正因数，
∵，
∴，
∴，
∵要使的值最大，四个数字互不相等且不为，
∴，，，．
∴的最大值为．
16．【答案】(1)
与F是“合分式”，理由如下：
，
则E与F关于C的“合值”为3；
(2)
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
将两式相加并计算即可；
将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可．
【详解】（1）略
（2）解：
，
与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，
17．【答案】(1)
(2)4，5，6，9
(3)；0；2
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求使分式值为整数时未知数的整数值、代入消元法、二元一次方程的解
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键．
（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；
（2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解；
（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得： ，
∵、为正整数，
∴是3的倍数，且，
∴，
∴，
∴方程的正整数解为；
故答案为：；
（2）解：∵为自然数，x为正整数，
∴取6或3或2或1，
∴x可取4或5或6或9．
故答案为：4，5，6，9；
（3）解：解方程组得：，
∵方程组的解是正整数，
∴8是的倍数，
∴或4或2或1，
∴k取或0或2或3，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，整数的值为；0；2．
18．【答案】
（1）④；（2）存在最大值，最大值为16；（3）两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少．
【知识点】运用平方差公式进行运算、列代数式、分式乘法
【分析】本题考查了平方差公式的应用，分式乘法的应用等知识，正确理解题意是解题的关键．
（1）由题意知当两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答；
（2）根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答；
（3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答．
【详解】解：∵两数和一定时，差的绝对值越小积越大，且，，
∴，
∴④的值最大，
故答案为：④；
（2）∵为定值，
∴当与的差的绝对值越小积越大，即时，存在最大值，
∴时，存在最大值，
∴当，存在最大值，最大值为；
（3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下：
设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，
由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的，
第二次用水斤，污物减少为原来的，
∵为定值，
∴当时，的值最大，即的值最小，
∴时，的值最小，
答：两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少．
19．【答案】(1)，
(2)
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数、一元一次方程的应用，解题的关键是能够正确的用科学记数法表示较小的数和根据题意列出方程．
（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；
（2）设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据“缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等”列方程求解即可．
【详解】（1）解：用科学记数法表示为，
用科学记数法表示为；
（2）解：设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得
，
解得，
答：只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等．
20．【答案】(1)
(2)①燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、列代数式、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
（1）根据每千米行驶费用相应的费用续航里程，即可求解；
（2）①结合（1）列出分式方程，解方程求解即可；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元），
故答案为：；
（2）解：①由题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑